山东省潍坊市临朐县2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

临朐县2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分）
1．已知等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．20 B．32 C．28 D．48
3．（原）已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设ξ为取得红球的次数，则P(ξ＝2)＝(　　)
A． B． C． D．
4．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. 12 B. 10 C. 5 D.
5．根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量与独立
B．有95%的把握认为变量与不独立
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
已知各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则 的值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．设随机变量，若，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对6分，部分对得部分，有选错的得0分）
9．已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为4 B．
C． D．数列的公比为
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，，则
D．已知随机变量，则
11．已知数列的前项和为，若，则以下说法正确的是（ ）
A．数列是单调递增数列 B．当最大时，的值取5或6
C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为10
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列的前项和分别为，且，则 .
13．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ， ．
14．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．已知数列的首项.
(1)若数列满足，证明：数列是等比数列；
(2)若数列是以3为公比的等比数列，证明：数列是等差数列.
16.（原）甲、乙2人玩猜数字游戏，规则如下：
①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．
(1)求甲、乙2人玩此游戏获奖的概率；
(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和数学期望．
17. 已知数列满足
（1）证明:数列是等差数列，并求数列的通项公式;
（2）设为数列的前项和，证明.
18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1：
年份x 2013 2014 2015 2016 2017
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x﹣2012，z＝y﹣5得到下表2：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程x，其中，）
19．给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．
(1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；
(2)求证：若，则有；
(3)若，常数使得恒成立，求的最大值．
1-4BADB 5-8DBCB 9.BCD 10.ABD 11.BC
12 13． 1 14.
14.【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
依题知，，，，，
叠加可得：，
整理得，
当，，满足，所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，
当时，，所以最小值为.故答案为：
15．【详解】（1）当 时，为常数，故数列是等比数列
（2）由于数列是以3为公比的等比数列，所以，
为常数，所以数列是等差数列
16.(1)记事件A为“甲、乙2人一次竞猜成功”，则P(A)＝ eq \f(2C＋4C,C·C) ＝，设3次竞猜中，竞猜成功的次数为X，则X～B(3，)，则甲、乙2人获奖的概率为P＝1－C－C＝.
(2)由题意可知，6人中选取4人，双胞胎的对数X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝ eq \f(C·C·C,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CCCC＋C,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
17.【详解】（1）由题对两边同时除以得
又，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以 所以
（2）由
所以
因为所以
即
18．【解答】解：（1），，
，，
，，
∴；
（2）将t＝x﹣2012，z＝y﹣5代入，
得y﹣5＝1.2（x﹣2012）﹣1.4，即；
（3）∵．
∴预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6亿元．
19．【详解】（1）解：根据题意，若数列为，
可得，即数列为：；
若数列为，
可得，即数列为：.
（2）证明：由题设条件知，若时，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以当，则成立.
（3）解：不妨设，
若，因为，所以，此时显然取任意实数都满足条件；
下面设，则的充分必要条件时，
假设，
因为，所以，
当时，由，
所以 ，
当时，有，
仍然有成立，所以，
因为，所以，
所以，取，所以，
所以的最大值为