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18.2.3 正方形(1)
学习目标
1.理解掌握正方形的定义和性质。
2.了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的联系。
3.能运用正方形的性质解决问题。
4.能规范的书写推理过程。
学习过程
温故知新
1. 回顾平行四边形、菱形、矩形的定义和性质？
思考：是否存在一个角是直角同时一组邻边相等的平行四边形？
二、新知探究
活动一：正方形的定义：
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形
几何语言：
活动二：观察发现正方形与矩形、菱形的联系：
矩形怎样变化后就成了正方形呢
菱形怎样变化后就成了正方形呢
归纳总结：因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．
活动三：正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质
正方形性质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
三、课堂巩固
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为( )
A．3 B．12 C．18 D．36
3.正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形( )
A.4 B.6 C.7 D.8
如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是__________度．
5.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为__________．
6.已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且CE＝CD，EF⊥AC，交AD于F．求证：DF＝AE．
四、课堂小结
1.归纳本节知识
2.通过本节课的学习谈谈你的收获？还有什么疑问？
五、课后练习
见精准作业单
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18.2.3 正方形(1)
教学目标
1.通过类比探究理解正方形的定义，通过归纳整合得到正方形的性质。
2.通过图表直观的建立正方形与平行四边形、菱形、矩形的联系。
3.能运用正方形的性质解决问题，能规范的书写推理过程。
教学重点
正方形的定义
教学难点
正方形的性质
教学过程
温故知新
1. 回顾平行四边形、菱形、矩形的定义和性质？
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行四边形 两组对边 分别平行 的四边形 对边平行 且相等 对角相等， 邻角互补 对角线 互相平分 中心对 称图形
矩 形 有一个角 是直角的 平行四边 形 对边平行 且相等 四个角 都是直角 对角线相等 且互相平分 轴对称 图形、 中心对 称图形
菱 形 有一组邻 边相等的 平行四边 形 对边平行, 四边都相等 对角相等，邻角互补 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 轴对称 图形、中 心对称图形
思考：是否存在有一个角是直角同时一组邻边相等的平行四边形？
正方形
二、新知探究
活动一：正方形的定义：
有一组邻边__相等____并且有一个角是__直角____的平行四边形叫做正方形
几何语言：
∵在□ABCD中，AB=BC,∠A=90^°
∴□ABCD是正方形
活动二：观察发现正方形与矩形、菱形的联系：
矩形怎样变化后就成了正方形呢
菱形怎样变化后就成了正方形呢
归纳总结：因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的__矩形____，又是一个特殊的有一个角是直角的__菱形____．
活动三：正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质
正方形性质
边 角 对角线 对称性
图形语言 轴对称图形 中心对称图形
文字语言 对边平行， 四条边都相等 四 个 角 都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
符号语言 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD, ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
三、课堂巩固
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( B )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为( C )
A．3 B．12 C．18 D．36
3.正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形( D )
A.4 B.6 C.7 D.8
如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是____67.5^°___．
5.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为_____150^°_____．
已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且CE＝CD，EF⊥AC，交AD于F．求证：DF＝AE．
解：连接CF
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAE=∠CAB ∠ADC=∠BAD=90^°
∴∠DAE=45^°
∵EF⊥AC
∴∠FEA=90^°
∴∠AFE=45^°
∴AE=EF
∴R_t△FEC R_t△FDC(FL)
∴DF=EF
∴DF=AE
四、课堂小结
1.归纳本节知识
2.通过本节课的学习谈谈你的收获？还有什么疑问？
五、课后练习
见精准作业单
六、板书设计
18.2.3 正方形(1)
定义： 例题5
性质：
学生板书
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共15张PPT)
人教版.八年级下册
18.2.3 正方形(1)
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行 四边形
矩 形
菱 形
回顾平行四边形、菱形、矩形的定义和性质？
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行,
四边都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
轴对称
图形、
中心对
称图形
轴对称
图形、中
心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角
是直角的
平行四边
形
有一组邻
边相等的
平行四边
形
中心对
称图形
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
温顾知新
是否存在一个角是直角同时一组邻边相等的平行四边形？
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
正方形的定义：
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，
相等
直角
∵在□ABCD中，AB=BC,∠A=
∴□ABCD是正方形
几何语言：
矩形怎样变化后就成了正方形呢
菱形怎样变化后就成了正方形呢
正方形与矩形、菱形有什么联系？
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
正方形与矩形、菱形的联系？
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
一组邻边相等
一个角是直角
因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．
矩形
菱形
正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质
正方形性质 边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言 符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
轴对称图形 中心对称图形
1
2
3
4
5
6
7
8
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为( )
A．3B．12 C．18 D．36
3.正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形( )
A.4 B.6 C.7 D.8
A
D
C
B
O
B
C
D
4.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是__________．
5.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为__________．
6.已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且CE＝CD，EF⊥AC，交AD于F．求证：DF＝AE．
解：连接CF
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAE=∠CAB ∠ADC=∠BAD=
∴∠DAE=
∵EF⊥AC
∴∠FEA=
∴∠AFE=
∴AE=
在△FEC和△FDC中
CE=DC
CF=CF
∴△FEC△FDC(FL)
∴DF=
∴DF=
通过本节课学习，谈谈你的收获？还有什么疑问？
课堂小结
课堂小结
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行 四边形
矩 形
菱 形
正方形
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形中小学教育资源及组卷应用平台
课前诊测
1.回顾平行四边形、菱形、矩形的定义和性质？
精准作业
必做题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
2.在正方形中，．若，则的长是___________．
3.如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，
求：（1）∠BAE的大小
（2）∠AED的大小．
探究题
1.如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．
课前诊测
1.
精准作业
C
2
3.（解：（1）因为四边形ABCD为正方形，
所以AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
因为△EBC是正三角形，
所以∠EBC＝60°，BE＝BC＝EC，
所以∠ABE＝30°，AB＝BE，
所以∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣∠ABE）÷2＝150°÷2＝75°．
（2）因为∠BAE＝75°，
所以∠EAD＝90°﹣∠EAB＝15°，
同理，∠ADE＝15°，
所以∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣15°＝150°．
探究题
1.（1）证明：
∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
即∠1＝∠2，∴△ADG≌△ABE；
（2）解：∠FCN＝45°，
理由如下：
过F作FH⊥MN于H，则∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB＝BC，AE＝EF，∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠5，
又∵∠ABE＝∠EHF＝90°，
∴△ABE≌△EHF，
∴BE＝HF，AB＝EH，
∴BC＝EH，
∴HC＝BE，
∴在Rt△CHF中，CH＝FH，
∴∠FCN＝∠CFH＝45°．
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