6.2常用三角公式 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2019）高中数学必修第二册

6.2常用三角公式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．2
4．已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，( )
A．1 B． C． D．
6．（ ）
A． B． C． D．
7．若，，且满足关系式，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．方程所有正根的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．不等式无解 D．的最大值为
10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
11．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象
D．函数的最大值为
三、填空题
13．已知，则 ．
14．已知，则的值为 .
15．若对满足的任何都有，则数组 ．
16．若函数对定义域内任意实数均满足，其中，则称是“等值函数”.若函数是“2等值函数”，则实数 ，函数在区间上的零点个数为 .
四、解答题
17．已知的三个内角满足：.
(1)求的值；
(2)求角的大小.
18．在平面直角坐标系中，任意角，的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点．
(1)若为锐角，且，求的值
(2)若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
(3)若两点的纵坐标分别为正数，且，求的最大值．
19．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点，如果点的纵坐标为，点的横坐标为.
(1)求的值.
(2)将绕原点顺时针旋转到，求点的坐标.
20．如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
21．在平面直角坐标系中，角与的顶点均与直角坐标系的原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合.已知角的终边与单位圆交于点，若将绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合.
(1)求的值；
(2)求的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】利用两角差的正切公式求解.
【详解】因为
所以，
，
故选：B
2．C
【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．A
【分析】
利用三角函数的倍角公式，结合正切函数的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
因为，所以，
则.
故选：A.
4．C
【分析】
利用三角函数的定义求出，，再由两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，
所以，，
所以.
故选：C
5．C
【分析】
根据角与的终边关于y轴对称及可知角与角终边在第一二象限，分情况讨论即可得到答案．
【详解】
∵角与的终边关于y轴对称，，
∴和不可能在三、四象限，
①若终边在第一象限，则，
由，得，
∴，
，
∴；
②若在第二象限，则，
∴，即，
∴，
，
∴．
故选：C
6．C
【分析】
利用正切和角公式得到，整理后得到答案.
【详解】
，
，
．
故选：C
7．B
【分析】
利用已知等式变形可得，结合两角和差正切公式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由得：，
，，，，
且，
（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故选：B.
8．C
【分析】易得，令，得到或讨论求解.
【详解】解：，
令，则，即，
所以或，
当时，即，
所以，
因为，所以，
当时，即，
则，
因为是奇数，所以也是奇数，不成立；
所以方程所有正根的和为：,
故选：C
9．BD
【分析】
对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.
【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误;
对于选项B:关于对称，故B正确；
对于选项C:有解，故C错误；
对于选项D:，若，则，
若则，
当且仅当，即时，原式取等，故D正确.
故选:BD.
10．BCD
【分析】
利用三角函数定义可求得N点的坐标为，可知A错误；易知，B正确；求得点横坐标，再利用中点坐标公式可得C正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D正确.
【详解】
由N为的中点，则，可得，
由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；
易知，
又因为，，M为线段AB的中点，
则，
所以，故C正确；
由易知线段，，
则，
所以，故D正确，
故选：BCD．
11．AD
【分析】
根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，由，所以C不正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：AD.
12．BCD
【分析】根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、三角恒等变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A选项：将代入，得，
故的图象不关于点对称，故选项A错误；
对于B选项：在，令，则，
因为，所以，
根据余弦函数图象可知在单调递增，故选项B正确；
对于C选项：将图象上的所有点向右平移个单位长度，
可得到，
故选项C正确；
对于D选项：，
，
结合余弦函数的性质可知：，故选项D正确．
故选：BCD
13．
【分析】
根据题意，由余弦的和差角公式展开可得，再由二倍角公式，即可得到结果.
【详解】因为，整理得，
所以，所以，
所以．
故答案为：
14．/
【分析】
利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.
【详解】
因为，等式左边分子、分母同时除以得， ，解得，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】
根据题意利用和差化积公式分析求解.
【详解】因为，可知，即，
则，
可知，即.
故答案为：.
16． 2 506
【分析】结合及诱导公式、二倍角公式解方程可得，解方程可得或，，进而可得其零点个数.
【详解】是“2等值函数”，
对恒成立，
，
即，
不恒为，，
又，.
，
由题意知，，即，
所以或，，
解得或，，
所以或，，
解得或，，
所以或，，
所以函数在区间上共有个零点.
故答案为：2；506.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求的值.
（2）先求出，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求，故可求角的大小.
【详解】（1），
因为， ，故为锐角且.
所以.
（2）因为，，故为锐角且，
故，故，
而，故.
18．(1)
(2)
(3).
【分析】
（1）由三角函数定义可得两点的坐标，利用三角函数恒等变换可得结果；
（2）根据角的定义并结合，利用可求出的值；
（3）由同角三角函数的平方关系计算可得当时，取得最大值为.
【详解】（1）由题意知，
，
可得；
因此，
（2）由角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，
，且，求得，
则，，
则，
即.
（3）若两点的纵坐标分别为正数，可得角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设在第一象限，则在第二象限，
根据题意可得,，且，，
，，
，
即可得，
平方可得，当且仅当时，取等号．
，当且仅当时，取等号，
故当时，取得最大值为．
19．(1)
(2)
【分析】
（1）根据三角函数的定义得到，，即可求出，，再由两角和的余弦公式计算可得；
（2）依题意可知所对应的角为，利用诱导公式求出，，即可得解.
【详解】（1）因为锐角，的终边分别与单位圆交于，两点，且点的纵坐标为，点的横坐标为，
所以，，则，，
所以.
（2）依题意可知所对应的角为，所以，，
所以点的坐标为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可得出的正弦值和余弦值，分析可得，利用诱导公式可求得的值，由此可得出的值；
（2）利用诱导公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】（1）解：由三角函数的定义可得，，
将因为，且角、的终边与单位圆分别交于、两点，且，
结合图形可知，，故.
故.
（2）解：由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义以及二倍角公式即可求解；
（2）首先得，进一步根据两角和差的三角函数运算即可求解.
【详解】（1）由题意角的终边与单位圆交于点，
所以，.
（2）由题意，
.
答案第1页，共2页
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