6.3解三角形 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2019）高中数学必修第二册

6.3解三角形同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，，，则b＝（　　）
A．4 B．3
C．2或4 D．2或3
4．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
5．在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．15 B．12 C．16 D．20
6．的内角的对边分别为.已知，，，则的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
7．某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（ ）
A． h B． h
C． h D． h
二、多选题
9．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，内角的平分线交于点，，，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为1），其平面图形如图所示，则（ ）
A． B．O到AC的距离是
C．O是的内切圆的圆心 D．
11．如图，在中，内角的对边分别为，若，且是外一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则四点共圆
C．四边形面积的最小值为
D．四边形面积的最大值为
12．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　）
A．A处与D处之间的距离是24
B．灯塔C与D处之间的距离是16
C．灯塔C在D处的南偏西方向
D．D处在灯塔B的北偏西方向
三、填空题
13．已知分别为三个内角的对边，，且，则周长的取值范围为 ．
14．如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为 ．

15．四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为 .
16．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ，若，，则 .
四、解答题
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，，求的周长．
18．已知内角，，的对边分别是，，，．
(1)求的大小；
(2)若，将射线和射线分别绕点，顺时针旋转，，旋转后相交于点（如图所示），且，求．
19．如图，在中，，是斜边上的一点，，．
(1)若，求和的面积；
(2)若，求的值．
20．为改进城市旅游景观面貌 提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园．如图：四边形内接于圆（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米．
(1)若，且，求边的长为多少千米？
(2)若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最小值为多少平方千米？
21．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.

(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
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参考答案：
1．B
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值．
【详解】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选:B
2．B
【分析】
由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
3．C
【分析】
根据余弦定理，即可求解.
【详解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
故选：C.
4．B
【分析】
利用正弦定理及三角恒等变换化简求出角即可得解.
【详解】
因为，
所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以，所以为直角三角形，
故选：B．
5．A
【分析】
由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
【详解】因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：A
6．C
【分析】先由余弦定理求出，再利用同角三角函数关系及正弦定理求解即可.
【详解】因为，，，所以由余弦定理可得，
所以，设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，即.
则的外接圆半径为.
故选：C
7．D
【分析】
根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值.
【详解】依题意可得如下图形：

在中，，，，，
所以由正弦定理得：，解得：，
在，，
所以，则红豆树的高度为米.
故选：D
8．B
【分析】
当甲、乙两船相距最近时，由甲、乙两船和B岛三点构成的三角形中用余弦定理建立航行时间和甲、乙两船距离的函数关系，即可求出.
【详解】
设航行h时，甲船在处，乙船在处，甲、乙两船相距km，
如图所示，在中，由余弦定理，知，
即，
所以当时，最小，即最小.
故选:.
9．ABD
【分析】
根据由正弦定理化边为角，经分析化简即得；作出图形，设出边长，利用表示出其他边，由三角形角平分线定理和列出方程，求出各边长，即可判断B,C,D.
【详解】对于A项，因，由正弦定理，，即，则有，
因，，故，即得，故A正确；
对于B项，如图，由上分析，在中，设，则，因平分,则有,
即① ,在中,，代入① 式，解得，即，故B项正确；
对于C项，由上分析知故C项错误；
对于D项，由易得，故D项正确.
故答案为：ABD.
10．AD
【分析】
根据正六边形的内角及余弦定理判断A，由正五边形的内角判断B，根据不是角平分线判断C，根据角的大小及正切函数判断D.
【详解】由正六边形知，由余弦定理得，故A正确；
由正五边形知，，所以，
故O到AC的距离是，故B错误；
因为，所以，即不平分，所以O不是的内切圆的圆心，故C错误；
由题意，，，，
由正切函数的单调性可知，故D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】对于A，根据正弦定理、两角和的正弦公式有，即，结合，即即可判断；对于B，在中，由余弦定理求得，结合，可得两个角互补，由此即可判断；对于CD，由三角形面积公式、辅助角公式得四边形面积的表达式，结合角的范围即可判断.
【详解】，
根据正弦定理得，即，
，显然，则，根据题意，有，
又，可得为等边三角形，故A正确；
，在中，，
当时，，即共圆，B正确.
又
四边形面积
，
，则，
所以四边形的面积没有最小值，C错误.
当，即时，四边形面积取最大值，故D正确.
故选：ABD.
12．AC
【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.
【详解】
由题意可知，，
所以，
对于A，在中，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，在中，由余弦定理得，
即，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以灯塔在处的南偏西方向，故C正确；
对于D，由，在灯塔的北偏西处，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】根据余弦定理结合基本不等式求出，再结合三角形中两边之和大于第三边得解.
【详解】因为，，
由余弦定理得，
当且仅当时等号成立．
∴，∴，
又因为，所以，
即周长取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】
延长与的延长线交于，求出的面积，并探讨与面积的关系即可求出结果.
【详解】在中，延长与的延长线交于，连接，由E，F分别是AD，CD的中点，
得，则，
由，得是的中点，且，
，
，于是，
所以的面积.
故答案为：

15．/
【分析】根据正弦定理得，再结合余弦定理及基本不等式得，得，设，由，可求得，从而可求解.
【详解】
因为，由正弦定理得，
所以，即，因为，所以，，，
所以，，
由余弦定理得，所以，当时取等号，
所以，
设，则，在中由余弦定理得
，
所以，
当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
16． /
【分析】
借助余弦定理与正弦定理计算即可得.
【详解】由正弦定理可得，
即，
即，
即，即，
又，故，
若，，由余弦定理可得，
即，即，
故.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，利用内角和定理与和角的正弦公式化简得到，即可求得角A；
（2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式计算即得；
（3）由三角形面积公式求出，利用余弦定理变形转化求出，即得的周长.
【详解】（1）．由正弦定理可得，
因，
所以，可得，
为三角形内角，，解得，，
．
（2）由已知，，所以，
，，
.
（3），，
由余弦定理得，
即，解得，
的周长为．
18．(1)
(2)．
【分析】
（1）利用两角和（差）的余弦公式展开得到，再利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得.
【详解】（1），，
，
，
，
由正弦定理可得，
又在中，，
所以，
又因为，所以．
（2）依题意，，所以，
所以，
又，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
于是，在中，由余弦定理得
．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）在中由正弦定理可求，从而确定是等边三角形，为等腰三角形，求出边角可得面积.
（2）设出长，在与中，用双余弦可得的值.
【详解】（1）由，，可得．
在中，由正弦定理可得，所以，
所以或，又，故只能有．
因此，，又，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以，，
.
（2）令，，，则，
在与中，由余弦定理可得，
消去，得，
整理得，所以得，所以．
20．(1)
(2)8
【分析】
（1）在中，由余弦定理求出，在中利用正弦定理求解；
（2）设，在和中，利用余弦定理可得间的关系式，利用三角形面积公式结合三角函数二倍角公式化简可解.
【详解】（1）
，则
在中，，
即
在中，，
由正弦定理知：，即，
则千米；
（2）
设，则，则
在中：
在中：
则，得
所以
因为圆心在的内部或边界，所以，
则，所以．
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，得到后，利用三角函数公式化简，并结合三角函数值域求最值.
21．(1)1040m
(2)
(3)
【分析】
（1）先求得，然后由正弦定理求得.
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值.
（3）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.
【详解】（1）由题意，，显然，，
在中，，
由正弦定理，可得，解得.
所以，索道AB的长为1040m.
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，
此时甲行走了，乙距离A处，
由余弦定理得
，
因为，即，
则当时，甲、乙两游客之间距离最短.
（3）
由正弦定理，得，
乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，
设乙步行的速度为，
由题意得，
所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.
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