7.4正切函数的图像与性质 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

7.4正切函数的图像与性质同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在定义域内是增函数 B．是奇函数
C．的最小正周期是π D．图像的对称中心是，
5．函数 的对称中心是（　　）
A． B．，
C．， D．，
6．下列函数中，既是偶函数且满足“对任意，都有”的函数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列直线中，与函数的图象不相交的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于函数的图象与性质，有下面四个结论：①函数的最小正周期为；②在上是增函数；③若，则；④若，则.则其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．的图象过点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
10．已知，则下列说法正确的有（ ）
A．图象对称中心为
B．的最小正周期为
C．的单调递增区间为
D．若，则
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．是增函数 D．
12．下列选项正确的是（ ）
A．若锐角的终边经过点，则
B．中，“”是“是钝角三角形”的充要条件
C．函数的对称中心是
D．若，则
三、填空题
13．函数的最小正周期是 ．
14．借助函数的图象，可知不等式，的解集为 ．
15．先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是 .
16．已知函数.
（ⅰ）函数的定义域为 ；
（ⅱ）若是斜三角形的一个内角，则使不等式成立的的集合为 .
四、解答题
17．在中，角的对边分别是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
18．已知函数，，其中．
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)求函数在区间上单调时的取值范围．
19．已知函数，其中．
(1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
(2)若的最小值为，求．
20．已知函数，其中.
(1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心.
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.
(3)若函数在（且）满足：方程在上至少存在2023个根.且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2023，求的取值范围.
21．已知函数，且．
(1)求的定义域与最小正周期；
(2)当时，求的值域
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】
借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得.
【详解】，，
又，可得，
即，且、，故.
故选：C.
2．D
【分析】
利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，，为奇函数，排除；
对于B，，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.
故选：D
3．D
【分析】A选项，函数不是周期函数；BC选项，不满足奇偶性；D选项满足要求.
【详解】A选项，函数图象如下：
不是周期函数，
BC选项，与是偶函数，
D选项，的周期为且，
故为奇函数，D正确.
故选：D．
4．D
【分析】根据题意结合正切函数性质逐项分析判断.
【详解】对于选项AC：因为的最小正周期是，可知在定义域内不单调，故AC错误；
对于选项B：，可知不是奇函数，故B错误；
对于选项D：令，解得，
所以图像的对称中心是，，故D正确；
故选：D.
5．D
【分析】根据整体法即可求解.
【详解】令（），解得（），
故函数的对称中心为，．
故选:D．
6．D
【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可.
【详解】因为对任意，都有，
所以在上单调递增，
对于A，函数非奇非偶，故A错；
对于B，函数为偶函数，但在上单调递减，故B错；
对于C，为奇函数，故C错；
对于D，为偶函数，在上单调递增，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域，再逐项判断得解.
【详解】函数中，，解得，
函数的定义域为，
显然，因此直线与函数的图象相交，
直线与函数的图象不相交，A不是，C是；
函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.
故选：C
8．B
【分析】由正切函数的图象和性质逐一判断每个结论即可求解.
【详解】①函数的最小正周期为，故①错误；
②当时，，
关于单调递增，在定义域内单调递增，
所以在上是增函数，故②正确；
对于③若，则，解得，故③正确；
对于④，若，则，解得，故④错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：判断④的关键是根据函数单调性列出不等式组验算即可顺利得解.
9．BCD
【分析】
根据正切函数所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.
【详解】A：设该函数的最小正周期为，则有，
即，由函数的图象可知：，即，
由图象可知：，
所以，因此本选项不正确；
B：，
所以本选项正确；
C：因为，
，
所以，
所以函数的图象关于直线对称，因此本选项正确；
D：
当时，，
当，
，
当函数在区间上不单调时，
则有，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.
10．BD
【分析】A选项，整体法求出函数的对称中心；B选项，根据求出答案；C选项，根据正切函数的性质得到无单调增区间；D选项，得到，结合图象求出不等式.
【详解】A选项，令，则，
即图象对称中心为；故A错误；
B选项，最小正周期为，故B正确；
C选项，根据正切函数的性质可知，只需求的单调递减区间，
显然无单调增区间，故C错误；
D选项，，即，
故，
解得，故D正确．
故选：BD
11．ABD
【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解．
【详解】对A：由，函数的最小正周期为，故A正确；
对B：由，，解得，，
所以的定义域为，故B正确；
对C：，，解得，，
所以函数在，上单调递增，故C错误；
对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确；
故选：ABD.
12．AD
【分析】利用三角函数定义及诱导公式可判定A，利用余弦函数的性质，三角形内角的范围结合充分必要条件的定义可判定B，利用正切函数的性质可判定C，利用诱导公式可判定D.
【详解】对A：利用三角函数定义可知，且，所以，故A正确；
对B：在中，由可知为钝角，满足充分性，
而是钝角三角形，并不能确定哪个内角为钝角，不满足必要性，故B错误;
对C：令，
知函数的对称中心是，故C错误；
对D：根据诱导公式，故D正确.
故选：AD
13．
【分析】
由正切函数周期的定义直接计算即可.
【详解】的最小正周期为.
故答案为：
14．
【分析】
根据题意，画出函数的图象，结合函数的图象，即可求解.
【详解】根据题意，画出函数的图象，
如图所示，由，可得，
所以不等式，的解集为.
故答案为：.
15．
【分析】由图象变换可得，结合正切型函数的性质计算即可得.
【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，
再将所得图象向左平移个单位长度后可得，
由，则，
由，则有，
故有，解得，
故答案为：.
16．
【分析】（ⅰ）正切函数性质求定义域；
（ⅱ）由正切函数的单调性解不等式求解集.
【详解】（ⅰ）由正切函数性质知，，故定义域为；
（ⅱ）由，又是斜三角形的一个内角，故，所以.
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】
（1）由题设条件求得，即得，在三角形中即可求得角；
（2）由（1）和可利用正弦定理将边分别用的三角函数表示，运用三角形面积公式，经三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，最后结合角的范围和三角函数的图象即得.
【详解】（1）由可得：，则.
由，又因，故得：.
（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，则：，
记的面积为，则
，
因，则，故，所以，面积的最大值为.
18．(1)最大值为，最小值为；
(2).
【分析】（1）求出函数的解析式，再利用二次函数的性质求出最值.
（2）利用二次函数单调性列出不等式，再利用正切函数单调性解不等式即得.
【详解】（1）当时，函数，而，
则当时，，当时，，
所以函数的最大值和最小值分别为和.
（2）函数图象的对称轴为，
依题意，或，解得或，
又，解得或，
所以的取值范围是.
19．(1)最小值，；最大值为，
(2)
【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；
（2）利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）当时，，
令，，则，
的图象对称轴为，开口向上，
所以当时，即时，取得最小值，最小值为，
当时，即时，取得最大值，最大值为，
所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时.
（2）因为
的最小值为，
所以，且,所以，
又，所以.
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论；
（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；
（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围．
【详解】（1）当时，，
∴的最小正周期为．
令，得，
故的图象的对称中心为．
（2）∵，∴，
∴若函数在上单调递增，
则，求得，即的取值范围为．
（3）因为方程在上至少存在2023个根，
即当时，至少有2023个根，
即当时，至少有2023个根，
即当时，至少有2023个根，
故至少包含2022个最小正周期，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2023，
即，
∴．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据正切函数的性质即可求得函数的定义域，根据求出，再根据三角恒等变换化一，根据正弦函数的周期性求周期即可；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可.
【详解】（1）的定义域为；
因为，
由，得，所以，
所以，
即，
所以的最小正周期为；
（2）因为，所以，
所以当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值，
所以的值域为．
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