【培优卷】2024年北师大版数学八（下）4.1因式分解 同步练习
一、选择题
1．（2022·竞秀模拟）若，那么（ ）
A．k=－8，从左到右是乘法运算 B．k=8，从左到右是乘法运算
C．k=－8，从左到右是因式分解 D．k=8，从左到右是因式分解
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，从左到右是因式分解，
故答案为：C.
【分析】根据整式乘法和因式分解的定义求解即可。
2．（2023九上·南山开学考）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a 4ab
B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2
D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. 8a2b＝2a 4ab ，不是因式分解，故A不符合题意；
B. 4my－2y＝2y（2m－1 ），是因式分解，故B符合题意；
C. （m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2，不是因式分解，故C不符合题意；
D. a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1 ，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的最终结果是整式的乘积的形式判断即可.
3．（2023八下·宝安期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
4．（2019·利辛模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2-xy+x=x(x-y) B．ax2-9=a（x+3）(x-3）
C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．a3+2a2b+ab2=a(a+b)2
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A选项中，因为
，所以A中分解错误；
B选项中， ax2-9在实数范围内不能分解因式，所以B中分解错误；
C选项中，
不属于因式分解，所以C中分解错误；
D选项中，
，所以D中分解正确；
故答案为：D。
【分析】根据因式分解的定义：一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，从而求解。
5．（2023八下·莲湖期末）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该等式右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，本项不符合题意；
B、该等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本项不符合题意；
C、该等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本项不符合题意；
D、 ，符合因式分解的定义，本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此判断即可.
6．下列由左到右的变形中，不属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、x(x 2)+1=(x 1)2，属于因式分解，故A不符合题意；
B、a2b+ab3=ab(a+b2)，属于因式分解，故B不符合题意；
C、x2+2xy+1=x(x+2y)+1，不属于因式分解，故C符合题意；
D、a2b2 1=(ab+1)(ab 1)，属于因式分解，故D不符合题意，
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义判断即可。
二、填空题
7．（2023八下·薛城期末）若多项式可分解为，则的值为
【答案】8
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】
∴a=2+b， 6=2b
∴b=3，a=5
∴a+b=8
【分析】
计算两式的乘积，根据对应项相等，列方程求出a，b，再计算a+b .
8．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=，
∴m=5，n=6，
∴m-n=5-6=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。
9．（2023·南山模拟）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据因式分解的结果，确定二次二项式即可（答案不唯一）.
10．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
【答案】15
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
三、解答题
11．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
12．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
【答案】解：x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2=﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
13．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
14．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）4.1因式分解 同步练习
一、选择题
1．（2022·竞秀模拟）若，那么（ ）
A．k=－8，从左到右是乘法运算 B．k=8，从左到右是乘法运算
C．k=－8，从左到右是因式分解 D．k=8，从左到右是因式分解
2．（2023九上·南山开学考）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a 4ab
B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2
D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
3．（2023八下·宝安期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·利辛模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2-xy+x=x(x-y) B．ax2-9=a（x+3）(x-3）
C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．a3+2a2b+ab2=a(a+b)2
5．（2023八下·莲湖期末）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列由左到右的变形中，不属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2023八下·薛城期末）若多项式可分解为，则的值为
8．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ．
9．（2023·南山模拟）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式 ．
10．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=
三、解答题
11．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
12．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
13．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
14．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，从左到右是因式分解，
故答案为：C.
【分析】根据整式乘法和因式分解的定义求解即可。
2．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. 8a2b＝2a 4ab ，不是因式分解，故A不符合题意；
B. 4my－2y＝2y（2m－1 ），是因式分解，故B符合题意；
C. （m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2，不是因式分解，故C不符合题意；
D. a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1 ，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的最终结果是整式的乘积的形式判断即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A选项中，因为
，所以A中分解错误；
B选项中， ax2-9在实数范围内不能分解因式，所以B中分解错误；
C选项中，
不属于因式分解，所以C中分解错误；
D选项中，
，所以D中分解正确；
故答案为：D。
【分析】根据因式分解的定义：一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，从而求解。
5．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、该等式右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，本项不符合题意；
B、该等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本项不符合题意；
C、该等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本项不符合题意；
D、 ，符合因式分解的定义，本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此判断即可.
6．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、x(x 2)+1=(x 1)2，属于因式分解，故A不符合题意；
B、a2b+ab3=ab(a+b2)，属于因式分解，故B不符合题意；
C、x2+2xy+1=x(x+2y)+1，不属于因式分解，故C符合题意；
D、a2b2 1=(ab+1)(ab 1)，属于因式分解，故D不符合题意，
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义判断即可。
7．【答案】8
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】
∴a=2+b， 6=2b
∴b=3，a=5
∴a+b=8
【分析】
计算两式的乘积，根据对应项相等，列方程求出a，b，再计算a+b .
8．【答案】
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=，
∴m=5，n=6，
∴m-n=5-6=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据因式分解的结果，确定二次二项式即可（答案不唯一）.
10．【答案】15
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
11．【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
12．【答案】解：x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2=﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
13．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
14．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
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