【提升卷】2024年北师大版数学八（下）4.2 提公因式 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·鲁甸期末）在多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·兰州期末）多项式的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021八下·昌图期末）多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·兰州期末）把分解因式（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·薛城期末）把因式分解的结果应为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八下·南岸期末）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八下·泰山期末）用因式分解法解一元二次方程x(x-3)=x-3时，原方程可化为（ ）
A．(x-1)(x-3)=0 B．(x+1)(x-3)=0
C．x(x-3)=0 D．(x-2)(x-3)=0
8．（2020八下·昆都仑期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（ ）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
二、填空题
9．（2022八下·佛山月考）的公因式是 ．
10．（2023八下·深圳期中）分解因式： ．
11．（2023八下·贵溪期末）已知，，则代数式的值是 ．
12．（2023八下·双鸭山期末）已知，，则 .
三、计算题
13．（2022八下·本溪期中）因式分解：
（1）
（2）
14．（2017八下·宁城期末）已知： ，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）
15．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b+ab2.
四、解答题
16．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
17．（2015八下·深圳期中）给出三个单项式：a2，b2，2ab．
（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
（2）当a=2010，b=2009时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．
18．（2023八下·高陵月考）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
19．（2019八下·太原期末）数257－512能被120整除吗 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式中各项的公因式是.
故答案为：B.
【分析】根据公因式的定义即可求解.
2．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵，
∴公因式为：，
故答案为：C.
【分析】利用公因式的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：中每一项都含有2xy，
∴的公因式是2xy，
故答案为：A．
【分析】公因式：多项式中每一项都含有相同的因式，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=2x（a-b）+4y（a-b）=，
故答案为：D.
【分析】先将代数式变形为2x（a-b）+4y（a-b），再提取公因式2（a-b）即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故答案为：D.
【分析】根据提取公因式的方法解答，先找出多项式的公因式，再提取公因式即可.
7．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x(x-3)=x-3，
∴x(x-3)-(x-3)=0，
∴(x-3)(x-1)=0.
故答案为：A.
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），
＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），
＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．
故答案为：B．
【分析】将（x-y）当作整体，利用提公因式求解即可。
9．【答案】3ma
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：
∴公因式是3ma，
故答案为：3ma．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
10．【答案】（x-3）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x-3）（x-1） ，
故答案为： （x-3）（x-1） 。
【分析】利用提取公因式的方法求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-8．
【分析】先将代数式因式分解，然后整体代入即可求解．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵x=+，y=-，
∴xy=(+）（-）=3-2=1，x+y=++-=2，
∴原式=xy(x+y)=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】由题意根据平方差公式可计算xy的值，根据合并同类二次根式法则可得x+y的值，则将所求代数式分解因式得原式=xy(x+y)，再整体代换即可求解.
13．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】利用提取公因式因式分解即可。
14．【答案】（1）解：依题可得：
a+b= .
a-b=-4.
ab=-1.
∴a2b-ab=ab(a-b)
=（-1）×（-4）
=4.
（2）解：原式=(a+b)2-ab=( )2 –(-1)
=12+1
=13.
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）通过已知条件，分别求出a+b，a-b，ab的值，然后整体代入即可；
（2）先通过添项法，把原式配成完全平方式，再整体代入即可.
15．【答案】（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）
＝6×2
＝12
（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）
＝（9﹣2）×6
＝7×6
＝42.
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；
（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.
16．【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
17．【答案】（1）解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
b2﹣a2=（b+a）（b﹣a），
a2﹣2ab=a（a﹣2b），
2ab﹣a2=a（2b﹣a），
b2﹣2ab+b（b﹣2a），
2ab﹣b2=b（2a﹣b）；
（2）解：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，
当a=2010，b=2009时，原式=（a﹣b）2=（2010﹣2009）2=1．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】本题要灵活运用整式的加减运算、平方差公式和完全平方公式．
18．【答案】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别为三边的长，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；等腰三角形的判定
【解析】【分析】将已知等式变形为(b+c)(a-b)=0，则a=b，据此可得三角形的形状.
19．【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120
整除.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）4.2 提公因式 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·鲁甸期末）在多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式中各项的公因式是.
故答案为：B.
【分析】根据公因式的定义即可求解.
2．（2023八下·兰州期末）多项式的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵，
∴公因式为：，
故答案为：C.
【分析】利用公因式的定义求解即可.
3．（2021八下·昌图期末）多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：中每一项都含有2xy，
∴的公因式是2xy，
故答案为：A．
【分析】公因式：多项式中每一项都含有相同的因式，据此解答即可.
4．（2023八下·兰州期末）把分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=2x（a-b）+4y（a-b）=，
故答案为：D.
【分析】先将代数式变形为2x（a-b）+4y（a-b），再提取公因式2（a-b）即可得到答案.
5．（2023八下·薛城期末）把因式分解的结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】
多项式的两项中含有公因式b(x-3)，提取公因式即可。注意符号的变化。
6．（2021八下·南岸期末）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故答案为：D.
【分析】根据提取公因式的方法解答，先找出多项式的公因式，再提取公因式即可.
7．（2021八下·泰山期末）用因式分解法解一元二次方程x(x-3)=x-3时，原方程可化为（ ）
A．(x-1)(x-3)=0 B．(x+1)(x-3)=0
C．x(x-3)=0 D．(x-2)(x-3)=0
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x(x-3)=x-3，
∴x(x-3)-(x-3)=0，
∴(x-3)(x-1)=0.
故答案为：A.
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
8．（2020八下·昆都仑期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（ ）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），
＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），
＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．
故答案为：B．
【分析】将（x-y）当作整体，利用提公因式求解即可。
二、填空题
9．（2022八下·佛山月考）的公因式是 ．
【答案】3ma
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：
∴公因式是3ma，
故答案为：3ma．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
10．（2023八下·深圳期中）分解因式： ．
【答案】（x-3）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x-3）（x-1） ，
故答案为： （x-3）（x-1） 。
【分析】利用提取公因式的方法求解即可。
11．（2023八下·贵溪期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-8．
【分析】先将代数式因式分解，然后整体代入即可求解．
12．（2023八下·双鸭山期末）已知，，则 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵x=+，y=-，
∴xy=(+）（-）=3-2=1，x+y=++-=2，
∴原式=xy(x+y)=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】由题意根据平方差公式可计算xy的值，根据合并同类二次根式法则可得x+y的值，则将所求代数式分解因式得原式=xy(x+y)，再整体代换即可求解.
三、计算题
13．（2022八下·本溪期中）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】利用提取公因式因式分解即可。
14．（2017八下·宁城期末）已知： ，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：依题可得：
a+b= .
a-b=-4.
ab=-1.
∴a2b-ab=ab(a-b)
=（-1）×（-4）
=4.
（2）解：原式=(a+b)2-ab=( )2 –(-1)
=12+1
=13.
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）通过已知条件，分别求出a+b，a-b，ab的值，然后整体代入即可；
（2）先通过添项法，把原式配成完全平方式，再整体代入即可.
15．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b+ab2.
【答案】（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）
＝6×2
＝12
（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）
＝（9﹣2）×6
＝7×6
＝42.
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；
（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.
四、解答题
16．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
17．（2015八下·深圳期中）给出三个单项式：a2，b2，2ab．
（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
（2）当a=2010，b=2009时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．
【答案】（1）解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
b2﹣a2=（b+a）（b﹣a），
a2﹣2ab=a（a﹣2b），
2ab﹣a2=a（2b﹣a），
b2﹣2ab+b（b﹣2a），
2ab﹣b2=b（2a﹣b）；
（2）解：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，
当a=2010，b=2009时，原式=（a﹣b）2=（2010﹣2009）2=1．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】本题要灵活运用整式的加减运算、平方差公式和完全平方公式．
18．（2023八下·高陵月考）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别为三边的长，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；等腰三角形的判定
【解析】【分析】将已知等式变形为(b+c)(a-b)=0，则a=b，据此可得三角形的形状.
19．（2019八下·太原期末）数257－512能被120整除吗 请说明理由.
【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120
整除.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
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