【基础卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习
一、选择题
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．2a-b2 C． D．
2．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①x2-2x-1；②-x+1；③-a2-b2；④-a2+b2；⑤x2-4xy+4y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023八上·莱芜期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A． B． C．或11 D．13或
5．（2023八上·哈尔滨月考）把多项式分解因式得（ ）
A． B．
C． D．
6．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
7．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．某同学在因式分解时，不小心把等式x4-△=(x2+4)(x+2)(x-○)中的“△”，“○”处两个数弄污了，则代数式中的△，○分别对应的一组数应该是（ ）
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
二、填空题
9．给出下列多项式：①-m2+9；②-m2-9；③2ab-a2-b2；④a2-b2+2ab ；⑤(a+b)2-10(a+b)+25．其中能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 .
10．（2019八上·黑龙江期末）分解因式：(a－b)2－4b2＝ ．
11．（2024八上·绿园期末） 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
12．已知关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解，则m的值为
三、计算题
13．（2023八上·榆树期中）因式分解下列各题：
（1）a2-9．
（2）a2+12a+36．
14．（2022七下·邗江期中）因式分解
（1）
（2）
15．（2023七上·奉贤期中）因式分解：．
16．（2023八下·礼泉期末）因式分解：x4-81.
17．（2022七下·建湖期中）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
18．把下列各式分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
四、综合题
19．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意；
B、，是二项式，但两项不能写成平方的形式，则不能运用平方差公式，不符合题意；
C、，是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则能运用平方差公式，符合题意；
D、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、=（x+3）2，故符合题意；
B、，平方项异号，不能完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、，不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意；
D、，只有两项， 不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子需要满足：①三项式，②其中两项能写成一个整式的完全平方且符号相同，③剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项分析即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①x2-2x-1=x2-2x-12，两平方项符号相反，不能应用完全平方公式分解；
②，可以利用完全平方公式分解；
③-a2-b2 ，两平方项的符号相同，不能使用平方差公式分解；
④-a2+b2=b2-a2=(b-a)(b+a)，能使用平方差公式分解；
⑤x2-4xy+4y2=(x-2y)2，能应用完全平方公式分解，
综上可以使用公式分解因式的有②④⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】因式分解可套用的公式有a2-b2=(a+b)(a-b)及a2±2ab+b2=(a±b)2，从而将所给的五个多项式根据公式特点逐一分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，∴k+1=12，∴k=11
或
，∴k+1=-12，∴k=-13
故答案为：C
【分析】先把二次三项式能用完全平方公式因式分解 ，再展开，得出一次项系数，从而求出k值。注意一次项可能为正，也可能为负。
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式分解因式，即可得解．
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由（x2+4）（x+2）（x-○）得出○=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则△=16．
故答案为：B.
【分析】结合题意可得平方差公式分解因式即可得出等号右边的部分，即可推得“○”代表2，代入即可求解.
9．【答案】①；③
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①故①能用平方差公式因式分解；
②，故②不能用平方差公式和完全平方公式因式分解；
③故③能用完全平方公式因式分解；
④a2-b2+2ab =故④不能用平方差公式和完全平方公式因式分解；
⑤(a+b)2-10(a+b)+25=故⑤不能用平方差公式和完全平方公式因式分解.
故第1空答案为①，第2空答案为③.
【分析】根据平方差公式和完全平方公式对每一选项逐一分析选出符合题意的选项填在第1空和第2空即可.
10．【答案】（a+b)(a-3b)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（a-b）2-4b2=[（a-b）+2b][（a-b）-2b]=（a+b）（a-3b）。
故答案为：（a+b）（a-3b）。
【分析】4b2可看成是（2b）2，利用平方差公式即可进行因式分解。
11．【答案】7或﹣9
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
即m=7或-9
故填：=7或-9
【分析】根据完全平方公式，对应找到公式中的各项，对号入座，注意不要落下2倍项是减号的情况。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解 ，
∴a2+a+m是一个完全平方式，
∵，
∴m=.
故答案为：.
【分析】根据乘积2倍项和已知平方项确定出这两个数为a与，再根据完全平方式求解即可.
13．【答案】（1）（a+3）（a-3）
（2）（a+6）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）a2-9=（a+3）（a-3）；
（2）a2+12a+36=（a+6）2.
故答案为：（a+3）（a-3）；（a+6）2.
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可.
15．【答案】解：原式，
，
=．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】把 看作是一个整体，再运用完全平方公式进行分解即可。注意可能会出现需要再次分解的情况，要分解彻底。
16．【答案】解：原式=(x2+9)(x2-9)
=(x2+9)(x+3)(x-3).
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】本题用了两次公式法分解因式，平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b).
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）原式可变形为y2-(4x)2，然后利用平方差公式进行分解；
（2）原式可变形为[2(x+y)]2-[3(x-y)]2，然后利用平方差公式进行分解；
（3）首先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解.
18．【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)先把原式化成 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
(2)先把原式化成 ，然后利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果；
(3)先进行整式的混合运算将原式化简，再利用平方差公式分解因式即可；
(4)利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果.
19．【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
1 / 1【基础卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习
一、选择题
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．2a-b2 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意；
B、，是二项式，但两项不能写成平方的形式，则不能运用平方差公式，不符合题意；
C、，是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则能运用平方差公式，符合题意；
D、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐项进行判断即可.
2．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、=（x+3）2，故符合题意；
B、，平方项异号，不能完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、，不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意；
D、，只有两项， 不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子需要满足：①三项式，②其中两项能写成一个整式的完全平方且符号相同，③剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项分析即可.
3．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①x2-2x-1；②-x+1；③-a2-b2；④-a2+b2；⑤x2-4xy+4y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①x2-2x-1=x2-2x-12，两平方项符号相反，不能应用完全平方公式分解；
②，可以利用完全平方公式分解；
③-a2-b2 ，两平方项的符号相同，不能使用平方差公式分解；
④-a2+b2=b2-a2=(b-a)(b+a)，能使用平方差公式分解；
⑤x2-4xy+4y2=(x-2y)2，能应用完全平方公式分解，
综上可以使用公式分解因式的有②④⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】因式分解可套用的公式有a2-b2=(a+b)(a-b)及a2±2ab+b2=(a±b)2，从而将所给的五个多项式根据公式特点逐一分析判断即可.
4．（2023八上·莱芜期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A． B． C．或11 D．13或
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，∴k+1=12，∴k=11
或
，∴k+1=-12，∴k=-13
故答案为：C
【分析】先把二次三项式能用完全平方公式因式分解 ，再展开，得出一次项系数，从而求出k值。注意一次项可能为正，也可能为负。
5．（2023八上·哈尔滨月考）把多项式分解因式得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式分解因式，即可得解．
6．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
7．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
8．某同学在因式分解时，不小心把等式x4-△=(x2+4)(x+2)(x-○)中的“△”，“○”处两个数弄污了，则代数式中的△，○分别对应的一组数应该是（ ）
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由（x2+4）（x+2）（x-○）得出○=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则△=16．
故答案为：B.
【分析】结合题意可得平方差公式分解因式即可得出等号右边的部分，即可推得“○”代表2，代入即可求解.
二、填空题
9．给出下列多项式：①-m2+9；②-m2-9；③2ab-a2-b2；④a2-b2+2ab ；⑤(a+b)2-10(a+b)+25．其中能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 .
【答案】①；③
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①故①能用平方差公式因式分解；
②，故②不能用平方差公式和完全平方公式因式分解；
③故③能用完全平方公式因式分解；
④a2-b2+2ab =故④不能用平方差公式和完全平方公式因式分解；
⑤(a+b)2-10(a+b)+25=故⑤不能用平方差公式和完全平方公式因式分解.
故第1空答案为①，第2空答案为③.
【分析】根据平方差公式和完全平方公式对每一选项逐一分析选出符合题意的选项填在第1空和第2空即可.
10．（2019八上·黑龙江期末）分解因式：(a－b)2－4b2＝ ．
【答案】（a+b)(a-3b)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（a-b）2-4b2=[（a-b）+2b][（a-b）-2b]=（a+b）（a-3b）。
故答案为：（a+b）（a-3b）。
【分析】4b2可看成是（2b）2，利用平方差公式即可进行因式分解。
11．（2024八上·绿园期末） 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
【答案】7或﹣9
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
即m=7或-9
故填：=7或-9
【分析】根据完全平方公式，对应找到公式中的各项，对号入座，注意不要落下2倍项是减号的情况。
12．已知关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解，则m的值为
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解 ，
∴a2+a+m是一个完全平方式，
∵，
∴m=.
故答案为：.
【分析】根据乘积2倍项和已知平方项确定出这两个数为a与，再根据完全平方式求解即可.
三、计算题
13．（2023八上·榆树期中）因式分解下列各题：
（1）a2-9．
（2）a2+12a+36．
【答案】（1）（a+3）（a-3）
（2）（a+6）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）a2-9=（a+3）（a-3）；
（2）a2+12a+36=（a+6）2.
故答案为：（a+3）（a-3）；（a+6）2.
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可.
14．（2022七下·邗江期中）因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可.
15．（2023七上·奉贤期中）因式分解：．
【答案】解：原式，
，
=．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】把 看作是一个整体，再运用完全平方公式进行分解即可。注意可能会出现需要再次分解的情况，要分解彻底。
16．（2023八下·礼泉期末）因式分解：x4-81.
【答案】解：原式=(x2+9)(x2-9)
=(x2+9)(x+3)(x-3).
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】本题用了两次公式法分解因式，平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b).
17．（2022七下·建湖期中）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）原式可变形为y2-(4x)2，然后利用平方差公式进行分解；
（2）原式可变形为[2(x+y)]2-[3(x-y)]2，然后利用平方差公式进行分解；
（3）首先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解.
18．把下列各式分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)先把原式化成 ，然后利用平方差公式分解因式即可；
(2)先把原式化成 ，然后利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果；
(3)先进行整式的混合运算将原式化简，再利用平方差公式分解因式即可；
(4)利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果.
四、综合题
19．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
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