【培优卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习
一、选择题
1．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
2．（2016·贺州）n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：当n是偶数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，
当n是奇数时，
[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= ×（1+1）（n+1）（n﹣1）= ，
设n=2k﹣1（k为整数），
则 = =k（k﹣1），
∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，
故选C．
【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，属于“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设“幸福数”为（2n+1）2-（2n-1）2，
则（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
故“幸福数”是8的倍数，
故答案为：D.
【分析】两个连续的奇数，我们可以设为（2n+1）和（2n-1），根据平方差公式列式计算可知幸福数是8的倍数，从而得出答案.
4．（2023九上·苍南模拟）已知n(n≥8)个正实数，，···，满足=，其中q是不为1的正数.则+，与+的大小关系为（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵ =
∴a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4
∴a1+a9-(a4+a5)=a1+a1q7-(a1q3+a1q4)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1+q3q4-q3-q4)
=a1(q3-1)(q4-1)
∵a1为正实数
当q>1时，q3>1，q4>1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
当q<1时，q3<1，q4<1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
∴a1+a9>a4+a5
故答案为：A.
【分析】根据=，得a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4；作差法是比较大小常用的方法，要比较a1+a9与a4+a5的大小，可观察两者差的符号，结果为正则前者大，结果为负则后者大；过程中的1+q3q4-q3-q4=(q3-1)(q4-1)，采用了分组分解因式的方法；涉及到q3-1、q4-1的符号问题，需要对q的值进行分类讨论，当q>1或q<1时，作差的结果均大于零，故a1+a9>a4+a5.
5．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
6．（2022八下·清城期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABC的周长是6．
故答案为：B
【分析】先将已知等式进行因式分解可得，据此求出a+b+c的值即可.
7．（2023九上·济宁月考）若将多项式因式分解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵多项式因式分解为
∴
∴ a=-3，b=-10
∴
故答案为：B.
【分析】本题考查多项式的因式分解。根据因式分解的结果，还原出原来的多项式，对应相等得字母值，代入即可。
8．（2020·扬州模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 . （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6
∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）= ，故（1）正确；
（ 2 ）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）
∵
∴n×n是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有 ，故（2）正确；
（ 3 ）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；
（ 4 ）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x
∵t为吉祥数
∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36
∴y=x+4
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴ ， ， ， ，
∴最大值为 ，故（4）正确；
故答案为：D.
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案.
二、填空题
9．在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）-20x4= ．
【答案】（3x+2）（3-x）（6x2+7x+6）
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4
=（x+1）（x+6）（x+2）（2x+3）﹣20x4
=（x2+7x+6）（2x2+7x+6）﹣20x4
令t=x2+7x+6
t（x2+t）-20x4
=t2+tx2-20x4
=（t-4x2）（t+5x2）
=（x2+7x+6﹣4x2）（x2+7x+6+5x2）
=（6+7x-3x2）（6x2+7x+6）
=（3x+2）（3-x）（6x2+7x+6）．
故答案为：（3x+2）（3-x）（6x2+7x+6）．
【分析】根据整式的乘法法则展开，设t=x2+7x+6，代入后即可分解因式，分解后把t的值代入，再进一步分解因式即可．本题考查了多项式乘多项式、分解因式等知识点的理解，能选择适当地方法分解因式和把多项式展开是解此题的关键．
10．（2023九上·济宁月考）一个长方形的长与宽分别为，，若周长为，面积为，则的值为 ．
【答案】125
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵一个长方形的长与宽分别为，，若周长为，面积为
∴ a+b=，ab=5
∴
故答案为：125.
【分析】本题考查因式分解的应用。根据长方形的周长和面积，得出a+b，ab的值，把所求代数式因式分解后，代入值即可。因式分解时，若首项有负号，先提负号，再看是否有公因式，最后看能否用公式法或者十字相乘法分解。
11．（2021·利州模拟）已知 ，则代数式 的值为 .
【答案】49
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：49.
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值.
12．数348﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是 ．
【答案】28或26
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：348﹣1=（324+1）（324﹣1）
=（324+1）（312+1）（312﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）（36﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）（33+1）（33﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）×28×26，
则这个数是28或26，
故答案为：28或26
【分析】原式利用平方差公式分解，计算即可得到结果．
13．（2023九上·济宁月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
三、计算题
14．（2023九上·济宁月考）把下列各式因式分解．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】本题考查因式分解的方法：提公因式、公式法。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解。
（1）提取x-3即可；
（2）用平方差公式进行分解；
（3）先提负号，再用完全平方公式；
（4）平方差公式，注意合并。
15．（2018·遵义模拟）（y–z）2+（x–y）2+（z–x）2=（y+z–2x）2+（z+x–2y）2+（x+y–2z）2．求 的值．
【答案】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【分析】先将等式的右边的各个式子看成一个整体，移到等式的左边，然后利用加法的交换律，把左边变形成一加一减的形式，再利用平方差公式分别分解因式，在每个括号内合并同类项后利用单项式乘以单项式法则去掉括号，再利用拆项，分组分解法，完全平方公式分解因式，再根据几个非负数的和等于0，则这几个数都等于0，将方程降次，得出x，y，z的关系，再代入代数值计算即可得出答案。
四、实践探究题
16．分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：x2+( a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘再求和等于一次项系数．
例如：
（1）分解因式：
①x2+2x-24=
②6x2-7x-3=
（2）参考以上方法解方程：
①x2+2x-35=0；
②4x2-16x+15=0．
【答案】（1）①(x+6)(x-4)
②(2x-3)(3x+1)
（2）解：①x2 +2x-35=0，(x+7)(x-5)=0，x1=-7，x2=5．
②4x2-16x+15=0，(2x-5)(2x-3)=0，x1= ，x2=
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）①1=1×1，-24=6×(-4) ，2=1×6+1×(-4)，则x2+2x-24=(x+6)(x-4) ；
②6=2×3，-3=1×(-3)，-7=2×1+3x(-3)，则6x2-7x-3=(2x-3)(3x+1)．
【分析】（1）利用“十字相乘法”进行解方程即可；
（2）利用“十字相乘法”进行解方程即可.
17．（2023九上·济宁月考）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
，
原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
（1）用配方法分解因式：；其他方法不得分
（2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值．
【答案】（1）解：由题意，
．
（2）解：由题意，
，
当时，多项式有最大值．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查配方法的应用因式分解和求最小值。
（1）配方时，注意二次项系数，如果不是1，则先提取系数，再配方，加上一次项系数一半的平方。若系数是1，直接配方即可；
（2）求多项式的最大值或最小值时，通过配方的方法，利用平方的非负性，求出最值即可。
18．（2023八下·高陵期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：①；
②．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据进行解答即可，
（2）同理（1）可得出结果，
（3）先多项式乘以多项式，再将式子化简，最后同理（1）得出结果.
19．（2023八下·定边期末） 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得.人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”。
根据以上方法，把下列各式因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）原式可变形为4x4+y4+4x2y2-4x2y2，然后对前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为a2-4am+4m2-4m2-n2+4mn=(a2-4am+4m2)-(4m2+n2-4mn)，对括号中的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用平方差公式分解即可.
20．（2023九上·成都月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解下面共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形．
（1）用张型卡片，张型卡片拼成如图的图形，根据图，多项式因式分解的结果为 ；
（2）请用张型卡片，张型卡片，张型卡片拼成一个大正方形，在图的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 张型卡片面积是x ，张型卡片面积是2xy，张型卡片面积是y ，拼成一个大正方形，则
【分析】本题考查数形结合探讨因式分解的过程，数形结合是初中阶段很重要的一个数学思想，仔细审题，可得正确结论。
21．（2023九上·济宁月考）观察下列式子的因式分解做法：
；
；
．
（1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解： ．
（2）观察以上结果，猜想 为正整数，直接写结果，不用验证
（3）试求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据上述规律，可得，
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）
；
；
∴
则 ；
(2)依据规律，可知
【分析】本题考查因式分解的应用。熟悉平方差公式的构造，是推导公式的关键。利用加项减项的方法，提公因式后，再用平方差进行因式分解，可得到规律。
22．（2023八下·宣汉期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）解：
∵，
∴
∴当，时，有最小值，最小值为5．
即，原式有最小值5
（3）解：
，
当，时，有最小值，最小值为17．
即，原式有最小值17．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1） =m2-4m+4-9=（m-2）2-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）.
【分析】（1）根据阅读材料，先将 化为（m-2）2-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（3） 把多项式化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习
一、选择题
1．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
2．（2016·贺州）n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，属于“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
4．（2023九上·苍南模拟）已知n(n≥8)个正实数，，···，满足=，其中q是不为1的正数.则+，与+的大小关系为（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
5．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．（2022八下·清城期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
7．（2023九上·济宁月考）若将多项式因式分解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
8．（2020·扬州模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 . （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）-20x4= ．
10．（2023九上·济宁月考）一个长方形的长与宽分别为，，若周长为，面积为，则的值为 ．
11．（2021·利州模拟）已知 ，则代数式 的值为 .
12．数348﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是 ．
13．（2023九上·济宁月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
三、计算题
14．（2023九上·济宁月考）把下列各式因式分解．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（2018·遵义模拟）（y–z）2+（x–y）2+（z–x）2=（y+z–2x）2+（z+x–2y）2+（x+y–2z）2．求 的值．
四、实践探究题
16．分解因式有一种很重要的方法叫“十字相乘法”，常用于二次三项式的分解因式，实质是逆用多项式的乘法过程：x2+( a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．这个方法的关键是把二次项系数和常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘再求和等于一次项系数．
例如：
（1）分解因式：
①x2+2x-24=
②6x2-7x-3=
（2）参考以上方法解方程：
①x2+2x-35=0；
②4x2-16x+15=0．
17．（2023九上·济宁月考）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式；
再如：求代数式的最小值．
解：；
，
原式，
即当时，原式有最小值．
学以致用：
（1）用配方法分解因式：；其他方法不得分
（2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值．
18．（2023八下·高陵期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：①；
②．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2023八下·定边期末） 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得.人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”。
根据以上方法，把下列各式因式分解：
（1）；
（2）.
20．（2023九上·成都月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解下面共有三种卡片：型卡片是边长为的正方形；型卡片是长为，宽为的长方形；型卡片是边长为的正方形．
（1）用张型卡片，张型卡片拼成如图的图形，根据图，多项式因式分解的结果为 ；
（2）请用张型卡片，张型卡片，张型卡片拼成一个大正方形，在图的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．
21．（2023九上·济宁月考）观察下列式子的因式分解做法：
；
；
．
（1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解： ．
（2）观察以上结果，猜想 为正整数，直接写结果，不用验证
（3）试求的值．
22．（2023八下·宣汉期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：当n是偶数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，
当n是奇数时，
[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= ×（1+1）（n+1）（n﹣1）= ，
设n=2k﹣1（k为整数），
则 = =k（k﹣1），
∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，
故选C．
【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设“幸福数”为（2n+1）2-（2n-1）2，
则（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
故“幸福数”是8的倍数，
故答案为：D.
【分析】两个连续的奇数，我们可以设为（2n+1）和（2n-1），根据平方差公式列式计算可知幸福数是8的倍数，从而得出答案.
4．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵ =
∴a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4
∴a1+a9-(a4+a5)=a1+a1q7-(a1q3+a1q4)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1+q3q4-q3-q4)
=a1(q3-1)(q4-1)
∵a1为正实数
当q>1时，q3>1，q4>1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
当q<1时，q3<1，q4<1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
∴a1+a9>a4+a5
故答案为：A.
【分析】根据=，得a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4；作差法是比较大小常用的方法，要比较a1+a9与a4+a5的大小，可观察两者差的符号，结果为正则前者大，结果为负则后者大；过程中的1+q3q4-q3-q4=(q3-1)(q4-1)，采用了分组分解因式的方法；涉及到q3-1、q4-1的符号问题，需要对q的值进行分类讨论，当q>1或q<1时，作差的结果均大于零，故a1+a9>a4+a5.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABC的周长是6．
故答案为：B
【分析】先将已知等式进行因式分解可得，据此求出a+b+c的值即可.
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵多项式因式分解为
∴
∴ a=-3，b=-10
∴
故答案为：B.
【分析】本题考查多项式的因式分解。根据因式分解的结果，还原出原来的多项式，对应相等得字母值，代入即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6
∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）= ，故（1）正确；
（ 2 ）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）
∵
∴n×n是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有 ，故（2）正确；
（ 3 ）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；
（ 4 ）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x
∵t为吉祥数
∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36
∴y=x+4
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴ ， ， ， ，
∴最大值为 ，故（4）正确；
故答案为：D.
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案.
9．【答案】（3x+2）（3-x）（6x2+7x+6）
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4
=（x+1）（x+6）（x+2）（2x+3）﹣20x4
=（x2+7x+6）（2x2+7x+6）﹣20x4
令t=x2+7x+6
t（x2+t）-20x4
=t2+tx2-20x4
=（t-4x2）（t+5x2）
=（x2+7x+6﹣4x2）（x2+7x+6+5x2）
=（6+7x-3x2）（6x2+7x+6）
=（3x+2）（3-x）（6x2+7x+6）．
故答案为：（3x+2）（3-x）（6x2+7x+6）．
【分析】根据整式的乘法法则展开，设t=x2+7x+6，代入后即可分解因式，分解后把t的值代入，再进一步分解因式即可．本题考查了多项式乘多项式、分解因式等知识点的理解，能选择适当地方法分解因式和把多项式展开是解此题的关键．
10．【答案】125
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵一个长方形的长与宽分别为，，若周长为，面积为
∴ a+b=，ab=5
∴
故答案为：125.
【分析】本题考查因式分解的应用。根据长方形的周长和面积，得出a+b，ab的值，把所求代数式因式分解后，代入值即可。因式分解时，若首项有负号，先提负号，再看是否有公因式，最后看能否用公式法或者十字相乘法分解。
11．【答案】49
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：49.
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值.
12．【答案】28或26
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：348﹣1=（324+1）（324﹣1）
=（324+1）（312+1）（312﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）（36﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）（33+1）（33﹣1）
=（324+1）（312+1）（36+1）×28×26，
则这个数是28或26，
故答案为：28或26
【分析】原式利用平方差公式分解，计算即可得到结果．
13．【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】本题考查因式分解的方法：提公因式、公式法。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解。
（1）提取x-3即可；
（2）用平方差公式进行分解；
（3）先提负号，再用完全平方公式；
（4）平方差公式，注意合并。
15．【答案】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【分析】先将等式的右边的各个式子看成一个整体，移到等式的左边，然后利用加法的交换律，把左边变形成一加一减的形式，再利用平方差公式分别分解因式，在每个括号内合并同类项后利用单项式乘以单项式法则去掉括号，再利用拆项，分组分解法，完全平方公式分解因式，再根据几个非负数的和等于0，则这几个数都等于0，将方程降次，得出x，y，z的关系，再代入代数值计算即可得出答案。
16．【答案】（1）①(x+6)(x-4)
②(2x-3)(3x+1)
（2）解：①x2 +2x-35=0，(x+7)(x-5)=0，x1=-7，x2=5．
②4x2-16x+15=0，(2x-5)(2x-3)=0，x1= ，x2=
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）①1=1×1，-24=6×(-4) ，2=1×6+1×(-4)，则x2+2x-24=(x+6)(x-4) ；
②6=2×3，-3=1×(-3)，-7=2×1+3x(-3)，则6x2-7x-3=(2x-3)(3x+1)．
【分析】（1）利用“十字相乘法”进行解方程即可；
（2）利用“十字相乘法”进行解方程即可.
17．【答案】（1）解：由题意，
．
（2）解：由题意，
，
当时，多项式有最大值．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查配方法的应用因式分解和求最小值。
（1）配方时，注意二次项系数，如果不是1，则先提取系数，再配方，加上一次项系数一半的平方。若系数是1，直接配方即可；
（2）求多项式的最大值或最小值时，通过配方的方法，利用平方的非负性，求出最值即可。
18．【答案】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据进行解答即可，
（2）同理（1）可得出结果，
（3）先多项式乘以多项式，再将式子化简，最后同理（1）得出结果.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）原式可变形为4x4+y4+4x2y2-4x2y2，然后对前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为a2-4am+4m2-4m2-n2+4mn=(a2-4am+4m2)-(4m2+n2-4mn)，对括号中的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用平方差公式分解即可.
20．【答案】（1）
（2）解：如图所示，．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 张型卡片面积是x ，张型卡片面积是2xy，张型卡片面积是y ，拼成一个大正方形，则
【分析】本题考查数形结合探讨因式分解的过程，数形结合是初中阶段很重要的一个数学思想，仔细审题，可得正确结论。
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：根据上述规律，可得，
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）
；
；
∴
则 ；
(2)依据规律，可知
【分析】本题考查因式分解的应用。熟悉平方差公式的构造，是推导公式的关键。利用加项减项的方法，提公因式后，再用平方差进行因式分解，可得到规律。
22．【答案】（1）
（2）解：
∵，
∴
∴当，时，有最小值，最小值为5．
即，原式有最小值5
（3）解：
，
当，时，有最小值，最小值为17．
即，原式有最小值17．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1） =m2-4m+4-9=（m-2）2-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）.
【分析】（1）根据阅读材料，先将 化为（m-2）2-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（3） 把多项式化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可.
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