【提升卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·市南区期末）下列变形中，是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 无法进行因式分解，故不符合题意；
B、 因式分解正确，故符合题意；
C、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
D、 ， 因式分解不正确，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义及法则逐项判断即可.
2．（2023八下·长安期末）将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 ，A不符合题意；
B、 ，B不符合题意；
C、 ，C不符合题意；
D、 无法因式分解，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义对各选项进行判断即可得到结果.
3．（2023八下·保定期末）下列不能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： A：，能分解因式，不符合题意；
B：，不能分解因式，符合题意；
C：，能分解因式，不符合题意；
D：，能分解因式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法和公式法分解因式判断求解即可。
4．（2023八下·毕节期末）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确，
故答案为：C.
【分析】利用提取公因式、平方差公式及完全平方公式的因式分解法的步骤及解法逐项判断即可.
5．（2023八下·保定期末）数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（ ）
董天宇：秘锦航：
夏渤骅：武帅：
A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A：董天宇的结果是整式的乘法运算，故A选项错误；
B：秘锦航的结果不是几个整式的积的形式，故B选项错误；
C：夏渤骅的结果是几个整式的积的形式，故C选项正确；
D：武帅的结果不是几个整式的积的形式，故D选项错误。
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案。
6．（2022八下·章丘期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（ ）
A．a2＋4 B．a2＋2a＋1 C．a2－1 D．9a2－6a＋1
【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、在实数范围内不能进行因式分解，则此项符合题意；
B、，则此项不符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、，则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法和公式法逐项判断即可。
7．（2023八下·阜新期末）已知、、是三角形的三条边，那么代数式的值（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形三边关系得到：a+c-b＞0，a-b-c＜0，
∴（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c）＜0.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，可得a+c-b＞0，a-b-c＜0，再用平方差公式将待求式子分解因式，进而根据实数的乘法法则即可判断得出答案.
8．（2023八下·二七期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
对应的字为：中、爱、国、你，
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，然后找到对应的字得到密码信息.
二、填空题
9．（2022八下·紫金期中）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
10．（2023八下·成都月考）分解因式： .
【答案】（x-2y）（x+2y+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：（x-2y）（x+2y+1）.
【分析】对前两项利用平方差公式分解可得原式=(x+2y)(x-2y)+(x-2y)，然后提取公因式(x-2y)即可.
11．（2023八下·睢宁期末）已知：，，，则 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵， ，
∴
∴
又∵ ，
∴x+y=-4，
联立方程：，解得，
∴xy=，
故答案为：.
【分析】依题意得，， ，两式相减，可得x2-y2=4，即（x+y）（x-y）=4，再结合x-y=-1，得到x+y=-4，联立方程求出x，y，最后计算xy即可.
12．（2023八下·黄岛期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：左边四个图形的面积为x2+2x+4x+8=x2+6x+8，右边长方形的长为x+4，宽为x+2，面积为(x+2)(x+3)。
∴x2+6x+8=(x+2)(x+4)
故答案为：x2+6x+8=(x+2)(x+4)
【分析】根据左边四个图形的面积之和等于右边长方形的面积即可求解。
三、计算题
13．（2022八下·龙岗期末）将下列各式分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=（x+5）（x-3）；
（2）解：原式＝（3x＋6 y）2－（2x－2y）2
＝（3x＋6 y＋2x－2y）（3x＋6 y －2x＋2y）
＝（5x＋4 y）（x＋8 y）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可。
14．（2020八下·甘州月考）分解因式.
（1）a2+b2﹣2ab﹣1；
（2）(2x+y)2﹣(x﹣2y)2；
（3）(a+b)2﹣6(a+b)+9；
（4）﹣4(m+n)2+25(m﹣2n)2.
【答案】（1）a2+b2﹣2ab﹣1=(a2+b2﹣2ab)﹣1=(a﹣b)2﹣1=(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)；
（2）(2x+y)2﹣(x﹣2y)2=(2x+y+x﹣2y)(2x+y﹣x+2y)=(3x﹣y)(x+3y)；
（3）(a+b)2﹣6(a+b)+9=(a+b﹣3)2；
（4）﹣4(m+n)2+25(m﹣2n)2
=25(m﹣2n)2﹣4(m+n)2
=(5m﹣10n+2m+2n)(5m﹣10n﹣2m﹣2n)=3(7m﹣8n)(m﹣4n)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解.（2）根据平方差公式进行因式分解，再合并同类项即可求解.（3）根据完全平方公式进行因式分解.（4）根据平方差公式进行因式分解，再合并同类项，提取公因式即可求解.
四、综合题
15．（2023八下·兰州期末）分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为．
（1）求a、b的值．
（2）分解因式的正确答案是什么？
【答案】（1）解：
，
∵分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，
∴甲没有看错b，即；
，
∵分解因式时，乙看错了b的值，
∴乙没有看错a，即
（2）解：∵，，，
∴
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算方法求出可得b的值，再算出，可得a的值；
（2）根据（1）的结果可得，再利用十字相乘法因式分解即可.
16．（2023八下·都昌期末）阅读下列分解因式的过程：
．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边，，满足，判断的形状
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
即：或，
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可；
（2）根据题意先求出，再求出 或， 最后判断求解即可。
五、实践探究题
17．（2023八下·莲湖期末）阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如：____．
（1）用平方差公式补全上面算式最后一步．
（2）用上述方法把分解因式．
【答案】（1）
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：.
【分析】（1）根据平方差公式法因式分解，即可求解；
（2）根据配方法，因式分解即可.
18．（2023八下·长安期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ；
（2）该因式分解的最后结果应该是 ；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）公式法或完全平方公式法
（2）
（3）解：对于，
设，
∴
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式.
故答案为：公式法或完全平方公式法.
（2） 还可以分解，
.
故答案为：.
【分析】（1）完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）分解不彻底，还可以分解；
（3）同理例题即可求解.
19．（2023八下·西安期末）阅读材料，并解决问题：
分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：令，则原式
（2）解：令，
则原式
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用题中给出的“换元法”对之进行因式分解即可；
（2）同理（1）对之进行因式分解即可.
20．（2023八下·子洲期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：（1）；（2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用阅读材料，观察常数项和一次项的系数特点，进行分解因式.
（2）观察此多项式的常数项和一次项的系数特点，进行分解因式.
（3）先去括号，再合并同类项，然后进行分解因式即可.
六、解答题
21．（2023八下·通川期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·市南区期末）下列变形中，是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·长安期末）将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·保定期末）下列不能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·毕节期末）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·保定期末）数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（ ）
董天宇：秘锦航：
夏渤骅：武帅：
A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅
6．（2022八下·章丘期末）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（ ）
A．a2＋4 B．a2＋2a＋1 C．a2－1 D．9a2－6a＋1
7．（2023八下·阜新期末）已知、、是三角形的三条边，那么代数式的值（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
8．（2023八下·二七期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你
二、填空题
9．（2022八下·紫金期中）分解因式： ．
10．（2023八下·成都月考）分解因式： .
11．（2023八下·睢宁期末）已知：，，，则 ．
12．（2023八下·黄岛期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： ．
三、计算题
13．（2022八下·龙岗期末）将下列各式分解因式：
（1）
（2）
14．（2020八下·甘州月考）分解因式.
（1）a2+b2﹣2ab﹣1；
（2）(2x+y)2﹣(x﹣2y)2；
（3）(a+b)2﹣6(a+b)+9；
（4）﹣4(m+n)2+25(m﹣2n)2.
四、综合题
15．（2023八下·兰州期末）分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为．
（1）求a、b的值．
（2）分解因式的正确答案是什么？
16．（2023八下·都昌期末）阅读下列分解因式的过程：
．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边，，满足，判断的形状
五、实践探究题
17．（2023八下·莲湖期末）阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如：____．
（1）用平方差公式补全上面算式最后一步．
（2）用上述方法把分解因式．
18．（2023八下·长安期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ；
（2）该因式分解的最后结果应该是 ；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
19．（2023八下·西安期末）阅读材料，并解决问题：
分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）；
（2）．
20．（2023八下·子洲期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：（1）；（2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）；
（2）；
（3）．
六、解答题
21．（2023八下·通川期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 无法进行因式分解，故不符合题意；
B、 因式分解正确，故符合题意；
C、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
D、 ， 因式分解不正确，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义及法则逐项判断即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 ，A不符合题意；
B、 ，B不符合题意；
C、 ，C不符合题意；
D、 无法因式分解，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义对各选项进行判断即可得到结果.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： A：，能分解因式，不符合题意；
B：，不能分解因式，符合题意；
C：，能分解因式，不符合题意；
D：，能分解因式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法和公式法分解因式判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确，
故答案为：C.
【分析】利用提取公因式、平方差公式及完全平方公式的因式分解法的步骤及解法逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A：董天宇的结果是整式的乘法运算，故A选项错误；
B：秘锦航的结果不是几个整式的积的形式，故B选项错误；
C：夏渤骅的结果是几个整式的积的形式，故C选项正确；
D：武帅的结果不是几个整式的积的形式，故D选项错误。
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、在实数范围内不能进行因式分解，则此项符合题意；
B、，则此项不符合题意；
C、，则此项不符合题意；
D、，则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法和公式法逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形三边关系得到：a+c-b＞0，a-b-c＜0，
∴（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c）＜0.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系，可得a+c-b＞0，a-b-c＜0，再用平方差公式将待求式子分解因式，进而根据实数的乘法法则即可判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
对应的字为：中、爱、国、你，
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，然后找到对应的字得到密码信息.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。
10．【答案】（x-2y）（x+2y+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：（x-2y）（x+2y+1）.
【分析】对前两项利用平方差公式分解可得原式=(x+2y)(x-2y)+(x-2y)，然后提取公因式(x-2y)即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵， ，
∴
∴
又∵ ，
∴x+y=-4，
联立方程：，解得，
∴xy=，
故答案为：.
【分析】依题意得，， ，两式相减，可得x2-y2=4，即（x+y）（x-y）=4，再结合x-y=-1，得到x+y=-4，联立方程求出x，y，最后计算xy即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：左边四个图形的面积为x2+2x+4x+8=x2+6x+8，右边长方形的长为x+4，宽为x+2，面积为(x+2)(x+3)。
∴x2+6x+8=(x+2)(x+4)
故答案为：x2+6x+8=(x+2)(x+4)
【分析】根据左边四个图形的面积之和等于右边长方形的面积即可求解。
13．【答案】（1）解：原式=（x+5）（x-3）；
（2）解：原式＝（3x＋6 y）2－（2x－2y）2
＝（3x＋6 y＋2x－2y）（3x＋6 y －2x＋2y）
＝（5x＋4 y）（x＋8 y）
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可。
14．【答案】（1）a2+b2﹣2ab﹣1=(a2+b2﹣2ab)﹣1=(a﹣b)2﹣1=(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)；
（2）(2x+y)2﹣(x﹣2y)2=(2x+y+x﹣2y)(2x+y﹣x+2y)=(3x﹣y)(x+3y)；
（3）(a+b)2﹣6(a+b)+9=(a+b﹣3)2；
（4）﹣4(m+n)2+25(m﹣2n)2
=25(m﹣2n)2﹣4(m+n)2
=(5m﹣10n+2m+2n)(5m﹣10n﹣2m﹣2n)=3(7m﹣8n)(m﹣4n)
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解.（2）根据平方差公式进行因式分解，再合并同类项即可求解.（3）根据完全平方公式进行因式分解.（4）根据平方差公式进行因式分解，再合并同类项，提取公因式即可求解.
15．【答案】（1）解：
，
∵分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，
∴甲没有看错b，即；
，
∵分解因式时，乙看错了b的值，
∴乙没有看错a，即
（2）解：∵，，，
∴
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算方法求出可得b的值，再算出，可得a的值；
（2）根据（1）的结果可得，再利用十字相乘法因式分解即可.
16．【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
即：或，
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可；
（2）根据题意先求出，再求出 或， 最后判断求解即可。
17．【答案】（1）
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：.
【分析】（1）根据平方差公式法因式分解，即可求解；
（2）根据配方法，因式分解即可.
18．【答案】（1）公式法或完全平方公式法
（2）
（3）解：对于，
设，
∴
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式.
故答案为：公式法或完全平方公式法.
（2） 还可以分解，
.
故答案为：.
【分析】（1）完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）分解不彻底，还可以分解；
（3）同理例题即可求解.
19．【答案】（1）解：令，则原式
（2）解：令，
则原式
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用题中给出的“换元法”对之进行因式分解即可；
（2）同理（1）对之进行因式分解即可.
20．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用阅读材料，观察常数项和一次项的系数特点，进行分解因式.
（2）观察此多项式的常数项和一次项的系数特点，进行分解因式.
（3）先去括号，再合并同类项，然后进行分解因式即可.
21．【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
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