【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第四章因式分解 章末检测
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023八下·泰山期末）使用提公因式法分解时，公因式是（ ）
A． B． C．2ab D．
2．（2023九上·宜州期中）解方程（x-1）2-3（x-1）＝0的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
3．（2023九上·高台开学考） 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．b B．
C． D．
4．（2023九上·济宁月考）给出下列各式：，，，，，其中能用平方差公式进行因式分解的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023八下·辽阳期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·东莞开学考）下列从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算：211﹣210的结果是（ ）
A．﹣210 B．2 C．-2 D．210
8．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（ ）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
9．（2022九上·遵义月考）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为（ ）
A．-12 B．3 C．-3或12 D．3或12
10．（2023八下·高州月考）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：3，分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023八下·金牛期末）已知，，则 ．
12．（2020·内江）分解因式：
13．（2018·深圳模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
14．（2024八下·汕头开学）因式分解2x2- 12x +18的结果是
15．（2021九下·南海月考）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝ ．
三、计算题（共2题，共18分）
16．（2023九上·滕州开学考）选取最恰当的方法解方程：
（1）；
（2）．
17．把下列各式因式分解:
（1）(a2-4)2+6(a2-4)+9;
（2）(x2+16y2)2-64x2y2;
（3）a3-a+2b-2a2b;
（4）x2-2xy+y2+2x-2y+1.
四、解答题（共10题，共67分）
18．（2023九上·长沙月考）已知，，为正数，且，求的值．
19．（2022八下·薛城期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
20．（2023八下·贵溪期末） 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
.提取公因式 .平方差公式 .完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
21．（2023八下·薛城期末）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空： ；
（2）解决问题：因式分解；
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22．（2020八下·寿阳期末）数学课后，小玲和同桌小娟各自拿出自己的漂亮的正方形手帕，她们俩各有一条方格手帕和一条绣花手帕，如图，小玲说：“我的方格手帕的边长比你的方格手帕的边长大0.6 ．”小娟说：“我的绣花手帕的边长比你的绣花手帕的边长大0.6 ．”设小玲的两块手帕的面积和为 ，小娟的两块手帕的面积和为 ，请同学们运用因式分解的方法算一算 与 的差．
23．（2023八下·陈仓期末）阅读以下材料：
因式分解：，
解：令，则原式：，
再将“A”还原，得原式，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）当n为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
24．（2023·嘉兴）观察下面的等式：，，，，…．
（1）尝试： ．
（2）归纳： （用含n的代数式表示，n为正整数）．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
25．（2023九上·仙居开学考）阅读材料：
由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：
分解因式：．
（1）尝试：分解因式
（2）应用：请用上述方法解方程．
（3）拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为 ．
26．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
27．（2023八下·武功期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】 ∵=2ab（2a-3b+a2b2），
∴的公因式是2ab；
故答案为：C。
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式。
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】(x- 1)2 - 3(x - 1) =0，
(x-1)(x-1-3)=0，
x-1=0或x-4=0，
解得x1 = 1，x2 =4.
所以此方程利用因式分解法最适当.故选：D.
【分析】利用因式分解法很容易把方程转化为x-1=0或x-4=0.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
B. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
C. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
D. ，右边是因式积的形式，是因式分解，该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式分解为几个因式的积的形式，叫因式分解。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ：，可以用平方差公式因式分解；
，可以用平方差公式因式分解；
，不可以用平方差公式因式分解；
，不可以用平方差公式因式分解；
，可以用平方差公式因式分解；
则可以用平方差公式因式分解的有3个
故答案为：C.
【分析】本题考查用平方差公式进行因式分解，熟悉平方差公式：a -b =(a+b)(a-b)是解题关键。
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
B，，两个平方项，没有二倍项，不能因式分解.
C，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
D，，能够因式分解，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式，完全平方公式来进行判断.
6．【答案】D
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、将两个二项式的乘积形式变形成了一个多项式，是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式的乘积形式，是整式的和的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式右边的因式x2+2x+1还可以利用完全平方公式分解为（x+1）2，故此选项不符合题意；
D、此选项从左边到右边的变形是因式分解，且分解正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多形式变形为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此排除A、B选项；根据因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，可排除C选项，从而即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：211﹣210=210×（2﹣1）=210．
故选；D．
【分析】首先找出公因式210，进而提取得出即可．
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)能被6整除。
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。
9．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵
∴或
∴或，
故答案为：D.
【分析】利用十字相乘法分解可得x2+5x-14=(x-2)(x+7)，结合已知条件可得a、b、c的值，然后代入a+2c中进行计算.
10．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1)(x-1)(a-b)，
而3对应的是我，x-1对应的是国，x+1对应的是祖，a-b对应的是爱，
∴结果呈现的密码信息可能是我爱祖国.
故答案为：D.
【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2n+mn2=mn（m+n）=2×3=6.
故第1空答案为：6.
【分析】首先把m2n+mn2进行因式分解，然后再整体代入求代数式的值即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
13．【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
14．【答案】2 (x- 3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
15．【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
16．【答案】（1）解：，
，
则，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】 (1) 先观察方程，可以找到公因式，因此可以提取公因式进行因式分解，选用因式分解法解方程；
(2) 先把系数化简再观察各系数，尝试简单验算后就可以用十字相乘法进行因式分解，进一步求出方程的解。
17．【答案】（1）解:原式=(a2-4+3)2=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2
（2）解:原式=(x2+16y2)2-(8xy)2
=(x2+16y2+8xy)(x2+16y2-8xy)
=(x+4y)2(x-4y)2
（3）解:原式=a(a2-1)+2b(1-a2)=(a-2b)(a+1)(a-1)
（4）解:原式=(x-y)2+2(x-y)+1=(x-y+1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）将a2-4看着整体，先利用完全平方公式分解因式得到(a2-1)2，再利用平方差公式将括号里的多项式分解因式，即可得出答案。
（2）将x2+16y2看着整体，先利用平方差公式分解因式得到(x2+16y2+8xy)(x2+16y2-8xy)，再利用完全平方公式将括号里的多项式分解因式，即可得出答案。
（3）观察此多项式有四项，没有公因式，因此采用分组分解法，第一、四项含有公因式a2,可将第一项和四项、第二三项分组，利用提公因式法分解即可；也可将一二、三四分组，再利用提公因式法和平方差公式分解即可。、；
（4）观察此多项式有六项，没有公因式，因此利用分组分解法，而x2-2xy+y2是完全平方公式，2x-2y有公因式，将一二三分为一组，四五分为一组，1单独一组，再利用完全平方公式分解即可。
18．【答案】解：，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】把x+y+xy=8变形得(x+1)(y+1)=9，其它两个等式经过同样形式的变形，把其中两个等式相乘再除以另一个等式，就可以求出x、y、z的值，最后代入计算即可。
19．【答案】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】设另一个因式为x＋p，根据题意列出算式，再利用待定系数法可得，求出p、k的值即可。
20．【答案】（1）
（2）解：设，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解；
（2）设，再运用多项式乘以多项式得到，再利用完全平方公式分解即可．
21．【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：结论：是等边三角形．
理由：∵，
∴，即：
∵，，
∴，，
∴
∴是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
(1)ac-bc+ab-a2
=c(a-b)-a(a-b)
=(a-b)(c-a)
【分析】
(1)先分组，然后再提取公因式进行分解。注意在提取带负号的公因式时，符号的变化。
(2)先分组，然后再提取公因式进行分解。
(3)把等式左边的代数式分组，写成两个完全平方式和的形式，再根据平方式的非负性推导出a=b=c.
22．【答案】解：
（ ）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用正方形的面积公式求出S1与S2，再列出 ，然后将其变形，最后利用平方差公式进行计算即可.
23．【答案】（1）解：将“”看成整体，令，则
原式，
再将“A”还原，得：
原式；
（2）解：将“”看成整体，令，
原式
，
将“A”还原，得：
原式；
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值为1．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）令，则原式，再将A还原即可；
（2）令，则原式=，再将A还原可得原式，根据偶次幂的非负性即可求解.
24．【答案】（1）6
（2）n
（3）解：
．
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）132-112=(13-11)(13+11)=2×24=2×4×6=8×6，
故答案为：6；
（2）(2n+1)2-(2n-1)2=8n，
故答案为：n；
【分析】（1）根据平方差公式进行计算后结合题干给出的几个等式特点可直接得出答案；
（2）通过题干及（1）的计算结果可得左边是从3开始的连续奇数的平方减去从1开始的连续奇数的平方，右边是8与等式的序数的乘积，据此可得答案；
（3）将（2）中式子的左边利用平方差公式分解因式后再计算即可.
25．【答案】（1）2；4
（2）解：，
．
则或．
，．
（3）15、6、0、-6、-15
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1），故答案为：2；4.
（3），当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，故综上所述k的值为15、6、0、-6、-15.
【分析】【分析】（1）根据材料及示例运用十字相乘法即可求解；
（2）运用十字相乘法即可求解即可；
（3）根据再结合十字交叉法进行因式分级即可求解.
26．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
27．【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第四章因式分解 章末检测
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023八下·泰山期末）使用提公因式法分解时，公因式是（ ）
A． B． C．2ab D．
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】 ∵=2ab（2a-3b+a2b2），
∴的公因式是2ab；
故答案为：C。
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式。
2．（2023九上·宜州期中）解方程（x-1）2-3（x-1）＝0的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】(x- 1)2 - 3(x - 1) =0，
(x-1)(x-1-3)=0，
x-1=0或x-4=0，
解得x1 = 1，x2 =4.
所以此方程利用因式分解法最适当.故选：D.
【分析】利用因式分解法很容易把方程转化为x-1=0或x-4=0.
3．（2023九上·高台开学考） 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．b B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
B. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
C. ，右边不是因式积的形式，不是因式分解，该选项不符合题意；
D. ，右边是因式积的形式，是因式分解，该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式分解为几个因式的积的形式，叫因式分解。
4．（2023九上·济宁月考）给出下列各式：，，，，，其中能用平方差公式进行因式分解的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ：，可以用平方差公式因式分解；
，可以用平方差公式因式分解；
，不可以用平方差公式因式分解；
，不可以用平方差公式因式分解；
，可以用平方差公式因式分解；
则可以用平方差公式因式分解的有3个
故答案为：C.
【分析】本题考查用平方差公式进行因式分解，熟悉平方差公式：a -b =(a+b)(a-b)是解题关键。
5．（2023八下·辽阳期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
B，，两个平方项，没有二倍项，不能因式分解.
C，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
D，，能够因式分解，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式，完全平方公式来进行判断.
6．（2023九上·东莞开学考）下列从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、将两个二项式的乘积形式变形成了一个多项式，是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式的乘积形式，是整式的和的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式右边的因式x2+2x+1还可以利用完全平方公式分解为（x+1）2，故此选项不符合题意；
D、此选项从左边到右边的变形是因式分解，且分解正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多形式变形为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此排除A、B选项；根据因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，可排除C选项，从而即可得出答案.
7．计算：211﹣210的结果是（ ）
A．﹣210 B．2 C．-2 D．210
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：211﹣210=210×（2﹣1）=210．
故选；D．
【分析】首先找出公因式210，进而提取得出即可．
8．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（ ）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)能被6整除。
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。
9．（2022九上·遵义月考）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为（ ）
A．-12 B．3 C．-3或12 D．3或12
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵
∴或
∴或，
故答案为：D.
【分析】利用十字相乘法分解可得x2+5x-14=(x-2)(x+7)，结合已知条件可得a、b、c的值，然后代入a+2c中进行计算.
10．（2023八下·高州月考）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：3，分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1)(x-1)(a-b)，
而3对应的是我，x-1对应的是国，x+1对应的是祖，a-b对应的是爱，
∴结果呈现的密码信息可能是我爱祖国.
故答案为：D.
【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023八下·金牛期末）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2n+mn2=mn（m+n）=2×3=6.
故第1空答案为：6.
【分析】首先把m2n+mn2进行因式分解，然后再整体代入求代数式的值即可。
12．（2020·内江）分解因式：
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
13．（2018·深圳模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）= ．
【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．
【分析】首先利用换元的思想令x+y=a，xy=b，从而将原代数式变形为（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a），然后去括号，利用分组分解法，将第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提公因式法分解，然后再整体利用完全平方公式分解；最后再将换元的部分代入，在底数内利用分组分解法，再利用提公因式法分解到不能再分解为止。
14．（2024八下·汕头开学）因式分解2x2- 12x +18的结果是
【答案】2 (x- 3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
15．（2021九下·南海月考）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝ ．
【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
三、计算题（共2题，共18分）
16．（2023九上·滕州开学考）选取最恰当的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
则，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】 (1) 先观察方程，可以找到公因式，因此可以提取公因式进行因式分解，选用因式分解法解方程；
(2) 先把系数化简再观察各系数，尝试简单验算后就可以用十字相乘法进行因式分解，进一步求出方程的解。
17．把下列各式因式分解:
（1）(a2-4)2+6(a2-4)+9;
（2）(x2+16y2)2-64x2y2;
（3）a3-a+2b-2a2b;
（4）x2-2xy+y2+2x-2y+1.
【答案】（1）解:原式=(a2-4+3)2=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2
（2）解:原式=(x2+16y2)2-(8xy)2
=(x2+16y2+8xy)(x2+16y2-8xy)
=(x+4y)2(x-4y)2
（3）解:原式=a(a2-1)+2b(1-a2)=(a-2b)(a+1)(a-1)
（4）解:原式=(x-y)2+2(x-y)+1=(x-y+1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）将a2-4看着整体，先利用完全平方公式分解因式得到(a2-1)2，再利用平方差公式将括号里的多项式分解因式，即可得出答案。
（2）将x2+16y2看着整体，先利用平方差公式分解因式得到(x2+16y2+8xy)(x2+16y2-8xy)，再利用完全平方公式将括号里的多项式分解因式，即可得出答案。
（3）观察此多项式有四项，没有公因式，因此采用分组分解法，第一、四项含有公因式a2,可将第一项和四项、第二三项分组，利用提公因式法分解即可；也可将一二、三四分组，再利用提公因式法和平方差公式分解即可。、；
（4）观察此多项式有六项，没有公因式，因此利用分组分解法，而x2-2xy+y2是完全平方公式，2x-2y有公因式，将一二三分为一组，四五分为一组，1单独一组，再利用完全平方公式分解即可。
四、解答题（共10题，共67分）
18．（2023九上·长沙月考）已知，，为正数，且，求的值．
【答案】解：，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】把x+y+xy=8变形得(x+1)(y+1)=9，其它两个等式经过同样形式的变形，把其中两个等式相乘再除以另一个等式，就可以求出x、y、z的值，最后代入计算即可。
19．（2022八下·薛城期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】设另一个因式为x＋p，根据题意列出算式，再利用待定系数法可得，求出p、k的值即可。
20．（2023八下·贵溪期末） 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
.提取公因式 .平方差公式 .完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）
（2）解：设，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解；
（2）设，再运用多项式乘以多项式得到，再利用完全平方公式分解即可．
21．（2023八下·薛城期末）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空： ；
（2）解决问题：因式分解；
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：结论：是等边三角形．
理由：∵，
∴，即：
∵，，
∴，，
∴
∴是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：
(1)ac-bc+ab-a2
=c(a-b)-a(a-b)
=(a-b)(c-a)
【分析】
(1)先分组，然后再提取公因式进行分解。注意在提取带负号的公因式时，符号的变化。
(2)先分组，然后再提取公因式进行分解。
(3)把等式左边的代数式分组，写成两个完全平方式和的形式，再根据平方式的非负性推导出a=b=c.
22．（2020八下·寿阳期末）数学课后，小玲和同桌小娟各自拿出自己的漂亮的正方形手帕，她们俩各有一条方格手帕和一条绣花手帕，如图，小玲说：“我的方格手帕的边长比你的方格手帕的边长大0.6 ．”小娟说：“我的绣花手帕的边长比你的绣花手帕的边长大0.6 ．”设小玲的两块手帕的面积和为 ，小娟的两块手帕的面积和为 ，请同学们运用因式分解的方法算一算 与 的差．
【答案】解：
（ ）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用正方形的面积公式求出S1与S2，再列出 ，然后将其变形，最后利用平方差公式进行计算即可.
23．（2023八下·陈仓期末）阅读以下材料：
因式分解：，
解：令，则原式：，
再将“A”还原，得原式，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）当n为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
【答案】（1）解：将“”看成整体，令，则
原式，
再将“A”还原，得：
原式；
（2）解：将“”看成整体，令，
原式
，
将“A”还原，得：
原式；
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值为1．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）令，则原式，再将A还原即可；
（2）令，则原式=，再将A还原可得原式，根据偶次幂的非负性即可求解.
24．（2023·嘉兴）观察下面的等式：，，，，…．
（1）尝试： ．
（2）归纳： （用含n的代数式表示，n为正整数）．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】（1）6
（2）n
（3）解：
．
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）132-112=(13-11)(13+11)=2×24=2×4×6=8×6，
故答案为：6；
（2）(2n+1)2-(2n-1)2=8n，
故答案为：n；
【分析】（1）根据平方差公式进行计算后结合题干给出的几个等式特点可直接得出答案；
（2）通过题干及（1）的计算结果可得左边是从3开始的连续奇数的平方减去从1开始的连续奇数的平方，右边是8与等式的序数的乘积，据此可得答案；
（3）将（2）中式子的左边利用平方差公式分解因式后再计算即可.
25．（2023九上·仙居开学考）阅读材料：
由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：
分解因式：．
（1）尝试：分解因式
（2）应用：请用上述方法解方程．
（3）拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为 ．
【答案】（1）2；4
（2）解：，
．
则或．
，．
（3）15、6、0、-6、-15
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1），故答案为：2；4.
（3），当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，故综上所述k的值为15、6、0、-6、-15.
【分析】【分析】（1）根据材料及示例运用十字相乘法即可求解；
（2）运用十字相乘法即可求解即可；
（3）根据再结合十字交叉法进行因式分级即可求解.
26．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
27．（2023八下·武功期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
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