河南省部分学校2023-2024学年高二下学期阶段性测试（三）数学试卷（含答案）

河南省部分学校2023-2024学年高二下学期阶段性测试（三）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效，
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．在四面体中，为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这个值称为黄金分割数，已知双曲线的虚轴长与实轴长的比值恰好是黄金分割数，设的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（ ）
A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺
7．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中且，则（ ）
A．是的极大值点 B．是的极小值点
C．在上单调递增 D．在上单调递减
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为
B．若向量，且，则
C．若向量，则在上的投影向量的模为
D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面
10．记是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B．为递增数列 C．的最小值为 D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的图象与轴相切
B．存在，使得有极大值
C．若，则
D．若，则关于的方程有且仅有3个不等的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则________。
13．已知，若函数有最小值，则实数的最大值为________。
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，过上的一点作的切线，点关于的对称点分别为，则四边形的面积为________。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知公差为整数的等差数列中，，且成等比数列。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
16．（15分）
如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值。
17．（15分）
已知函数。
（Ⅰ）若是的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若，求在区间上的最大值。
18．（17分）
已知抛物线的焦点为，直线与交于两点。
（Ⅰ）若线段的中点为，求；
（Ⅱ）若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点。
19．（17分）
已知函数的最小值为0。
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）证明：（i）；
（ii）对于任意。
河南省部分学校2023-2024学年高二下学期阶段性测试（三）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．D 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BC 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．1 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解析（Ⅰ）设数列的公差为。
因为成等比数列，所以， （1分）
又，所以， （3分）
解得（舍去）或， （5分）
所以。 （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， （10分）
所以．（13分）
16．解析（Ⅰ）是棱上的两个三等分点，即， （2分）
由题知四边形是正方形，所以，所以。 （3分）
又平面平面，所以平面。（5分）
（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系。
因为，所以是的中位线，即是的中点，
因为，所以，（8分）
则，
．（10分）
设平面的法向量为，
则取． （13分）
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分）
17．解析（Ⅰ）．（2分）
因为是的极值点，所以，解得。（4分）
所以，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，符合题意，因此．（6分）
（Ⅱ），令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，（8分）
由题可知．
（i）若，则在上单调递减，．（10分）
（ii）若，则在上单调递减，在上单调递增，
若，则，所以；（12分）
若，则，所以．（14分）
综上，当时，；当时，．（15分）
18．解析（Ⅰ）由题意知，解得，
所以的方程为．（2分）
由题易知直线的斜率存在．设，则可得．
因为线段的中点为，所以，（4分）
所以，则的方程为，显然过点，（6分）
所以．（8分）
（Ⅱ）由题可知的倾斜角不为0，设直线，
由消去，得（9分）
则，（10分）
（13分）
解得或．（14分）
当时，在轴的同一侧，不符合条件．（15分）
当时，直线经过定点．（17分）
19．解析（Ⅰ）的定义域为，且。
若，恒有单调递减，没有最小值，不符合题意。（2分）
若，令，解得，当时，单调递减，
当时，单调递增，（4分）
当时，取最小值，即，
得，所以。（6分）
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可知，所以①，
由，可得②，
因为①②等号成立的条件不同，所以由①②可得，所以，即。（11分）
（ii）当时，，即。
令，得。（13分）
所以，（15分）
即，
所以，于是得证。（17分）