第八章 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（26页ppt）

(共26张PPT)
第七章
8.3 简单几何体的表面积和体积
人教A版（2019)
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积. 表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小.
第七章
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式. 1.数学运算素养.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能运用计算公式求几何体的表面积和体积. 2.数学抽象素养.
温故知新
矩形面积：
S=ab
a
b
三角形面积：
a
h
B
C
A
c
平行四边形面积：
a
b
A
梯形面积：
a
b
h
圆的面积：
r
扇形面积：
r
圆心角为n°
正三角形的面积：
a
正方形面积：
a
温故知新
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
长方体、正方体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
知新探究
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
棱柱的表面积
=2 底面积+侧面积
棱锥的表面积
=底面积+侧面积
棱台的表面积
=上底面积+下底面积+侧面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积
知新探究
【例1】如图，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积.
分析：因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
B
C
A
P
解：
∵△PBC是正三角形，其边长为a，
∴.
因此，四面体P-ABC的表面积
.
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式，
它们分别是
V正方体＝a3（a是正方体的棱长）
V长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）
a
c
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
V棱柱＝Sh
棱柱的高
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
关于体积有如下几个原理：
⑴相同的几何体的体积相等；
⑵一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；
⑶等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；
⑷体积相等的两个几何体叫做等积体.
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
1
2
3
1
2
3
Sh
Sh
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
高h
底面积S
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积
.
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
棱台的高
.
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
知新探究
棱柱、棱锥、棱台的体积
观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式：
,,.
它们之间有什么关系 你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗
V棱柱＝Sh
V棱锥＝ Sh
V棱台
上底扩大
S'=S
S'=S
S'=0
上底缩小
S'=0
知新探究
【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01立方米）？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积.
知新探究
【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01立方米）？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）
解：
由题意知
(m3).
(m3).
所以这个漏斗的容积
(m3)
初试身手
1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该棱锥的表面积是(　　)
A. B. C. D.
解：
设正三棱锥的侧棱长为b,则由已知条件知，b2+b2=a2,,
∴,
故选A.
初试身手
2.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为 .
解：
如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作B1F BC,垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF=,B1B=8,
∴B1F=.
∴.
∴四棱台的表面积S=
=.
初试身手
3.⑴如图，底面为矩形的四棱锥P-ABCD，PA为四棱锥的高，PA=AB=1，BC=2，则四棱锥P-ABCD的体积为 .
⑵已知有一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm,高为3cm，
则其体积为 cm3.
解：
⑴.
.
⑵
=
=112(cm3)
112
初试身手
4.如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
解：
设AB=a,AD=b,A′A=c,
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc
又,且三棱锥C-A′DD′为CD=a,
∴.
∴剩余部分几何体体积.
则=1:5.
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
表面积
体积
各个面的面积的和
V棱锥＝ Sh
V棱台
V棱柱＝Sh
S'=S
S'=0
作业布置
作业： P119-120 习题8. 第1，2，3，6题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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