2023-2024学年数学七年级平行线与相交线单元测试试题（北师大版）提升卷含解析

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2023-2024学年数学七年级平行线与相交线（北师大版）
单元测试 提升卷 含解析
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，点，，在同一条直线上，，，则图中互余的角共有（　）
A．对 B．对 C．对 D．对
3．（本题3分）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的小路，为使小路最短，则过点A作于点H，沿修小路即可．这样做的理由是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（本题3分）为直线外一点，，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（　　）
A．，或 B．
C．小于 D．不大于
5．（本题3分）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射．如图，直线与相交于点，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，那么光的传播方向改变了（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（　　）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角
9．（本题3分）如图，直线，点E在直线上，点P在线段上，，点F为射线上一个动点，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．不确定
10．（本题3分）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，直线a，b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的刻度线在直线a上，表示的刻度线在直线b上，则 ．
12．（本题3分）如图，已知中，，，，点是上一点，点是上一点，以为圆心，为半径作圆，圆上一点，从点位置绕着周圆逆时针旋转一周，速度为每秒．若平行于的一边，则点所用的时间为 秒．

13．（本题3分）如图，直线、交于点O，且，平分，则 ．
14．（本题3分）如图，已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点、点在上，连接、、，平分，平分，若，，则的度数为 ．
15．（本题3分）如果，的两边分别平行，比的4倍少，那么是 ．
16．（本题3分）如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是 ．
17．（本题3分）如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是 ．（填序号）
18．（本题3分）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，，分别交，于点M，N，，平分交于点G，求的度数．
20．（本题8分）如图，已知，，求作，使其等于的余角．
21．（本题10分）如图，直线，相交于点，于点，■°．
(1)若“■”表示120，求的度数．
(2)若求得，则“■”中的数字是多少？
22．（本题10分）尺规作图：如图，已知，点是上一点，连接，请用尺规在边上求作，使得的面积与的面积相等．
23．（本题10分）如图，已知点M在射线上，α，β．
(1)求作，使；
(2)求作点K，使，．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
24．（本题10分）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．

(1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________
(2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
(3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值．
25．（本题10分）如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
参考答案：
1．B
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，内错角线段得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选B．
2．C
【分析】
本题主要考查互余的概念，掌握两个角互余指的角的数量关系，与角的位置无关由此即可求解．互余，指的是两个角和等于，由此即可求解．
【详解】解：∵点，，在一条直线上，，
∴，，
∵，
∴， ，
∴有对，
故选：C．
3．B
【分析】
本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是熟练掌握垂线段的性质．
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故选：B．
4．D
【分析】
本题考查点到直线的距离，根据点到直线，垂线段最短，即可得出结果．
【详解】解：∵点到直线，垂线段最短，，，，
∴点到直线的距离为不大于；
故选D．
5．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，延长 到点C，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出，则，再由两直线平行，内错角线段即可得到．
【详解】解：延长 到点C，如图：

，
，
，
∵，
∴
，
，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角相等得出，再求出的度数即可得解．
【详解】解：，与是对顶角，
．
，
，
光的传播方向改变了．
故选：C．
7．D
【分析】
本题考查了平行线的判定与性质求角度，根据内错角，相等两直线平行可得，再根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
8．D
【分析】
根据同位角，同旁内角，内错角以及邻补角的定义，掌握相关概念是解题的关键．
【详解】解：A. 与是同位角，选项正确，不符合题意；
B. 与是内错角，选项正确，不符合题意；
C. 与是同旁内角，选项正确，不符合题意；
D. ，，不互为邻补角，选项错误，符合题意．
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，分当点F在点P左侧时，当点F在点P右侧时，两种情况画出对应的图形利用平行线的性质求解即可．
【详解】解；如图所示，当点F在点P左侧时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点F在点P右侧时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或，
故选：C．
10．D
【分析】
过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．
【详解】解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作，则有，
同理，
∵和分别平分和，
∴，
∴，，
即，
解得：，
故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．
11．
【分析】
此题考查了对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的性质是解本题的关键．
根据题意结合图形，根据对顶角相等即可解答．
【详解】
解：根据题意得：，
故答案为：．
12．7或25或或
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．分四种情况：当，点P在上方时，当，点P在下方时，当，点P在上方时，当，点P在下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当，点P在上方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
当，点P在下方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
当，点P在上方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
当，点P在下方时，如图所示：

∵，，
∴，
∴（秒）；
综上分析可知：平行于的一边，则点所用的时间为7秒或25秒或秒或秒．
故答案为：7秒或25秒或秒或秒．
13．/度
【分析】
本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义，邻补角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等，邻补角互补；根据对顶角的性质，可得，再根据邻补角的性质可得，再由角平分线的定义，可得，进而可求出．
【详解】
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
14．/105度
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义等知识点，过“拐点”作平行线是解题关键．作，设，根据的内角和和即可列方程组求解.
【详解】解：作，如图所示：
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵平分，
∴
∴
∵
∴
设
∵平分，
∴，，
∴
∵，
∴
中：
由得：
联立①②可得：
∴
∴
故答案为：
15．或
【分析】
本题考查了平行线的性质的应用，解题关键是理解如果两个角边分别平行，那么这两个角相等或互补；设一个角为x，则另一个角为，依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设，
比的4倍少，
，
，的两边分别平行，
或；
或，
解得或，
或．
故答案为：或．
16．/16度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，，再根据得，再根据角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握折叠和平行线的性质．
【详解】解：由折叠性质可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/
【分析】本题考查了互为补角的定义，角度和差，线段的定义，根据线段的定义，找出线段的条数即可；首先根据题意画出图形，再根据已知条件得出相关角的度数，根据互为补角的定义找出互补的角即可；根据题意画出图形，设出符合题意的一般角，得出结论即可；根据题意画出图形，数出线段的条数即可；解题的关键是根据题意画出图形．
【详解】直线上以为端点的线段有线段、、、、、，共有条，故①正确；
如图，， 且，把三等分，
∴，
∴，
∴，，，，共对，
故正确；
如图，
∵，，
∴设，，
则，
则以为顶点的所有小于平角的角的为：，，，，，，
则它们之和为：，故不正确；
如图，当时，与点连接的线段有条，
线段上共有个点，线段有： （条），故不正确；
故答案为：．
18．/88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．
【分析】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的含义，先求解，，再利用平行线的性质可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
20．见解析
【分析】
本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，余角的定义，解题的关键是在内部用尺规作，则为的余角．
【详解】
解：如图，即为所求作的角.
21．(1)150°
(2)140
【分析】本题考查垂直的定义、角度的计算，余角以及补角的计算，掌握相关定义以及定理是解题的关键．
（1）根据得到,根据得到根据即可得到答案；
（2）根据得到,根据即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴“■”中的数字是140．
22．见解析
【分析】
本题考查了三角形面积的灵活计算，还可以利用两个三角形同底等高（平行线间的距离处处相等）来进行解题．
三角形的面积相等即同底等高，所以以为两个三角形的公共底边，在边上寻找到与D到距离相等的点，即作即可．
【详解】解：如解图，点P即为所求．
23．(1)见详解；
(2)见详解
【分析】
本题考查了尺规作图的基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
（1）以O为顶点，作，再在的外部作，则就是所求作的角；
（2）分别以点O，M为顶点，在射线上方，作，，两边的交点K就是所求作的点．
【详解】（1）如图，即为所求
（2）如图，点K即为所求．
24．(1)15，150
(2)
(3)8，11
【分析】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线，熟练掌握平行线的性质，拐点模型．
（1）过E作，证明，进而求解即可；
（2）根据（1）证明，利用角平分线的定义求出，，可得结论；
（3）当时，由平行的性质得，进而求解即可；当时，，进而求解即可．
【详解】（1）
解：过E作，如图1，

，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15；150．
（2）
利用（1）可证，，
，
，
，
，
，
分别平分和，
，
．
（3）
当时，如图2，

延长，交于点J，
， ，
，
，
，
过点A作，则，
，
，
，
，
；
当时，如图3，

，
，
，
，
，
综上所述，当时，，当时，．
25．(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算
（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．
（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，
，根据．消去x即可得到与之间的数量关系．
（3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：与之间的数量关系为：．理由如下：
设，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，，
∴，
当时，，，
如图，当时，，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得，舍去；
综上所述，当或或时，射线和射线平行．
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