2023-2024学年数学七年级二元一次方程组单元测试试题（京改版）提升卷含解析

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2023-2024学年数学七年级二元一次方程组（京改版）
单元测试 提升卷 含解析
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）点满足二元一次方程组的解，则点Q关于原点对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（ ）
A．15 B．3 C．9 D．12
3．（本题3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
6．（本题3分）某网友的号码是M，M被10000除所得的商与余数之和为18889，M被100000除所得的商与余数之和为58741，则M的千位数字是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（本题3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？ ”设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为（　　　）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（本题3分）已知关于x、y的方程组，下列结论中正确的个数有（ ）
① 当时，是方程组的解；
② 不存在一个实数，使得x、y的值互为相反数；
③ 当方程组的解是时，方程组的解为；
④ x、y都为自然数的解有3对．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题3分）已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（ ）
①当时，与相等； ②是原方程组的解；
③无论为何值时，； ④若，，则的最大值为11；
A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）将方程改写成用含的式子表示的形式为： ．
12．（本题3分）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．则男生志愿者有 人．
13．（本题3分）已知实数x，y满足，那么 ．
14．（本题3分）二元一次方程组的解是 ．
15．（本题3分）有一条长度为的铜管料，把它锯成长度分别为和两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成的小铜管 段，的小铜管 段．
16．（本题3分）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ．
17．（本题3分）关于，的二元一次方程组的解满足，则满足条件的值为 ．
18．（本题3分）一花店将、、三种花卉包装成甲、乙、丙三种不同的礼盒进行销售；用花卉支、花卉支、花卉支包装成甲种礼盒；用花卉支、花卉支、种花卉支包装成乙种礼盒；用花卉支、花卉支、花卉支包装成丙种礼盒；包装费忽略不计，且每支花卉的成本是每支花卉成本的倍，每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍；该商家将三种礼盒均以利润率进行定价销售；某周末，该花店为了加大销量，将甲、乙两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，丙礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，则该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）已知，当时，；当时，，求k和b的值．
20．（本题8分）解下列二元一次方程组：
(1) (2)
21．（本题10分）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？上述“雉兔同笼”问题中，鸡和兔各有多少只？
22．（本题10分）2023年，某包田大户种植两种水稻，分别是粳稻和杂交水稻，种植粳稻投资万元，种植杂交水稻投资万元，年底分别挣得和的利润．
(1)2023年，该包田大户总利润是______万元；（用含的代数式表示）
(2)2024年，该包田大户预投资60万元用于种植这两种水稻，已知两种水稻利润之和是，若2024年与2023年两种水稻利润率相同，求2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资的金额．
23．（本题10分）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进价（万元/套）
售价（万元/套）
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润9万元．
[利润=（售价进价）×销售量]
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，求A种设备购进数量至多减少多少套．
24．（本题10分）玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具20个，乙种玩具15个，需要320元；若购进甲种玩具30个，乙种玩具50个，需要700元．
(1)求玩具店购进甲、乙两种玩具每个各需要多少元；
(2)玩具店购进甲、乙两种玩具共100个，每个甲种玩具的售价为15元，每个乙种玩具的售价为12元，销售这两种玩具的总获利润不低于470元，那么这个玩具店至少购进甲种玩具多少个？
25．（本题10分）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元
方案一 20 10 1100
方案二 30 15 __________
(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元；
(2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）．
参考答案：
1．B
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组，以及根据求出的值判断出Q点关于原点的对称点的坐标．
关键在于正确求解出此二元一次方程组的解，最终选择正确的坐标点．
【详解】解二元一次方程组，
由可得：，
将代入可求得：，
将 代入可求得：，
由此可得Q点的坐标为，
由于点与点Q关于原点对称，
故点坐标为．
故答案为：B．
2．B
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程，直接把方程组中两个方程相加可得，则．
【详解】解：把方程组中两个方程相加可得，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】
本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可得到答案，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①②得，解得，
将代入①得，
故原方程组的解为，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：A、本方程不是整式方程，故本选项错误；
B、本方程是一元一次方程；故本选项错误；
C、本方程符合二元一次方程的定义；故本选项正确；
D、本方程是二元二次方程；故本选项错误．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的定义．先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，对于方程整理得，则题意得，进而计算可得答案．
【详解】解：对方程组，
，得，
∴，
∵关于x、y的方程组的解为整数，
∴，即或1或3或4，
方程，整理得，
方程是关于m的一元一次方程，
∴，
∴，
∴满足条件的所有a的值的和为．
故选：D．
6．D
【分析】
本题考查了三元一次方程的应用和数字的规律，找出规律列出方程式是解题的关键；
设M 被 10000 除后的余数为a，其商被 10 除后的商为b，余数为c，列出三元一次方程组，求出a，根据a，c得特征求出取值范围，因为c为整数，所以，进而求出a，b
即可得出结论；
【详解】解：设M 被 10000 除后的余数为a，其商被 10 除后的商为b，余数为c．根据题意得
得
，
解得：
由于a为号码的后四位数，则，
则，
解得：
因为c为整数，所以．
进而，，
故，
故千位数上是7，
故选：D．
7．B
【分析】
本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意、找出数量关系、根据等量关系列出方程组是解题的关键．
设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，再根据等量关系“五只雀、六只燕，共重1斤”和“互换其中一只，恰好一样重”列方程组即可．
【详解】解：设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），
∴，
∵互换其中一只，恰好一样重，
∴,即,
联立方程组得：．
故选：B．
8．D
【分析】
本题考查二元一次方程组的实际应用，当同时出发后，两人相距时，需要分两种情况讨论，一种是两人相遇前相距，另一种是两人相遇后相距，根据时间、速度、路程的关系分别列二元一次方程组，解方程组求出两个人速度，路程除以速度即可求出所需时间．
【详解】解：设甲、乙二人的速度分别为，，
分两种情况：当同时出发后，两人相遇前相距时，
，
解得；
当同时出发后，两人相遇后相距时，
，
解得；
当甲的速度为时，由A地到B地需要时间为：，
当甲的速度为时，由A地到B地需要时间为：，
故选D．
9．B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，
①把代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③的各项和原方程成比例，故可得方程，即可解答；
④用表示，可得一元一次不等式组，再根据的取值范围，即可解答，
熟知方程的各项成比例时，两个方程的解相同，是解题的关键．
【详解】解：当时，原方程为，解得，故①错误；
x、y的值互为相反数时，可得，可得方程，方程无解，故②正确；
的各项和原方程成比例，故可得，解得
，故③正确；
解，可得，当为自然数时，可得，解得且为奇数，故，即x、y都为自然数的解有4对，故④错误；
故选：B．
10．D
【分析】①当时，则有即可求解；②当，取不同值时解不同，即可求解；③解此方程组得，即可求解；④可求，由，可求，进而可求解．
【详解】解：①当时，则有
，
解得：，
故①错误；
②当，取不同值时解不同；
故②错误；
③解此方程组得，
所以，
故③正确；
④
，
因为，
所以，
解得：，
因为，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式组等，掌握方程组及不等式组的解法是解题的关键．
11．/
【分析】
本题考查解二元一次方程，涉及等式的性质，将方程左边的移到右边、方程右边的移到左边即可得到答案，熟练掌握解移项法则是解决问题的关键．
【详解】解：，
移项得，
故答案为：．
12．12
【分析】
本题考查的是二元一次方程组的应用，设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可．
【详解】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意，
得
解得 ；
答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
故答案为：．
13．7
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；
【详解】解∶ 足，
①②得：，
故答案为：7．
14．
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解法，根据加减消元法即可求解．
【详解】解：
得：，
解得：，
将代入②得，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，设应分别锯成的小铜管段，的小铜管段．可列方程得，根据为整数即可求解．
【详解】解：设应分别锯成的小铜管段，的小铜管段．
则损耗的铜管料为：
∵铜管料总长为，
∴
可得：
∵为整数，
∴；或
∴应该别锯成的小铜管段，的小铜管段．
故答案为：①②
16．9
【分析】
本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和
相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．
设九宫格中最中间的数为x，由于第3列中间数与第2行的最右边的数重合，建立方程，求得x，设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，由第1列与其中一条对角线的数之和相等得：，再由最后一列和另一条对角线的数之和相等得：，最后解方程组，然后再计算m值．
【详解】解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合，
∴
解得：．
设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，
则由题意得：，
解得：，
∴．
故答案为：9．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，将，得出，再根据方程组的解满足列出方程并解答即可．能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【详解】
解：
，得
∵关于，的二元一次方程组的解满足，
解得：
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元，根据每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，继而可用含的代数式表示出每盒甲、乙、丙种礼盒的总成本，设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，再用含，的代数式表示出该周末丙礼盒的总利润及三种礼盒的总利润，作比后即可得出结论．
【详解】解：设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元，
根据题意得：，
，
每盒甲种礼盒的总成本为：（元）；
每盒乙种礼盒的总成本为：（元）；
每盒丙种礼盒的总成本为：（元）．
设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒，
根据题意得：，
，
∴，
该周末丙礼盒的总利润为：（元），
三种礼盒的总利润为：（元），
该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为：，
故答案为：．
19．
【分析】
本题主要考查了解二元一次方程组，根据当时，；当时，，建立方程组，解之即可得到答案．
【详解】解：∵在，当时，；当时，，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】
本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法步骤是解决问题的关键．
（1）由②①即可得到，代入①式即可得到二元一次方程组的解；
（2）由①②即可得到，代入①式即可得到二元一次方程组的解．
【详解】（1）解：，
由②①得，
将代入①得，
故原方程组的解为；
（2）解：，
由①②得，
将代入①得，
故原方程组的解为．
21．鸡和兔各有23只，12只
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设鸡有x只，兔有y只，根据共有三十五头可得方程，根据共有九十四足，可得方程，据此列出方程组求解即可．
【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得，，
解得，
答：鸡和兔各有23只，12只．
22．(1)
(2)2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资45万元和15万元．
【分析】
本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，找出数量关系列出方程组是解答本题的关键．
（1）根据总利润=粳稻的利润+杂交水稻的利润求解即可；
（2）设2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资x万元和y万元，然后列方程组求解即可．
【详解】（1）由题意，得
该包田大户总利润是万元．
故答案为：；
（2）设2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资x万元和y万元，由题意，得
，
解得
．
答：2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资45万元和15万元．
23．(1)购进A种设备20套，B种设备30套
(2)10套
【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．
（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意列出方程组，解此方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加套，根据题意列出不等式，解此不等式组即可求得答案．
【详解】（1）解：（1）设该商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，根据题意，得
解得
答：该商场计划购进A种设备20套，B种设备30套．
（2）解：设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加，根据题意，得
，解得．
答：A种设备购进数量至多减少10套．
24．(1)甲种玩具每个需要10元，乙种玩具每个需要8元
(2)70个
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用
（1）设玩具店购进甲种玩具每个需要x元，乙种玩具每个需要y元，根据“购进甲种玩具20个，乙种玩具15个，需要320元；若购进甲种玩具30个，乙种玩具50个，需要700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设玩具店购进m个甲种玩具，则购进个乙种玩具，根据销售这两种玩具的总获利润不低于470元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设玩具店购进甲种玩具每个需要元，乙种玩具每个需要元，
依题意得：，
解得：，
答：玩具店购进甲种玩具每个需要10元，乙种玩具每个需要8元．
（2）解：设玩具店购进个甲种玩具，则购进个乙种玩具，依题意得：
，
解得：
答：玩具店至少购进甲种玩具70个．
25．(1)1650
(2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解；
（2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
（元），
故答案为：1650；
（2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱，
打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，
由题意得：，
整理得：，
∴
、均为正整数，
∴是正整数，
∴a必须是20的倍数，
，或，
，
，，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
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