2022-2023学年江苏省苏州十中高一（下）期初数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州十中高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.集合，，中的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.下列函数为幂函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.定义在上的偶函数，当时，，则满足的所有的值的和等于( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 角是第三象限角
B. 锐角都是第一象限角
C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为
10.已知，下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
11.为了得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变
D. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度
12.定义区间的长度为，记函数其中的定义域的长度为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 的最大值为
C. 在上单调递增
D. 给定常数，当时，的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______．
14.一种波的波形为函数的图象，若其在区间上至少有个波谷图象的最低点，则正整数的最小值是______．
15.若，且满足，则的最小值是______．
16.已知为锐角，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，其中．
当时，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知，求的值．
已知，是关于的方程：的两个实根，求的值．
19.本小题分
已知函数；在同一周期中，当时取得最大值，当时取得最小值．
求函数的解析式；
求函数的单调增区间；
若，，求的值．
20.本小题分
心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定设上课开始分钟时，学生的接受能力为值越大，表示接受能力越强，与的函数关系为：．
上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
若一个数学难题，需要及以上的接受能力即以及分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
21.本小题分
已知函数是定义域上的奇函数．
求实数的值；
求函数的值域；
若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
22.本小题分
定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．
求函数的最小值；
若函数在上的最小值为，求正实数的值；
求证：对任意实数，关于的方程总有实根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是，．
故选：．
由已知结合含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，，，，，故有个元素．
故选：．
根据，，分别代入即可求得结果．
本题主要考查元素和集合的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：形如的函数为幂函数，不符合题意，
，符合题意．
故选：．
结合幂函数的定义，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：角的终边上一点，
则，
则．
故选：．
根据三角函数的定义进行求解即可．
本题主要考查三角函数的定义，比较基础．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分必要条件的判断、属于基础题．
通过取特殊值，可判断两条件间的关系，从而得到答案．
【解答】
解：当时，，不存在；
当，时，．
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：
6.【答案】
【解析】解：函数为偶函数，时，，
令，则，
，
，
，
则或，得或或或，
．
故选：．
由已知结合偶函数的定义及偶函数的对称性即可求解．
本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，则，，
即，．
故．
故选：．
由已知结合函数单调性分别判断，，的范围即可比较．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则或，
若，则，
则当，有一个正根，
当时，没有正根；
则由函数有四个不同的零点可知，
若，则有个负根，
则，解得，．
综上所述，．
故选：．
函数有四个不同的零点化为方程的解的个数．
本题主要考查函数的零点与方程的根之间的转化，注意分类讨论，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，为第三象限角，A正确；
锐角为第一象限角，B正确；
若，，
则，，
所以为第一象限角或第三象限角，C正确；
若一扇形面积为，弧长为，则，即，
所以圆心角为，D错误．
故选：．
结合象限角的概念检验选项A，，，结合扇形的弧长及面积公式检验选项D即可．
本题主要考查了象限角的判断，还考查了弧长及面积公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
当，，时，显然错误；
因为，
故，B正确；
当，时，显然错误；
令，
则在上单调递增，
故时，，D正确．
故选：．
举出反例检验选项A，，利用比较法判断选项B，构造函数，结合函数单调性检验选项D．
本题主要考查了不等式大小关系的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象解析式为：，
再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的图象解析式为，故A错；
对于，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象解析式为，
再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的图象解析式为：，故B对；
对于，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象解析式为：，
再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的图象解析式为：，故C对；
对于，将函数的图象横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的图象解析式为，
再向左平移个单位长度得到的图象的解析式为，故D对．
故选：．
利用三角函数图象变换规律，依次对每一选项进行判断，即可求解．
本题考查了三角函数的图象变换，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，得，，，A正确；
在上是增函数，在上是减函数，
设，则，
，，，，在上是增函数，
同理可证，在上是减函数，为最大值，B正确，C错误；
，，，在上是增函数，在上是减函数，
的最小值为，中较小者，
．
的最小值为，D正确．
故选：．
利用单调性定义证明单调性，利用函数性质判断，，项．
本题考查函数性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，则，，
．
故答案为：．
利用换底公式可求值．
本题考查对数运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，可知此波形的函数周期为，
显然，当时，函数单调递减；时，函数单调递增．
时，，因此自开始向右的第一个波谷所对的值为，
第二个波谷对应的值为，第三个波谷对应的值为，所以要在区间上至少有个波谷，
则的最小值为．
故答案为：．
由题意并根据函数的图象特征可得正整数的最小值．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，且满足，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
由已知利用等式关系可得，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：令，则，，
由为锐角，知，
由，知，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：．
采用换元法，令，求出的取值范围，可得，，再由二倍角公式求出和的值，然后利用两角差的余弦公式，求解即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：集合，，当时，，
故A．
因为，
所以，解得，
所以的取值范围为．
【解析】根据一元二次不等式的解法求出集合和集合，然后根据并集的定义进行求解；
根据，然后建立关系式，解之即可．
本题主要考查一元二次不等式，属于基础题．
18.【答案】解：，且，
解得，，则．
；
，是关于的方程：的两个实根，
，，得．
．
【解析】由已知结合平方关系求解，再由诱导公式化简得答案；
利用根与系数的关系结合诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.【答案】解：由已知可得，，
解得，
由，得．
，，
，．
；
由，
得，
函数的单调增区间为，；
由，得，
即，
，，
则或．
或．
【解析】由已知可得，，再由周期公式求得，结合求得，则函数解析式可求；
直接由复合函数的单调性求函数的单调增区间即可；
由，得，再由求得的值．
本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题．
20.【答案】解：由题意可知，当时，，
所以当时，的最大值为，
因为当时，，
所以开讲后分钟接受能力最强，且能维持分钟；
当，，
解得，
当时，，满足要求，
当时，，
解得，
故分钟分钟，
老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．
【解析】求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；
在每段上解不等式，求出满足条件的，从而得到接受能力及以上的时间，然后与进行比较即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为是定义域上的奇函数，
所以，即，
所以，经检验此时为奇函数，符合题意；
由得，
因为，
所以，
所以，即函数的值域为．
因为，
当时，，
所以，
所以，
因为在上单调递减，
若关于的不等式在上有解，
则在上有解，
所以，即，
故的范围为
【解析】由已知结合奇函数的性质可求；
结合指数函数及反比例函数的性质即可求解；
结合辅助角公式，二倍角公式对进行化简，然后结合正弦函数的性质求出其最大值，再由函数单调性及存在性问题与最值关系的转化即可求．
本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，函数性质在函数值域求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
22.【答案】解：依题意有，
令，则，
因为在上单调递增，当时，，当时，，
所以，所以当时，即时，
函数有最小值．
函数在上的最小值为，
即函数有最小值．
因为，
令，则，
因为最小值为，所以，解得，
所以正实数的值为．
证明：令，定义域为，则，
又，所以是奇函数，
因为是上的增函数，
所以在上单调递增，且当时，，
所以函数在上的值域为，
直线过定点，
如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点，
即对任意实数，关于的方程总有实根．
【解析】令，将函数化为，利用二次函数性质即可求最小值；
函数在上的最小值为，转化为函数有最小值，由由二次函数性质即可求解；
令，分析函数的性质，再将关于的方程有实数根转化为直线与函数的图象有交点，即可证明．
本题考查了求函数的最值，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数思想、数形结合思想及转化思想，属于中档题．
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