南充九中高2022级高二下期第一次月考数学试卷
一．选择题（每小题5分，共40分）
1．是数列的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．13
3．等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14 B．12 C．6 D．3
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
7．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于
A． B． C． D．
8．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每小题6分，共18分）
9．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．数列中最大项为第6项
三．填空题（每小题5分，共15分）
12．若2、、9成等差数列，则 ．
13．记为等比数列的前项和，若，，则 ．
14．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
四、解答题(共77分)
15．（13分）已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（15分）已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
17．（15分）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
18．（17分）若数列的前n项和为，且，等差数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
19. （17分）如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．南充九中高2022级高二下期第一次月考
数学试卷答案
一．选择题（每小题5分，共40分）
1．A 【解答过程】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项.
2．C【详解】因为，所以，则，
所以该机器人在时刻时的瞬时速度为
3．A 【解析】由题意可得，即，
解得，，．
4．B 【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示：
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，．
5．【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，则．
6．B【解析】设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，
，解得．
7．D【解析】因为：．
8．D【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以.
二．多选题（每小题6分，共18分）
9．AB【解析】 ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，而也适合上式，.
10．BCD【详解】对于A，，故A错误；
对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；
对于，故C正确；对于，故D正确.
11．BCD
【解答过程】对于选项A、C：因为，，
则，，
又因为，则，解得
所以等差数列是递减数列，故A错误，C正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，且，，
则，所以数列中最大项为第6项，故D正确
三．填空题（每小题5分，共15分）
12．
13．52 【解析】，，则，，
，，成等比数列，
所以．
14．【详解】根据题意得，，设切点坐标为，则，
所以切线的方程为，将点代入，可得，整理得，
故，解得，故，即切线的斜率为．
四、解答题(共77分)
15．【分析】（1）设出等差数列公差，利用已知条件列出关系式，即可求解公差，
然后求数列的通项公式；
（2）可得，则，进而即可求解数列的前项和.
【详解】（1）设数列公差为.
由已知可得，即，解得，
所以.
（2）由（1）可得，，所以，
所以.
16．.【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；
（2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由题意得，得，所以椭圆的标准方程为.
（2）设与平行的：，
由，得，
由，得，则：.
17．（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
【详解】（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18．【分析】（1）利用得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列，再代入数列满足的等式可得的通项公式；
（2）利用错位相减法可求和.
【详解】（1），又，
两式相减得，即，故数列是以3为公比的等比数列，
又当时，，得，，
，，
等差数列的公差为，
（2）由（1）可得，
，
上两式相减得，
19. 【解析】(1)证明 如图，连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.
由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，
以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，C.
于是＝，
＝.
则·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)解 由题设知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝.
设平面PAC与平面DAC的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝，
所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.
(3)解 假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
根据第(2)问知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝.
设＝t(0≤t≤1)，
因为B，C，
所以＝，
则＝＋＝＋t
＝.
又·＝0，
得－＋0＋a2t＝0，则t＝，
当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
由于BE 平面PAC，故BE∥平面PAC.
因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.
