天津市南仓中学2023至2024学年度第二学期
5
高二年级教学质量过程性监测与诊断
(
数学学科)
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟，第I卷至1页，
第Ⅱ卷至2页。
答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号填写在答题纸上。答卷时，考生务必将答案涂写在答题
纸上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
第卷
注意事项：
1每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，共36分。
一、选择题（每小题4分，共36分）
1.已知f(x)=enx,则f'(x)=()
A.e
B.e*+
x
c.
e*(xlnx+1)
D.+x
2记等比数列{a,}的前n项和为S,若a=84,则，，={)
1
a3+a4
A:月
B.2
C.
D.2
3:设R,g是椭因答+若=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PR:PR=4:3,则△PR8的
面积为()
A.8
B.6
C.4
D.2
4.若曲线y=nx+x2+1在点(1,2)处的切线与直线x+qy-1=0垂直，则实数a的值为（)
A-4
B.3
C.4
D.-3
高二年级（数学)学科教学质量过程性」
5.函数y=(因)的图象如图所示，y=f(x)为函数y=()的导函数，则不等式包<0的解集
为()
A.(-3,-10
B.(0,1)
C.(-3,-1)U(0,1)
D.(-0,-3)U(1,+0)
1
1
6.设数列{a,}满足4+2a4
22++
2a,=n+1,则{a,}的前n项和()
A.2"-1
B.2"+1
C.2”
D.2n'-1
7,投a是b
3
,c=e22,设a,b,c的大小关系为)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.c>b>a
8.若函数f(x)=x2+alnx-x+1(a∈R)在[1.+o∞)上单调递增，则a的取值范围是（)
B.(-1,+o∞)
,+o0
D.[-1,+o)
9.已知函数f(x)=ax-xlx与函数g(x)=e-l的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a
的取值范围为(
A.（o,1-e]
量过程性监测与诊断
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天津市南仓中学2023至2024学年度第二学期
高二年级教学质量过程性监测与诊断
(数学学科)
第川卷
注意事项：
1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸.上。
2.本卷共11小题，共84分。
二、填空题（每小题4分，共24分）
10.等差数列{an}中，a3=8,a4十an=31,则{am}的通项公式为
11.若函数∫(x)=x3+x2+mx+1不存在极值点，则实数m的取值范围是
12.若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与
最小值的和为
13.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建
筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大散堂外形驱线的一段近似看成双曲织器-景
1(a>0,b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该
双曲线的渐近线方程为
4,已知)-x,则下列正确的为
①曲线y=f(x)在x=e处的切线平行于x轴
②f(x)的单调递减区间为(0，e)
③f(x)的极小值为e
④方程f(x)=-1没有实数解
高二年级（数学）学科教学质量过用选择题：CDABC CADC
填空题
10.an 3n 1 11.m
1 3
12. -3 13. y x 2, 14①③ 15.
3 3
16.[命题立意]本题考查线面平行的证明、平面与平面的夹角、线面角.
[解](1)证明:因为 DG⊥平面 ABCD,DA,DC 平面 ABCD,
所以 DG⊥DA,DG⊥DC,
因为 AD⊥CD,所以 DA,DC,DG 两两垂直,
所以以 D 为原点,分别以 , , 的方向分别为 x轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐
标系,
3
D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M 0, , 1 ,N(1,0,2)
2
.
所以 =(0,2,0), =(2,0,2).
设 n0=(x,y,z)为平面 CDE 的法向量,
则 0
· = 2 = 0,
0· = 2 + 2 = 0,
令 z=-1,则 n0=(1,0,-1).
因为 = 1, 3 , 1 ,
2
所以 ·n0=1-1=0,
因为直线 MN 平面 CDE,所以 MN∥平面 CDE.
(2)依题意,可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2).
设 n=(x1,y1,z1)为平面 EBC 的法向量,
· = 1 = 0,则
· = 1 2 1 + 2 1 = 0,
令 z1=1,则 n=(0,1,1),
设 m=(a,b,c)为平面 FBC 的法向量,
· = = 0,
则
· = + 2 = 0,
令 c=1,则 m=(0,2,1),
· 2+1 3 10
所以 cos m,n = = = ,
| || | 5× 2 10
90 10
所以平面 EBC 与平面 FBC 的夹角的正弦值为 1 cos2 < , >= 1 = .
100 10
(3)设线段 DP 的长为 h(h∈[0,2]),则点 P 的坐标为(0,0,h),可得 =(-1,-2,h).
易知 =(0,2,0)为平面 ADGE 的一个法向量,
| ·
| 2
所以|cos , |=
|
= ,
|| |
2+5
2 3
由题意得 =sin 60°= ,
2+5 2
3
解得 h= ∈[0,2].
3
{#{QQABJQgAogiIAIAAABhCQQ0yCgGQkBCACIoGxFAAsAAACAFABAA=}#}
3
所以线段 DP 的长为 .
3
x
17 解：（1） f x e ax a b 2x 6，
曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y 6x 8，
f 0 a b 6 6 ，解得 a 4,b 8.
f 0 b 8
（2）由（1）可知： f x 4ex x 2 x2 6x ，
f x 4e x x 1 3 2x 6 4 x 3 e x
.
2
由 f x 0解得 x 3，或 x ln2，此时函数 f x 在 , 3 , ln2, 单调
递增；
由 f x 0解得 3 x ln2，此时函数 f x 在 3, ln2 单调递减.
故当 x 3时，函数 f x 取得极大值，极大值为 f 3 4e 3 9 .
18.
{#{QQABJQgAogiIAIAAABhCQQ0yCgGQkBCACIoGxFAAsAAACAFABAA=}#}
19.[命题立意]本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系.
1
[解](1)由题意可得 = , 2 解得 = 2,
+ = 3, = 1.
所以 b= 2 2= 3,
2 2
所以椭圆的方程为 + =1.
4 3
{#{QQABJQgAogiIAIAAABhCQQ0yCgGQkBCACIoGxFAAsAAACAFABAA=}#}
(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),设点 B(x0,y0),
= ( 2),
联立 2 2 2 23 2 + 4 2 = 12,可得(4k +3)x -16k x+16k -12=0,
2 2
所以 16 12,可得 8 62x0= 2 x0=4 +3 4 2 ,+3
则 8
2 6 12
y0=k 4 2 2 =- ,+3 4 2+3
2
即点 8 6B 2 ,
12 ,
4 +3 4 2+3
由 FC⊥AB,得 1 1kFC=- ,所以直线 FC 的方程为 y=- (x+1),
在直线 1FC 的方程中,令 x=0 可得 y=- ,
即点 C 0, 1 ,
12 1
所以 4 2
+ 3
k +3 4 2BC= 2 =- k,即 12k -49k +15=0,8 6 10
4 2+3
解得 2 1或 2 15k = k = ,
3 4
因为 k<0,解得 3k=- 或 15k=- ,
3 2
所以直线 的方程为 3 2 3 15AB y=- x+ 或 y=- x+ 15.
3 3 2
20.[命题立意]本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值、构造函数证
明不等式、利用平面向量的数量积转化等式.
f' x x[解](1) ( )=e -acos x,故 f'(0)=1-a,而 f(0)=1,
所以曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=(1-a)·(x-0)+1,即 y=(1-a)x+1.
x
(2)①依题意,显然,当 x=0 时,e ≠b ,所以当 x x>0 时,e =b 有解,
e
即函数 h(x)= -b 存在零点.
e 1 1 1
由 h'(x)= ,当 0 时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
2 2 2
1
则有 h = 2e-b≤0,即 b≥ 2e.
2
1
当 b≥ 2e 1 1 1 1 1时,有 h ≤0,h 2 =be 2-b>0,且 ≤ < ,2 2 2e 2
1 1
故 h(x)在区间 2 , 内存在零点,符合题意. 2
所以,b 的取值范围为[ 2e,+∞).
x t
②证明:依题意,显然,当 x=0 时,e -asin x≠b ,所以存在实数 t>0,使得 e -asin t-b =0,
即 a tsin t+b =e .
{#{QQABJQgAogiIAIAAABhCQQ0yCgGQkBCACIoGxFAAsAAACAFABAA=}#}
设向量 m=(a,b),n=(sin t, ),
由 m·n=|m||n|cos≤|m||n|,
a2 2 2得( +b )(sin t+t)≥( sin + )2 2t=e ,
2
a2 2
e
因此 +b ≥ .
sin2 +
记 p(x)=x-sin x,有 p'(x)=1-cos x≥0,则 p(x)是增函数,故当 0p(0)=0,即
2 2
0又当 x 2 2 2 2≥π时,有 0≤sin x≤10,恒有 0≤sin xe2 e2 2 2
因此,a +b ≥ 2 > .sin + 2+
e2
记函数 u(x)= ,x>0,
2+
e2 (2 2 1)
则 u'(x)= .
( 2+ )2
2 2
令 u'(x)=0,解得 x= ,或 x=- (舍去).
2 2
当 x 变化时,u'(x),u(x)的变化情况如下表:
2 2 2
x 0, , +∞
2 2 2
u'(x) — 0 +
u(x) 单调递减 极小值 单调递增
2
故 u(x)的最小值为 u =2( 2-1)e 2.
2
下面只需证明 2( 2-1)e 2>e,
即( 2-1)e 2 1 1> .
2
记函数 v(x)=ex-x-1,当 x>0 时,有 v'(x)=ex-1>0,则 v(x)在[0,+∞)上单调递增,进而 v(x)≥
v(0)=0,即 ex≥x+1,
所以,( 2-1)e 2 1 1≥( 2-1)× 2> .命题得证.
2
{#{QQABJQgAogiIAIAAABhCQQ0yCgGQkBCACIoGxFAAsAAACAFABAA=}#}
