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九年级数学中考复习模拟卷（湖北专用）
测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题选择题选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024 安徽一模）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（2024 广平县模拟）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．厨余垃圾Food Waste B．可回收物Recyclable
C．其他垃圾Residual Waste D．有害垃圾Hazardous Waste
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2023 长汀县模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：，
解不等式2x﹣5＜1得x＜3，
解不等式3x+1≥2x得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（2022秋 津南区期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．购买1张彩票，中奖
C．画一个三角形，其内角和是180°
D．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件；
B、购买1张彩票，中奖是随机事件；
C、画一个三角形，其内角和是180°是必然事件；
D、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2023春 和平区期末）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°，
解得：n＝8，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为n后结合已知条件列得方程是解题的关键．
6．（2023 珠晖区一模）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）3＝x3y5
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【解答】解：A．由合并同类项的法则，得x2+x2＝2x2，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）3＝x3y6，故B不符合题意．
C．由同底数幂的除法，得y6÷y2＝y4，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式是解决本题的关键．
7．（2023 阳泉模拟）将一副直角三角尺按如图摆放在同一平面内，使两个直角三角形尺的斜边AB∥DF，含45°直角三角尺的直角顶点E在含30°直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】已知∠EFD＝45°，根据AB∥DF直接得出∠1的度数即可．
【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EFD＝45°，
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠EFD＝45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
8．（2023 白云区模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（4，0），∠A＝60°，则顶点C的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（2，） D．（2，
【分析】根据菱形的性质可知点A、C关于x轴对称，AC在BO的垂直平分线上，即AC的横坐标和OB中点横坐标相等，根据正方形对角线计算求C的纵坐标．
【解答】解：连接AC，
∵四边形OABC是菱形，
∴点A、C关于x轴对称，
∴AC所在直线为OB的垂直平分线，
菱形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（4，0），∠A＝60°，
∴OB＝OC＝4，
∴AC＝4，
∴点C横坐标为2，C点纵坐标为﹣2，
故C点坐标（2，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，根据对角线相等的性质求对角线AC的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键．
9．（2023秋 青岛期末）如图，AB是⊙O的直径，，弦CD与AB延长线交于点E，AD、BC交于F，若CD＝DE，则∠AFC的度数为（ ）
A．52.5° B．60° C．67.5° D．75°
【分析】连接OC、OD，由圆周角定理得∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质得OC⊥AB，由直角三角形的性质得ODCE＝CD，证出△OCD是等边三角形，得∠COD＝60°，由圆周角定理得∠CAD∠COD＝30°，即可得出答案．
【解答】解：连接OC、OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵CD＝DE，
∴ODCE＝CD，
∴OD＝CD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD∠COD＝30°，
∴∠AFC＝90°﹣30°＝60°；
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．（2023 台江区模拟）若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论正确的是（ ）
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．
A．①②③ B．②④ C．①③ D．①③④
【分析】求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的顶点（1，﹣3），即可判断③错误；根据题意x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，即可判断④正确．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，
∴顶点为（1，﹣3），在x轴的下方，
∵函数的图象与x轴交于A、B两点，
∴抛物线开口向上，a＞0，故①正确；
∴x＞1时，y随x的增大而增大，故②错误；
由题意可知当a＞0，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象一定经过点（1，﹣3），故③正确；
∵线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，
∴x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，
∴，
解得a，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每题3分，15分）
11．（2023 抚州一模）化简：的结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式
，
故答案为：
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
12．（2023 河东区一模）已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【分析】根据一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限判断出m的取值范围，从中任意找一个m的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，
∴m＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0．
13．（2024 石家庄一模）经过某T字路口的汽车，可能向左转或向右转，如果两种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个T字路口时，“行驶方向相同”的概率是 ．
【分析】画树状图求出所有可能的情况，再用概率公式可得答案．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中行驶方向相同的有2种，
∴“行驶方向相同”的概率是 ，
故答案为：．
【点评】本题考查树状图或列表法求概率，解题的关键是能画出树状图，掌握概率公式．
14．（2023 永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：180÷2＝90（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：180÷6＝30（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：，
解得：，
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点评】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
15．（2023春 大足区期末）如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接CF．将△BCF沿BE翻折，使得点C刚好落在AD边的G处，若∠CFG＝90°，AB＝3，AD＝5，那么FG的长是 ．
【分析】由折叠可知，BC＝BG＝5，CF＝GF，于是在Rt△ABG中，利用勾股定理求得AG＝4，进而可求出DG＝1，在Rt△CDG中，利用勾股定理可求出CG，易得△CFG为等腰直角三角形，由等腰直角三角形斜边和直角边的关系即可求解．
【解答】解：如图，连接CG，
∵四边形ABCCD为矩形，AB＝3，AD＝5，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
由折叠可知，BC＝BG＝5，CF＝GF，
在Rt△ABG中，AG4，
∴DG＝AD﹣AG＝5﹣4＝1，
在Rt△CDG中，CG，
∵∠CFG＝90°，CF＝GF，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴FG．
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解决问题是解题关键．
三．解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（6分）（2024 长沙模拟）计算：．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式41﹣4
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（6分）（2023春 廊坊期末）如图，在 ABCD中，CD＝BD，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE．求证：四边形BECD是菱形；
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义证出∠DEB＝∠BDE，则BD＝BE，可证出四边形BECD是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEB，
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠DEB＝∠BDE，
∴BD＝BE，
∵BD＝CD，
∴BE＝CD，
∵BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
又∵CD＝BD，
∴四边形BECD为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
18．（6分）（2024 云南模拟）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
【分析】设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，由甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天，列出方程，可求解．
【解答】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，
根据题意得：，
解得：x＝50．
经检验x＝50是所列方程的解，且符合题目要求，
此时2x＝100，
答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是100平方米和50平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
19．（8分）（2023 长清区校级三模）第31届大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕，为更好地了解大运会，某中学在七、八年级举行了“迎大运知识竞赛”活动，现从七、八年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100．）八年级50名学生成绩数据中，落在C组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，90，93，94，91，90，94，91，94，93，92．
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 n 96
（1）求出统计图中m的值，以及表格中n的值；
（2）该校八年级共800人参加了此次竞赛，估计参加此次竞赛成绩优秀（x≥90）的八年级学生有多少人？
（3）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
【分析】（1）由题意可知，竞赛成绩在C组的有15人，占15÷50×100%＝30%，进而可以求出竞赛成绩在D组的学生所占的百分比，确定m的值，根据中位数的定义求出中位数即可确定n的值；
（2）求出样本中，竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数所占的百分比，估计总体中竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数所占的百分比，进而求出相应的人数；
（3）从中位数、众数的大小比较得出结论．
【解答】解：（1）样本中竞赛成绩在C组的有15人，占15÷50×100%＝30%，
所以竞赛成绩在D组所占的百分比为1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，即m＝40，
将这50名学生的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是93.5，因此中位数是93.5，即n＝93.5，
答：m＝40，n＝93.5；
（2）800×（1﹣10%﹣20%）＝560（人），
答：该校八年级共800人参加了此次竞赛，成绩优秀（x≥90）的学生大约有560人；
（3）八年级学生成绩较好，理由：八年级学生竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，所以八年级学生竞赛成绩较好．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
20．（8分）（2023 兴宁区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y的图象于A（2，﹣4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数解析式．
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【分析】（1）先把点A的坐标代入y，求出m的值得到反比例函数解析式，再求点B的坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）先求出C点坐标，再根据△AOB的面积＝△AOC的面积﹣三角形BOC的面积即可求解；
（3）观察函数图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入y得：m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式是y；
把B（a，﹣1）的坐标代入y得：﹣1，
解得：a＝8，
∴B点坐标为（8，﹣1），
把A（2，﹣4）、B（8，﹣1）的坐标代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为yx﹣5；
（2）设直线AB交x轴于C．
∵yx﹣5，
∴当y＝0时，x＝10，
∴OC＝10，
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣三角形BOC的面积
10×410×1
＝15；
（3）由图象知，当0＜x＜2或x＞8时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及观察图象的能力，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键．
21．（8分）（2023 碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cosC，求CF的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥AC；
（2）连接AD，根据余弦的定义求出CD，进而求出CE，根据平行线分线段成比例定理得到FE＝CE，得到答案．
【解答】（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
在Rt△ADC中，cosC，
∴CD＝4，
在Rt△CED中，cosC，
∴CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE，
∴CF．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（10分）（2023秋 泰兴市期末）著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）．
（1）直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；
（3）甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元（a＞0）给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．
【分析】（1）依据题意，根据原销售件数减去减少的件数即为所求；
（2）依据题意，根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（3）依据题意，根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
【解答】解：（1）由题意，y＝700200＝﹣20x+1000．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴10≤x≤30．
（2）由题意，得：（x﹣10）（﹣20+1000）＝7500，
解之得：x1＝25，x2＝35．
∵10≤x≤30，
∴x＝25．
答：该书的销售单价为25元．
（3）由题意，设每天的销售利润为w元，
∴w＝（x﹣10﹣a）（﹣20x+1000）
＝﹣20（x﹣50）（x﹣10﹣a）
∴对称轴为直线 ．
∵10≤x≤30在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
∴x＝30 时，w最大＝6000．
∴﹣20（30﹣50）（30﹣10﹣a）＝6000．
∴a＝5．
答：a的值为5．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．
23．（11分）（2022春 连平县校级期中）已知△ABC为等边三角形，P是直线AC上一点，AD⊥BP于D，以AD为边作等边△ADE（D，E在直线AC异侧）．
（1）如图1，若点P在边AC上，连接CD，且∠BDC＝150°，则∠EDC＝ 60° ．（直接写结果）
（2）如图2，若点P在边AC上，连接CD，且∠BDC＝150°，求的值．
（3）如图3，若点P在AC延长线上，DE交BC于F，求证：BF＝CF．
【分析】（1）分别求出∠PDC＝30°，∠PDE＝30°，则∠EDC＝∠PDE+∠PDC＝60°；
（2）如图所示，连接CE，证明△BAD≌△CAE（SAS），得到BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝90°，求出∠CED＝30°，进而求出∠DCE＝90°，得到DE＝2CD，，则；
（3）如图所示：过点C作CM∥BD交DE点M，连接CE，证明△ABD≌△ACE（ASA），得到BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝90°，再证明∠DEC＝∠EMC，得到MC＝CE，进一步证明△BDF≌△CMF（AAS），即可证明CF＝BF．
【解答】（1）解：∵∠BDC＝150°，
∴∠PDC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∵AD⊥BP，
∴∠ADP＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠PDE＝∠ADP﹣∠ADE＝30°，
∴∠EDC＝∠PDE+∠PDC＝60°，
故答案为：60°；
（2）解：如图所示，连接CE，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝90°，
又∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝30°，
∵∠EDC＝60°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝2CD，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示：过点C作CM∥BD交DE点M，连接CE，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠DEC＝∠AEC﹣∠AED，
∴∠BDE＝150°，∠DEC＝30°，
∵MC∥BD，
∴∠DMC＝∠BDE＝150°，
∴∠EMC＝30°，
∴∠DEC＝∠EMC，
∴MC＝CE，
∴BD＝CM，
∠BDE＝∠CMD，∠BFD＝∠CFM，
∴△BDF≌△CMF（AAS），
∴CF＝BF．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（12分）（2023 武昌区模拟）如图1，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），对称轴为x＝1．
（1）直接写出抛物线C1的解析式；
（2）如图1，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B，点P在线段AB上，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ，若PA＝PQ，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2，点M，N在抛物线C2上，点M在点N的右边，如果△MNE的两条边ME，NE所在直线与抛物线C2都有唯一共同点且ME，NE都与y轴不平行，△MNE的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．
【分析】（1）根据对称轴求出b＝﹣2，再将A点代入y＝x2﹣2x+c，求出c的值即可确定函数解析式；
（2）将点A代入直线解析式求出a的值，再设P（t，t+4），（t＜3），由PQ∥y轴，可得Q（t，t2﹣2t﹣3），根据PA＝PQ，建立方程（3﹣t）＝﹣t2t+7，求出t的值即可求P点坐标；
（3）根据平移的性质求出平移后抛物线C2解析式为y＝x2，设直线ME的解析式为y＝k（x﹣m）+m2，联立，整理得x2﹣kx+km﹣m2＝0，再由题意可得Δ＝（k﹣2m）2＝0，求出k＝2m，则直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理可得直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，联立，求出E（，mn），根据△MNE的面积为2，得到方程[（n2﹣mn）+（m2﹣nm）]×（m﹣n）（n2﹣mn）×（n）（m2﹣mn）×（m）＝2，即可求m﹣n＝2．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线C1：y＝x2﹣2x+c，
将点A（3，0）代入y＝x2﹣2x+c，则9﹣6+c＝0，
∴c＝﹣3，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵直线经过点A，
∴a＝4，
∴直线yx+4，
联立方程组，
解得，
∴B（，），
∵点P在线段AB上，
设P（t，t+4），（t＜3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（t，t2﹣2t﹣3），
∵PA＝PQ，
∴（3﹣t）＝﹣t2t+7，
解得t或t＝3（舍），
∴P（，）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2解析式为y＝x2，
设直线ME的解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
联立，
整理得x2﹣kx+km﹣m2＝0，
∵ME所在直线与抛物线C2有唯一共同点，
∴Δ＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，
同理可得直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
联立，解得，
∴E（，mn），
∵△MNE的面积为2，
∴[（n2﹣mn）+（m2﹣nm）]×（m﹣n）（n2﹣mn）×（n）（m2﹣mn）×（m）＝2，
∴（m﹣n）34，
∴m﹣n＝2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，抛物线平移的性质，利用割补法求三角形面积的方法是解题的关键．
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九年级数学中考复习模拟卷（湖北专用）
测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024 安徽一模）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．
2．（2024 广平县模拟）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．厨余垃圾Food Waste B．可回收物Recyclable
C．其他垃圾Residual Waste D．有害垃圾Hazardous Waste
3．（2023 长汀县模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋 津南区期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．购买1张彩票，中奖
C．画一个三角形，其内角和是180°
D．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
5．（2023春 和平区期末）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023 珠晖区一模）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）3＝x3y5
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy
7．（2023 阳泉模拟）将一副直角三角尺按如图摆放在同一平面内，使两个直角三角形尺的斜边AB∥DF，含45°直角三角尺的直角顶点E在含30°直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
8．（2023 白云区模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（4，0），∠A＝60°，则顶点C的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（2，） D．（2，
9．（2023秋 青岛期末）如图，AB是⊙O的直径，，弦CD与AB延长线交于点E，AD、BC交于F，若CD＝DE，则∠AFC的度数为（ ）
A．52.5° B．60° C．67.5° D．75°
10．（2023 台江区模拟）若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论正确的是（ ）
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．
①②③ B．②④ C．①③ D．①③④
二．填空题（共5小题，每题3分，15分）
11．（2023 抚州一模）化简：的结果是 ．
12．（2023 河东区一模）已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
13．（2024 石家庄一模）经过某T字路口的汽车，可能向左转或向右转，如果两种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个T字路口时，“行驶方向相同”的概率是 ．
14．（2023 永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
15．（2023春 大足区期末）如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接BE，在BE上取点F，连接CF．将△BCF沿BE翻折，使得点C刚好落在AD边的G处，若∠CFG＝90°，AB＝3，AD＝5，那么FG的长是 ．
三．解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（6分）（2024 长沙模拟）计算：．
17．（6分）（2023春 廊坊期末）如图，在 ABCD中，CD＝BD，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE．求证：四边形BECD是菱形；
18．（6分）（2024 云南模拟）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
19．（8分）（2023 长清区校级三模）第31届大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕，为更好地了解大运会，某中学在七、八年级举行了“迎大运知识竞赛”活动，现从七、八年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100．）八年级50名学生成绩数据中，落在C组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，90，93，94，91，90，94，91，94，93，92．
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 n 96
（1）求出统计图中m的值，以及表格中n的值；
（2）该校八年级共800人参加了此次竞赛，估计参加此次竞赛成绩优秀（x≥90）的八年级学生有多少人？
（3）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
20．（8分）（2023 兴宁区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y的图象于A（2，﹣4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数解析式．
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．
（3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
21．（8分）（2023 碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cosC，求CF的长．
22．（10分）（2023秋 泰兴市期末）著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）．
（1）直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；
（3）甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元（a＞0）给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．
23．（11分）（2022春 连平县校级期中）已知△ABC为等边三角形，P是直线AC上一点，AD⊥BP于D，以AD为边作等边△ADE（D，E在直线AC异侧）．
（1）如图1，若点P在边AC上，连接CD，且∠BDC＝150°，则∠EDC＝ ．（直接写结果）
（2）如图2，若点P在边AC上，连接CD，且∠BDC＝150°，求的值．
（3）如图3，若点P在AC延长线上，DE交BC于F，求证：BF＝CF．
24．（12分）（2023 武昌区模拟）如图1，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），对称轴为x＝1．
（1）直接写出抛物线C1的解析式；
（2）如图1，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B，点P在线段AB上，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ，若PA＝PQ，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2，点M，N在抛物线C2上，点M在点N的右边，如果△MNE的两条边ME，NE所在直线与抛物线C2都有唯一共同点且ME，NE都与y轴不平行，△MNE的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．
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