四川省凉山州民族中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（PDF版，含解析）

绝密★启用前
2023-2024 学年度高二数学 3 月月考试题
考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1．已知集合 A x x2 2x 0 ，B x x sin kπ , k Z ，则 A B （ ）
2
A． 1,0 B． 0,1 C． 0 D． 1
1 2i
2．已知复数 z满足 z ，则其共轭复数
2 i z
（ ）
5 i 5A． i B． i C． D． i
3 3
3．等比数列 an 的各项均为正数，且 a5a6 a4a7 18，则 log3 a1 log3 a2 log3 a10
（ ）
A．12 B．10 C．5 D． 2 log3 5

4．已知 a 2，且 a b 2，则向量b在向量 a上的投影向量为（ ）
1 a 1
r
A． B． b C． a D．2 2 b
5．若 cos
π 1
，则 sin2 （ ）
4 3
5 5 7 7
A． B． C． D．
9 9 9 9
6．函数 f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是 （ ）
A．0 f 2 f 3 f 3 f 2 B．0 f 3 f 3 f 2 f 2
C．0 f 3 f 2 f 3 f 2 D．0 f 3 f 2 f 2 f 3
7．函数 f x ln 2x 1 x2 x的单调递增区间是（ ）
试卷第 1页，共 4页
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1
A． 0,1 B ,1 ． 2
1 2
C． ,
1 2 1 ,1 2
2 2
D．
2 2


8．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1，AA1 2，M为 AA1的中点，过B1M
作长方体的截面 交棱CC1于 N，下列正确的是（ ）
①截面 可能为六边形
②存在点 N，使得 BN 截面
③若截面 为平行四边形，则1 CN 2
N C 3 6④当 与 重合时，截面面积为
4
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分，少选 3 分，错选 0 分，全对 5 分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
1
A． ln 7
7
B． x2 2 sin x

2xsin x x2 2 cos x
C x
2 2x x2
． x x
e e
D． ln 3x 2
1
3x 2
10．下列函数中是奇函数且在 0, 上单调递增的是（ ）
1
A． y x3 B． y x3
C． y ex D． y ln x
11 f x x3 m．函数 m R 的图象可能是（ ）
x
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
A． B．
C． D．
12．丹麦数学家琴生（Jensen）是 19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函
数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数 f x 在 a,b 上的导函数为
f x ， f x 在 a,b 上的导函数为 f x ，若在 a,b 上 f x 0恒成立，则称函数
f x 在 a,b 上为“凸函数”，以下四个函数在 (0, π )2 上是凸函数的是（ ）
A． f x sinx cosx B． f x lnx 2x
C． f x x3 2x 1 D x． f x xe
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数 f (x) x ex，则 f (x)的最大值为 ；曲线 y f (x)在 (1, f (1))处的切
线方程为 ．
14．若直线 y x m与曲线 y x 4 x 2 5x 相切，则切点的横坐标为 ．
15．若函数 f x x3 1 ax2 6x在区间 1,3 上单调递增，则 a的取值范围为 ．
2
16 2．已知函数 f x lnx 2x, g x a x x ，若 f x g x 恒成立，则实数 a的取值
范围是 ．
四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17．在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 a2 b2 2ab c2．
(1)求角 C的大小；
(2)若b 1， c 2bcosB，求 ABC的面积．
18．2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科
幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校 50名同学的通关时间
（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间 40,100 ，然后把样本
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
数据分成 40,50 ， 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 六组，经过整理绘
制成频率分布直方图（如图所示）．
(1)计算 a的值，并估算该校同学通关时间低于 60分钟的概率；
(2)拟在通关时间低于 60分钟的样本数据对应的同学中随机选取 2位同学赠送科幻大会
入场券，求此 2人的通关时间均位于区间 50,60 的概率．
n n 119 ．已知数列 an 的前 n项和为 Sn .2
(1)求数列 an 的通项公式 an ；
(2)记b
1
n a a ，求数列 bn 的前 n项和.n n 1
2 2
20 x y．已知椭圆 C： 2 b 02 1（ a 0， ）的长轴为 4 3，短轴长为 4．a b
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)设直线 l：y x m与椭圆 C交于不同两点 A、B，且 AB 3 2，求直线 AB的方程．

21．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB 4，点 E在线段CC1上，且CC1 4CE，
点 F 为 BD中点.
(1)求点D1到直线 EF 的距离；
(2)求证： A1C 面BDE .
22．已知函数 f x ax 2lnx .
(1)讨论函数 f x 的单调区间；
(2)当 x 0时， f x 1 x3 x2 2 2ex 2lnx恒成立，求实数 a的取值范围.
2
试卷第 4页，共 4页
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参考答案：
1．B
【分析】求出集合A，对整数 k的取值进行讨论，可求得集合 B，利用交集的定义可求得集
合 A B .
2
【详解】因为 A x x 2x 0 x 0 x 2 ，
kπ
对于 x sin k Z ，当 k 4n n Z 时， x sin kπ sin 2nπ 0，
2 2
当 k 4n 1 n Z 时， x sin kπ π π sin 2nπ

sin 1，2 2 2
当 k 4n 2 n Z 时， x sin kπ sin 2nπ π sin π 0，
2
当 k 4n 3 n Z x sin kπ sin 时， 2nπ
3π
sin
3π
1，
2 2 2
B x x sin kπ 综上所述， ,k Z 1,0,1 ，
2
因此， A B 0,1 .
故选：B.
2．B
【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.
1 2i 2 i 5
【详解】因为 z i i 2 i 2 i 5 ，所以 z i .
故选：B.
3．B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为 an 是各项均为正数的等比数列，a5a6 a4a7 18，
所以 a5a6 a4a7 2a5a6 18，即 a5a6 9，则 a1a10 a2a9 a5a6 9
记 S log3 a1 log3 a2 log3 a10，则 S log3 a10 log3 a9 log3 a1，
两式相加得 2S log 3 a1a10 log 3 a2a9 log 3 a10a1
log3 a1a10 log3 a2a9 log3 a10a1 10 log3 9 20 ，
所以 S 10，即 log3 a1 log3 a2 log3 a10 10 .
答案第 1页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
故选：B.
4．C
【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.

a b a 2 a
【详解】因为向量b在向量 a上的投影向量为： aa a ，2 2
故选：C.
5．C
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
cos π 1 π cos 2 π 7【详解】由 可得4 3
2 =2cos 1 ，
2 4 9
cos 2 π 故 =sin 2
7
，
2 9
故选：C
6．B
【分析】利用导数的几何意义，结合函数的图象，即可判断选项.
【详解】由函数 f x 的图象可知：
当 x 0时， f x 单调递增，且增速变缓慢，
f

3 f 2
f 3 f 2 ，表示 AB直线的斜率，
3 2
根据导数的几何意义可知，0 f 3 f 3 f 2 f 2 ，
故选：B
7．D
【分析】求出函数的定义域与导函数，再令 f (x) > 0，解得即可.
【详解】函数 f x ln 2x 1 x2 x 1 的定义域为 , ，
2
答案第 2页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
2 2 2x 1 2 2 2x 1 2 2x 1 且 f x 2x 1 ，
2x 1 2x 1 2x 1
f (x) > 0 1 x 1 2令 ，解得 ，
2 2
1 1 2
所以 f x 的单调递增区间为 ,2 2 .
故选：D
8．B
【分析】
利用点 N的位置不同得到的截面的形状判断选项 A，C，利用线面垂直的判定定理分析选项
B，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求得截面的面积，从而可判断选项 D．
【详解】长方体 ABCD A1B1C1D1中，过B1M作长方体的截面 交棱CC1于 N，
设N0为CC1的中点，根据点 N的位置的变化分析可得，
当1 CN 2时，截面 为平行四边形，
当0 CN 1时，截面 为五边形，
当CN 0，即点 N与点 C重合时，截面 为梯形，故①错误，③正确；
设BN 截面 ，因为 B1M ，所以 BN B1M，
又 A1B1 平面 BCC1B1，且 BN 平面 BCC1B1，所以 BN A1B1，
又 A1B1 B1M B1，所以BN 平面 ABB1A1，
所以 N只能与 C重合才能使 BN B1M，
因为 BN 显然不垂直平面 B1CQM ，故此时不成立，故②错误；
因为当 N与 C重合时，截面 为梯形，
如图 (2)所示，过 M作MM 垂直于 B1C于点M ，
答案第 3页，共 12页
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设梯形的高为 h， B1M x，
2 2
2 5 5
则由平面几何知识可得 h2 2 x2 x ，
2 2
解得 x 2 5 ,h 30 ，
5 5
5
5 所以截面 的面积为 2 30 3 6 ，故④正确．
2 5 4
故选：B.
9．BC
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】 ln 7 0，故 A错误；
x2 2 sin x 2xsin x x2 2 cos x，故 B正确；
x2 2x e x x2e x 2x x2
，故 C正确；ex

e 2x

ex
ln 3x 2
3
，故 D错误．3x 2
故选：BC
10．AB
【分析】AB选项，根据幂函数的性质得到 AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不
满足单调性.
【详解】A选项， y x3为奇函数且在 R上单调递增，满足要求，A正确；
1 1 1 1
B选项， g x x 3 的定义域为 R，且 g x x 3 x 3 g x ，故 g x x 3 为奇函数，
1 1
又 0，故
3 g x x
3 在 0, 单调递增，B正确；
C选项， y ex 为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；
答案第 4页，共 12页
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ln x,0 x 1
D选项， y ln x ，故当0 x 1时， y lnxln x, x 1 单调递减，D错误.
故选：AB
11．ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数 f x 的定义域为 ,0 0, ，
m
当m 0时， f x 2x2 2 0，函数 f x 在 ,0 , 0, 上单调递增，故 B正确；x
当m 0时， f x x3， f x 2x 0，所以在 ,0 , 0, 上单调递增，故 D正确；
当m 0时，当 x 0时， f x x3 m 0 3 m；当 x 0时， f x x 0；
x x
故 A正确；C错误.
故选：ABD.
12．ABC
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于 A，由 f x sinx cosx，得 f x =cosx-sinx，则
f x sinx cosx sinx cosx x (0, π=- + ，因为 )，所以
2
sin x 0,cos x 0, f x - sinx+cosx 0，所以此函数是凸函数；
对于 B，由 f x lnx 2x ，得 f x 1 2，则 f x 1 π2 ，因为 x (0, )，所以x x 2
f x 1 2 0，所以此函数是凸函数；x
C f x =-x3对于 ，由 2x 1，得 f x =-3x2 2，则 f x 6x，因为 x (0, π)，所以
2
f x 6x 0，所以此函数是凸函数；
x x -x x x x x
对于 D，由 f x =-xe ，得 f x =-e xe ，则 f x e e -xe = 2 x e ，因为
x (0, π) f x 2 x e x，所以 0，所以此函数不是凸函数，
2
故选：ABC
13． 1 y (1 e)x
【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，即可求得答案；根据导数的几何意义即可求得
答案第 5页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
曲线 y f (x)在 (1, f (1))处的切线方程.
【详解】由 f (x) x ex可得 f (x) 1 ex，
当 x 0时， f (x) 0，当 x 0时， f (x) 0，
故 f (x)在 ( , 0)上单调递增，在 (0, )上单调递减，
故 f (x)max f (0) 1；
由 f (1) 1 e,f (1) 1 e，
故曲线 y f (x)在 (1, f (1))处的切线方程为 y 1 e (1 e)(x 1)，
即 y (1 e)x，
故答案为： 1； y (1 e)x
14．1
【分析】求出函数的导函数，令 f x 4x 3 2x 5，再利用导数说明函数的单调性，由
f 1 1，即可得到方程 4x3 2x 5 1的解，从而得解.
【详解】因为 y x 4 x 2 5x ，所以 y 4x3 2x 5，
f x 4x 3设函数 2x 5 2，则 f x 12x 2 0，
所以 f x 4x 3 2x 5在定义域R 上单调递增，
因为 f 1 1，所以方程 4x3 2x 5 1的解为 x 1，则所求切点的横坐标为1．
故答案为：1
15． ,6 2
3 1 2
【分析】函数 f x x ax 6x在区间 1,3 上单调递增，转化为 f x 0在 1,3 上恒成
2
立，即 a
6
3x 恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
x
1
【详解】因为 f x x3 ax2 6x，
2
所以 f x 3x2 ax 6，
3 1 2
因为函数 f x x ax 6x在区间 1,3 上单调递增，
2
所以 f x 3x2 ax 6 0在 1,3 上恒成立，
答案第 6页，共 12页
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即 x 1,3 6时， a 3x 恒成立，
x
3x 6因为 2 3x 6 =6 2，当且仅当 x 2时等号成立，
x x
6
即 3x x
6 2，所以 a 6 2，
min
故答案为： ,6 2 .
16．[1, )
【分析】根据题意，构造函数 F(x) f (x) g(x)
1
，分 a 0与a 0 讨论，然后转化为F 0
a
恒成立，代入计算，即可得到结果.
【详解】构造函数 F(x) f (x) g(x)，其定义域为 (0, )，
F (x) 1 (2x 1)(ax 1)则 2 2ax a , x (0, )，
x x
当a 0时， F (x) 0, f (x)单调递增，F 1 2 2a 0,F x 0不可能恒成立；
1 1
当a 0时，令 F (x) 0，得 x 或 x （舍去）．
a 2
0 1当 x 时， F (x) 0；
a
x 1
1
当 时， F (x) 0，故 F (x)在 (0, )上有最大值 F ，
a a
F 1 0 1 1由题意知 恒成立，即 ln 1 0，
a a a
1 1
令 (a) ln 1，则 (a)在 (0, )上单调递减，且 (1) 0，
a a
1 1
故 ln 1 0成立的充要条件是 a 1．
a a
故答案为：[1, )
3π
17．(1)C
4
(2) 2
4
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可
求解.
2
1 cosC a b
2 c2 2ab 2
【详解】（ ） ，且C 0, π ，
2ab 2ab 2
答案第 7页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
所以C
3π
；
4
（2）根据正弦定理， c 2b cos B sinC 2sin B cos B sin 2B，
所以C 2B或C 2B π，
3π 3π
当C 2B时，C ，B ，此时B C π，不成立，
4 8
π
当C 2B π时，此时 A B ，则 a b 1，
8
ABC 1的面积 S ab sinC 1 1 1 2 2 .
2 2 2 4
18．(1)a 0.006，0.1
(2)0.3
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得 a 0.006，进而得到估计该校同学通关时
间低于钟的概率；
（2）根据题意得到通关时间位于区间 50,60 和 40,50 的人数，利用列举法求得基本事件
的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为 0.004 a 0.018 0.022 2 0.028 10 1，所以 a 0.006，
由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为 0.004 0.006 10 0.1，
据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为0.1 .
（2）解：样本中同学通关时间位于区间 50,60 的有50 0.006 10 3人，即为 A1, A2 , A3，
通关时间位于区间 40,50 的有：50 0.004 10 2（位），即为 B1， B2，
从这 5名入样同学中随机抽取 2人，所有可能的结果共有 10种，
分别为 A1, A2 ， A1,A3 ， A1,B1 ， A1,B2 ， A2 , A3 ， A2 ,B1 ， A2 ,B2 ， A3 ,B1 ， A3,B2 ，
B1,B2 ，
所抽取 2人的通关时间均位于区间 50,60 的结果有 3种，即 A1, A2 ， A1,A3 ， A2 , A3 ，
3
故此 2人的通关时间均位于区间 50,60 的概率为 P 0.3．
10
19．(1)an n
答案第 8页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
n
(2)
n 1
【分析】
S1,n 1
（1）根据 an S S ,n 2作差即可得解； n n 1
1 1
（2）由（1）可得bn ，利用裂项相消法计算可得.n n 1
【详解】（1） n
n(n 1)
数列的前 项和为 Sn ，2
1
n 1 a 1 1 当 时 1 S1 1，2
n
n 2 S n 1 当 时 n 1 ，2
n(n 1) n(n 1)
所以 an Sn Sn 1 n，2 2
又当 n 1时， an n也成立，
数列 an 的通项公式为 an n .
1 1 1 1
（2）由（1）可得bn a a ，n n 1 n n 1 n n 1
设数列 bn 的前 n项和为Tn，
则Tn b1 b2 b3 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n .
2 2 3 3 4 n n 1 n 1 n 1
2
20 x y
2
．(1) 1
12 4
(2) y x 2
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得 m的值，则直线 AB的
方程可求.
【详解】（1）由已知长轴为 4 3，短轴长为 4，
可得 a 2 3，b 2，
答案第 9页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
2 2
则椭圆 C x y的标准方程为： 1；
12 4
y x m

（2）依题意 x2 y2 ，
1 12 4
解得 4x2 6mx 3m2 12 0，
因为 0，可得 4 m 4，

x1 x
3m
2

2
且 ，
x x 3m
2 12
1 2

4
2
因为 AB 1 k 2 x 9m1 x 2
2 4x1x
2
2 2 3m 124 3 2 ，
解得m 2，
所以直线 AB的方程为 l： y x 2．
21．(1) 114
3
(2)证明见解析
【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公
式即可求得；

（2）由（1）中所建的系求出 A1C,DB,DE的坐标，分别计算得到 A1C DB 0和 A1C DE 0，
由线线垂直推出线面垂直.
【详解】（1）

如图,以D为原点，以DA,DC,DD1分别为 x, y, z轴正方向，建立空间直角坐标系，

正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 , AA1 2AB 4,CC1 4CE,F 为 BD中点,
答案第 10页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}

D1 0,0,4 ,E 0,2,1 ,F 1,1,0 ,ED1 0, 2,3 ,EF 1 , 1, 1

2
2
D 2EF d ED ED1 EF 13 1 114则点 1到直线 的距离为： 1 .
EF
3 3
（2）由（1）可得C 0,2,0 ,B 2,2,0 , A1 2,0,4 ，

则 A1C 2,2, 4 ,DB 2,2,0 ,DE 0,2,1 ，

由 A1C DB 2 2 2 2 0 可得 A1C DB，

又由 A1C DE 2 2 ( 4) 1 0可得 A1C DE，
又DB DE D，
故 A1C 面BDE .
22．(1)答案见解析
7
(2)a 2e
2
【分析】（1）对函数 f x 求导，分别讨论a 0和 a 0两种情况，即可求出结果；
x x
（2 1 2 2e）先分离参数，将原式化为 a x2 x ，构造函数 g x 1 x2 x 2 2e ，
2 x x 2 x x
利用导数判断 g x 的单调性进而求出 g x 的最大值即可.
【详解】（1） f x 的定义域为 0,+ ， f x =a 2 ax 2 ，
x x
当a 0时， f (x) 0恒成立，所以 f x 的单调递减区间为 0,+ ,
当a 0时，令 f (x) 0
2 2
，则 x ，所以 f x 的单调递增区间为 , ，
a a
令 f (x) 0 0 x
2 2
，则

，所以 f x 的单调递减区间为 0, ,a a
综上：当 a 0时， f x 的单调递减区间为 0,+ ，无增区间；
当a 0时， f x 2 2 的单调递增区间为 , ，单调递减区间为 0, ；
a a
2 x 0 f x 1 x3 x2 2 2ex（ ）当 时， 2lnx恒成立，
2
即ax 2lnx
1
x3 x2 2 2ex 2lnx对 x 0恒成立，
2
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{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}
a 1 x2 x 2 2e
x
即 对 x 0恒成立，
2 x x
g x 1 2 2e
x
令 x2 x （ x 0），
2 x x
g x x 1 2 2 x 1 e
x x3 x2 2 2 x 1 ex

x2 x2 x2
x 1 x2 2x 2 2 x 1 ex x 1 x2 2x 2 2ex
2 x x2
令m x x2 2x 2 2ex（ x 0），则m (x) 2x 2 2ex，
令 t x m (x) 2x 2 2e x（ x 0），则 t (x) 2 2ex，
由 x 0得， ex 1，所以 t (x) 0，所以 t x 在 0,+ 上单调递减，
所以 t x t 0 0，即m (x) 0，所以m x 在 0,+ 上单调递减，
所以m x m 0 0，
令 g (x) 0，则 0 x 1，所以 g x 在 0,1 单调递增，
令 g (x) 0，则 x 1，所以 g x 在 1, 单调递减，
所以 g x g 1 7 2e 7 ，所以 a 2e .
2 2
综上实数 a的取值范围为 a
7
2e .
2
1 2 2ex
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得 a x2 x 对 x 0恒成立，
2 x x
1 x
再设新函数 g x x2 x 2 2e （ x 0），对此求导研究其最值即可.
2 x x
答案第 12页，共 12页
{#{QQABbQAEogigAJBAABgCUQVACACQkBGACCoGgFAEoAAASAFABAA=}#}