福建省三明市部分中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

三明市部分中学2023-2024学年高一下学期3月月考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1.已知（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知平面向量，且，则（ ）
A.-9 B.1 C.-1 D.3
3.已知为两个不共线向量，，则（ ）
A.三点共线 B.三点共线
C.三点共线 D.三点共线
4.在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.已知与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A. B.2 C.4 D.8
7.2023年入冬以来，哈尔滨冰雪旅游火爆出圈.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球 圆柱 棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶 教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知圆的半径为2，弦长为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知是复数，下列说法正确的是
A. B.若，则或
C. D.若，则
11.已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等边三角形
C.若，则为的垂心
D.若，则点的轨迹经过的重心
第II卷（非选择题共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量为非零向量，若，则__________.
13.在中，已知角，边，则角__________.
14.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，并按这样的规律继续下去.
给出下列四个结论：
①对于任意正整数；
②存在正整数为整数；
③存在正整数，三角形的面积为2023；
④对于任意正整数，三角形为锐角三角形.
其中所有正确结论的序号是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知复数.
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
16.（15分）
设是不共线的单位向量，且与的夹角的余弦值为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17.（15分）
已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
（1）求和；
（2）若，求四边形的面积.
18.（17分）
如图，在中，，点在线段上（异于两点），延长到，使得，设
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
19.（17分）
利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作.类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：
①
②；
③
④
（1）设，为虚数单位，求；
（2）设是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，（其中，成立，证明：对于复向量也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.
三明市部分中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学
参考答案
一 选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B A C C D B C ABC BC CD
二 填空题：
12.0 13. 14.①②④
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）由已知得，
，
又
所以
（2）依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以
16.（15分）
解：（1）因为，
所以
所以，
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，设，即，
因为与不共线，所以，解得，
因此当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为.
17.（15分）
解：（1）四边形的外接圆面积为，即的外接圆面积为，
设的外接圆半径为，则，解得，
在中，，即，故，
因为为钝角，所以为锐角，故，
由余弦定理得，即，
故，解得，负值舍去
（2）因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，故，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
故，
.
所以，四边形的面积为
18.（17分）
解：（1）在中，，
由余弦定理，得
，
所以，又，
于是，
又，
所以，
于是，
整理得，
即，
所以，
所以，
所以.
（2）设，则，所以，
，
设，则，
故，
即，
所以点三点共线，
又，
所以点三点共线，
所以点与点重合，
因此，
故，
因为点是Rt斜边上异于的点，
所以，当时，取最小值为，
当点与点重合时，取最大值为4，
故，
又，
所以，即，
所以的取值范围为
解法二：如图，以所在的直线为轴，以所在的
直线为轴，
建立平面直角坐标系，则，
所以，
，
（1）因为，
又，
所以，
则，
所以，
所以，
故
所以.
（2）因为，
所以，
令
则，（其中）
因为，所以，
又，
所以，即，
所以，
即的取值范围为
19.（17分）
解：（1）因为，
所以，
（2）①设，则，
由复数的三角不等式得，
由，得，所以，
所以
，
综上所知，
②考虑①中复数的三角不等式等号成立的条件知，
当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得
，即
故复向量与平行，有
，
根据中等号成立的条件，
应有，即，
所以，
结合，得，解得；
所以，所以.