(共25张PPT)
第二课时 等比数列的性质
题型一 等比数列的性质
[探究发现]
1．公比q＞0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？
提示：当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列是递减数列．
2．已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
提示：(1)是，首项为ak＋1，公比为q；(2)是，首项为a1，公比为q2；(3)是，公比为q11.猜想：下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公比为qm的等比数列．
法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
取特殊值，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合．
法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
法四：因为a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝(an)2＝22n，
所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…an]＝log22n2＝n2.
[答案] (1)A (2)C
等比数列的性质
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
(3)等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
(5)在等比数列{an}中，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
[提醒] 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．
[对点练清]
1．等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于 ( )
A．12 B．6 C．－12 D．－6
题型二 灵活设元求解等比数列问题
[学透用活]
[典例2] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[对点练清]
若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13后所得数成等差数列，求这四个数．
题型三 等比数列的实际应用问题
[学透用活]
[典例3] 某工厂2022年1月的生产总值为a万元，计划从2022年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2023年8月底该厂的生产总值为多少万元？
数列实际应用题常与生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：
(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；
(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[对点练清]
从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数．
解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，
由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，
将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.
(2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，
由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，
由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m，
由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.
二、应用性——强调学以致用
2．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离，那么至少对折的次数n是(lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6) ( )
A．40 B．41 C．42 D．43(共30张PPT)
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
[新课程标准]
1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．掌握等比数列的性质并应用．
3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
知识点一 等比数列的概念
(一)教材梳理填空
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(显然q≠0)．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 ，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.
同一个常数
公比
等比数列
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等比数列中至少含有三项． ( )
(2)等比数列每相邻两项的比都相同． ( )
(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． ( )
(4)任何两个数都有等比中项． ( )
(5)若G2＝ab，则G一定是a，b的等比中项． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
答案：x≠0
知识点二 等比数列的通项公式
(一)教材梳理填空
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝ .
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等比数列{an}的首项为a1＝1，公比为2，则an＝2n－1. ( )
(2)数列a，a3，a5，a7，…的通项公式为an＝a2n－1. ( )
答案：(1)√ (2)×
a1qn－1
[典例1] 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
2．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是 ( )
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
解析：设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.
答案：C
3．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
答案：D
题型二 等比中项及应用
[学透用活]
[典例2] 等比数列{an}的前三项之和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项．
[对点练清]
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
答案：B
2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
题型三 等比数列的判定与证明
[学透用活]
[典例3] 在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
法二：等比中项法
∵an＞0，∴an＋3＞0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)
＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
二、应用性——强调学以致用
2．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%.今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，则“衰分比”为 ( )
A．20% B．25% C．75% D．80%
解析：根据题意，设衰分比为x%，甲分到a石，0又由今共有粮食m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，
则a(1－x%)＝80，a＋a(1－x%)2＝164，
解得a＝100，x＝20.故选A.
答案：A
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．(共39张PPT)
4．3.2 等比数列的前n项和公式
[新课程标准]
1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．掌握等比数列前n项和的性质．
3．掌握利用分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和．
4．通过等比数列前n项和的应用，培养学生数学运算的核心素养．
第一课时 等比数列的前n项和
知识点一 等比数列的前n项和公式
(一)教材梳理填空
2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 ( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
3．数列{2n－1}的前99项和为 ( )
A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) 数列{an}为__________．
等比数列
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于 ( )
A．31 B．33 C．35 D．37
2．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 ( )
A．12 B．10
C．8 D．6
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
[学透用活]
(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此，当公比未知时，要对公比进行分类讨论．
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
[对点练清]
答案：ABD
3．[求项数]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
题型二 等比数列前n项和的性质
[学透用活]
[典例2] 已知在等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．
[对点练清]
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于
( )
A．8 B．6 C．4 D．2
解析：S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列，∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
答案：C
2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.
题型三 等比数列前n项和的实际应用
[学透用活]
[典例3] 一个热气球在第1 min上升了25 m的高度，在以后的每1 min里，它上升的高度都是它在前1 min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125 m吗？
通过本题的解答可以看出，解应用问题的核心是建立数学模型．一般步骤是：审题、抓住数量关系、建立数学模型．还要注意要求解的问题是求什么(n，an，Sn)．
在解答这类问题时要注意以下几点：
(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
[对点练清]
如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和．
求解数列综合问题的步骤
(1)分析题设条件．
(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系．
(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用．
(4)整理求解．
[对点练清]
1．设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn,3an成等差数列，则S5的值是 ( )
A．－243 B．－242 C．－162 D．243
2．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．下面是“在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{an·an＋1}是公比为q(q>0)的等比数列．
(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3成立的q的取值范围；
(2)求数列{an}的前2n项的和S2n”的解题过程．
二、应用性——强调学以致用
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死，至少需要 ( )
A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．7秒
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表．
记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0；
②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列；
请解答以下问题：
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k)．(共27张PPT)
第二课时 数列求和
题型一 分组转化法求和
[学透用活]
[解] (1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2，
所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，
所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.
[方法技巧] 分组转化法求和的常见类型
[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
题型二 裂项相消法求和
[学透用活]
几种常见的裂项方式
裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．
题型三 错位相减法求和
[学透用活]
一般地，若数列{cn}的通项公式为cn＝an·bn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，我们可以用错位相减法求{cn}的前n项和．具体方法如下：
先写出前n项和Sn，
Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，①
①式两边同乘等比数列的公比q，得
qSn＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋an－1bn＋anbn＋1.②
[解] (1)由题意知，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
错位相减法求和的注意点
(1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
[对点练清]
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)，
即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)，且a2－a1＝1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n＋1.
二、应用性——强调学以致用
2．把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则
(1)图(3)中共挖掉了________个正方形；
(2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________．
[析题建模]
