(共31张PPT)
4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
[新课程标准]
1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．体会等差数列与一元一次函数的关系，掌握等差数列的性质．
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
4．通过理解等差数列的概念，培养学生数学抽象的核心素养；通过等差数列通项公式及性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．
第一课时 等差数列的概念及通项公式
知识点一 等差数列的概念
(一)教材梳理填空
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母__表示．
2．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
同一个
公差
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( )
(2)－10，－12，－14，－16，…是等差数列． ( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． ( )
(4)等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为an＝2n－3.
( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．[多选]下列各组数列能构成等差数列的为 ( )
A．2,2,2,2,2
B．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3
C．3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3a
D．a－1，a＋1，a＋3
解析：A．∵2－2＝2－2＝2－2＝2－2＝0，∴该数列是等差数列．B.∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差数列．
答案：ACD
3. 已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为________．
解析：依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，故m与n的等差中项为3.
答案：3
知识点二 等差数列的通项公式
(一)教材梳理填空
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式 通项公式
an＋1－an＝d an＝____________
a1＋(n－1)d
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差d有关． ( )
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)√ (2)√
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：C
3．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是
( )
A．1,4 B．－1，－4
C．4,1 D．－4，－1
解析：n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
答案：B
[典例1] 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[对点练清]
1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求a20，an.
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
题型二 等差中项及应用
[学透用活]
[典例2] (1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项．
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3.①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，
且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.②
将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.
[对点练清]
1．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为 ( )
A．26 B．29 C．39 D．52
解析：因为5，x，y，z,21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21的等差中项，所以x＋z＝2y,5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
判断等差数列常用的2种方法
(1)定义法：即验证其通项是否满足an＋1－an＝d(n∈N*)．具体步骤为：
①确定数列{an}的通项公式；
②由an表示an＋1，即将an中的n替换为n＋1得an＋1；
③作差：an＋1－an，并判断其结果是否为常数；
④总结：若an＋1－an是常数(即一个与n无关的数)，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)∵an＝an－1＋2(n≥3)，
∴an－an－1＝2(n≥3)，
即数列{an}满足a3－a2＝2，a4－a3＝2，a5－a4＝2，
即从第3项起每一项与前一项的差为同一个常数，
∴a2，a3，a4，…，an构成公差为2的等差数列，
但a2－a1＝0≠2，
∴{an}不是等差数列．
(2)由(1)知，an＝a2＋(n－2)·d＝1＋(n－2)×2＝2n－3(n≥2)．
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为________升．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
4．对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*)．对于k≥2，k∈N*，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an)．
(1)试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n(n∈N*)，试判断数列{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列．
解：(1)由题意，可以得到许多一阶差分数列，如1,1,1,1,1(答案不唯一，符合题意即可)．
(2)Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n3＋n)＝2n＋2，Δan＋1－Δan＝2，∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列．Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列．(共29张PPT)
4．2.2 等差数列的前n项和公式
[新课程标准]
1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．掌握等差数列前n项和的性质并应用．
3．会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题．
4．通过掌握等差数列前n项和的公式及应用，培养学生数学运算的核心素养；通过对等差数列前n项和性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．
第一课时 等差数列的前n项和
(一)教材梳理填空
等差数列的前n项和公式
提示：不正确．当d≠0时，Sn是n的二次函数，且不含有常数项；当d＝0时，Sn＝na1，不是n的二次函数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．
( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．
( )
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1. ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于 ( )
A．10 B．12
C．15 D．30
3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
[典例1] (1)在等差数列{an}中，a4＝9，a9＝－6，若Sn＝63，求n的值．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
[对点练清]
1．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于 ( )
A．160 B．180 C．200 D．220
[对点练清]
已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4.
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
所以an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1(n≥2)，因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.
题型三 求等差数列前n项的绝对值之和问题
[探究发现]
已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则Tn与Sn有何关系？
[学透用活]
已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求数列{|an|}的前n项和．
求数列{|an|}的前n项和实际上是求数列{an}前n项各项的绝对值之和．由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前n项各项的绝对值之和．
[对点练清]
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为 ( )
A．56 B．58 C．62 D．60
二、应用性——强调学以致用
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于 ( )
A．12 B．16 C．9 D．16或9(共24张PPT)
第二课时 等差数列的性质及其应用
题型一 等差数列的性质及应用
[学透用活]
若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
[典例1] (1)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝ ( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
(2)已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_____.
[解析] (1)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
(2)∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.
由条件等式，得a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
[答案] (1)C (2)234
本例(1)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．
本例(2)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．
[对点练清]
1．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为 ( )
A．10 B．－10 C．15 D．－15
解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.故a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10.
法二：由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.故a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.
答案：B
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案：180
题型二 灵活设元求解等差数列
[学透用活]
[典例2] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
常见的设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设这三个数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设这四个数为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
[对点练清]
已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
题型三 等差数列的实际应用
[学透用活]
[典例3] 某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
[解] 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)，即需要支付车费23.2元．
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
[对点练清]
1．在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费？
解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)，即需要支付车费29.2元．
2．在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N*)处的目的地，求其需支付的车费an.
3．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数．
解：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2.
∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3,5，
∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.
∴cp＝c1＋(p－1)d＝2＋(p－1)×15＝15p－13.
令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.
∴两数列共有14个公共项．
二、应用性——强调学以致用
2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数
列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.
(1)求AB，BC，CD的长；
(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d，
从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，
所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，
因此等差数列{an}是“P(3)数列”．
(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，
当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①
当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②
由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③
an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④
将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.
在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，
所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，
所以a1＝a3－2d′，
所以数列{an}是等差数列．(共25张PPT)
[典例1] (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为 ( )
A．130 B．170 C．210 D．260
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
利用等差数列前n项和的性质解题时，一是要注意判断等差数列中的项数，二是注意整体思想在解题中的应用．
[对点练清]
1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ( )
A．5 B．4 C．3 D．2
题型二 等差数列前n项和的最值问题
[学透用活]
[典例2] 在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
[对点练清]
答案：ACD
2．[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2 022>0，a2 021＋a2 022<0，则 ( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{Sn}是递增数列
C．Sn的最小值是S2 021
D．使得Sn取得最小正数的n＝4 042
题型三 等差数列前n项和的实际应用问题
[学透用活]
[典例3] 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国
古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地
面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕
它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
等差数列前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题，如材料的总数目、行程问题中的总行程等．只要是等差数列，就可以应用前n项和公式计算总数，求解时应注意从实际问题中抽象出的数学模型要准确．
[对点练清]
中国植树节定于每年的3月12日，是中国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．某班41名同学打算在明年的植树节这一天，在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n(n＝1,2，…，41)个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小．
∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.
等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，
∴an－an－1＝1.
∴数列{an}是公差为1的等差数列．
二、应用性——强调学以致用
2.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．
上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇
面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一
环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值．
从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．
