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2023-2024学年人教版五年级下册数学单元综合测评（8 数学广角—找次品）
一．填空题（共10小题，满分23分）
1．（2分）有27个形状、大小完全相同的零件，其中有1个较轻的不合格零件，用天平至少称 3 次保证能找到不合格零件。如果再拿来1个合格零件放入这些零件中并打乱，那么至少称 4 次保证能找到不合格零件。
【考点】找次品
【答案】3，4。
【分析】根据找次品时所需次数的规律：至少n次可以找到最多3n个零件中的一个不合格零件（知道轻重），当不知道轻重时，需要再称1次。据此解答。
【解答】解：33＝27
3+1＝4（次）
答：有27个形状、大小完全相同的零件，其中有1个较轻的不合格零件，用天平至少称3次保证能找到不合格零件。如果再拿来1个合格零件放入这些零件中并打乱，那么至少称4次保证能找到不合格零件。
故答案为：3，4。
【点评】本题主要考查找次品的规律的应用，关键注意是否知道次品的轻重。
2．（3分）用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成 3 份，能平均分的要 平均分 ，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差 1个 ，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【考点】找次品
【专题】称球问题．
【答案】3，平均分，1个。
【分析】根据找次品的方法，结合题干，直接填空即可。
【解答】解：用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1个，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
故答案为：3，平均分，1个。
【点评】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
3．（2分）有11把锁，其中10把质量相同，另有一把是次品，次品略轻一些。用天平称，至少称 3 次可以保证把次品找出来。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】3。
【分析】把11把锁分成3份，分别为5、5、1，将两个5把的放在天平两旁，分两种情况进行分析；当天平不平衡时，将5把分为2、2、1，将两个2把的放在天平两旁，利用与上一步相同的方法分析，直到找到次品为止，据此解答即可。
【解答】解：第一次称量：把11把锁分成3份，分别为5、5、1，将两个5把的放在天平两旁，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在余下的那一袋中；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边的5袋中，继续称量。
第二次称量：将5把分为2、2、1，将两个2把的放在天平两旁，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在余下的那一袋中；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边的2袋中，继续称量。
第三次称量：将2把分别放在天平两旁，则次品在托盘上升的一边。
综上可知，至少称3次可以保证把次品找出来。
故答案为：3。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
4．（2分）中医文明是中华文明长河中的重要组成部分，享誉世界。李叔叔开了5副中药，其中一副少了一味药。配药师用天平至少要称 2 次可以保证找到这副药。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】
2。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：
所以配药师用天平至少要称2次可以保证找到这副药。
故答案为：2。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
5．（4分）有5袋重量是500克的食盐，其中4袋质量相同，只有一袋是比其他的轻。可以用 比较 的方法把它找出来，将天平两边的托盘里各放 2 袋食盐，如果天平平衡了，剩下的那袋就是 轻的 ；如果天平不平衡，再将天平高的那两袋再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那袋较轻的食盐，至少要称 2 次。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】比较，2，轻的，2。
【分析】根据天平平衡的原理，用比较的方法，在天平两边分别放入同等食盐进行称量，据此解答。
【解答】解：有5袋重量是500克的食盐，其中4袋质量相同，只有一袋是比其他的轻。可以用比较的方法把它找出来，将天平两边的托盘里各放2袋食盐，如果天平平衡了，剩下的那袋就是轻的；如果天平不平衡，再将天平高的那两袋再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那袋较轻的食盐，至少要称2次。
故答案为：比较，2，轻的，2。
【点评】本题主要考查了学生运用天平平衡的原理解决问题的能力。
6．（2分）有15盒饼干，其中1盒是次品（少几块），如果用天平称，至少称 3 次可以找出这盒次品；有9盒饼干，其中1盒是次品（不确定轻一些或重一些），如果用天平称，至少称 3 次可以找出这盒次品。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】3；3。
【分析】要求称的次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。
【解答】解：（1）①把15盒饼干分成（5，5，5）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如平衡，则轻的在没称的一组，再把它分成（2，2，1），再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则轻的就是没称的那盒，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的那盒。
②如不平衡，则把轻的一组分成（2，2，1），再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则轻的就是没称的那盒，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的那盒。
所以至少称3次可以找出这盒饼干。
（2）①把9盒饼干分成（3，3，3）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如平衡，则次品的在没称的一组；再把没称的3盒饼干分成（1，1，1），再把任意2组放在天平上称，如平衡，则次品就是没称那盒，如不平衡，拿下1盒，放上没称的那盒，如果平衡，说明拿下的那个是次品，如果不衡，说明没拿下的那个是次品。
②如不平衡，先拿下一组，再放上没称的那组，如果平衡，说明拿下的那组有次品，如果不平衡，说明没拿下的那组有次品，且可以得出次品的轻重；再把有次品的3盒饼干分成（1，1，1），再把任意2组放在天平上称，如平衡，则次品就是没称那盒，如不平衡，再根据次品的轻重找出次品。
所以至少称3次可以找出这盒次品。
故答案为：3；3。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
7．（2分）要统计一个病人一昼夜的体温变化情况，应选用 折线 统计图；在17个乒乓球中有一个次品（次品重一些），用天平称，至少 3 次一定能找出次品。
【考点】找次品
【专题】应用意识．
【答案】折线，3。
【分析】折线统计图能反映数据的变化趋势，要统计一个病人一昼夜的体温变化情况，应选用折线统计图；在17个乒乓球中有一个次品（次品重一些），用天平称，把17个乒乓球分成6个，6个，5个三组，第一次称，确定次品在那一组，再把次品所在的组平均分成3组，第二次称确定次品在哪一组，第三次称即可确定次品。
【解答】解：要统计一个病人一昼夜的体温变化情况，应选用折线统计图；在17个乒乓球中有一个次品（次品重一些），用天平称，至少3次一定能找出次品。
故答案为：折线，3。
【点评】本题考查折线统计图、找次品，解答本题的关键是掌握折线统计图、找次品的概念。
8．（2分）端午节，又称“重五节”“龙舟节”等，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠家一共包了16个蛋黄粽和24个蜜枣粽。
（1）妈妈把这些粽子分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放 8 个。
（2）在16个蛋黄粽子中，有一个是小惠学着包的，质量轻一些，妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平秤，至少要称 3 次才能把小惠包的粽子找出来。
【考点】找次品
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）就是求16和24的最大公因数。分别把16、24分解质因数，找出公共部分之积，即每盒最多放的个数。
（2）把16个分成（5，5，6），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，小惠包的在6个组；不平衡，小惠包的轻的一边（称第一次）。
当小惠包的在5个组时，把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的1个（运气好时，此次能找出小惠包的，只称2次）；不平衡，小惠包的在轻的一边。当小惠包的在6个组时，分成（2，2，2），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的2个；不平衡，小惠包的在轻的一边（称第二次）。
把2个分成（1，1），天平两边各放1个，小惠包的在轻的一边（称第三次）。
【解答】解：（1）16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
2×2×2＝8（个）
答：每盒最多放8个。
（2）称第一次，把16个分成（5，5，6），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，小惠包的在6个组；不平衡，小惠包的轻的一边。
称第二次，当小惠包的在5个组时，把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的1个；不平衡，小惠包的在轻的一边。当小惠包的在6个组时，分成（2，2，2），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的2个；不平衡，小惠包的在轻的一边。
称第三次，把2个分成（1，1），天平两边各放1个，小惠包的在轻的一边。
即至少要秤3次才能把小惠包的粽子找出来。
故答案为：8；3。
【点评】此题考查了最大公因数的应用、用天平找次品。用天平找次品时，关键是把被检测的物品合理分组，分组的方法不同，称的次数也会不同。
9．（2分）张阿姨买了6袋牛奶，其中有一袋比标准质量少2g，用天平称，至少称 2 次，才能保证在6袋牛奶中找出较轻的这袋牛奶。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】2。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：第一次：把6袋牛奶平均分为2份，每份3袋，分别放在天平秤两端，则略轻的1袋在天平较高端的1份中；
第二次：把较高端的1份再平均分为3份每份1袋，任取2份分别放在天平秤两端；若天平平衡，则略轻的1袋是剩下的1份；若天平不平衡，则天平较高端是略轻的1袋。
所以用天平称，至少称2次，才能保证在6袋牛奶中找出较轻的这袋牛奶。
故答案为：2。
【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，关键是把6袋牛奶进行合理分组。
10．（2分）工厂生产了9个网球，其中一个比较重，这样的球会影响运动员的正常发挥，如果用天平称，至少称 3 次就一定能找出次品。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】3。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：经分析得：
将9个分成3份：3，3，3；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留3个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个。
a.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘中。
b.如果天平平衡，则次品在手中。
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个。手里留1个。
a.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘中。
b.如果天平平衡，则次品在手中。
所以如果用天平称，至少称3次就一定能找出次品。
故答案为：3。
【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
二．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）24颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：24（7，7，10）；24（8，8，8）；24（9，9，6），24（10，10，4）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：24颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，能够确保称3次找出次品的分组方式为24（8，8，8）。
故选：A。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
2．（2分）有8个零件，其中有一个是次品（偏轻一些），借助天平确保2次找出，第一次称的方式是（ ）
A．天平每边放1个 B．天平每边放2个
C．天平每边放3个 D．天平每边放4个
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：将8个零件分成2个、3个、3个，共三组，
先称各3个的两组，若天平平衡，则次品在2个的那组里，
再称一次，即可找出偏轻的那个；
若天平不平衡，从向上翘的那3个中取出一个，再称另外的两个；
若平衡，则拿出的那个是次品，若不平衡，则向上翘的那个是次品；
所以，用天平称至少称2次保证能把这个次品找出来。
因此第一次天平每边放3个。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
3．（2分）有20个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（ ）次才能保证找到这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】找次品
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意，第一次，把20给乒乓球分成3份：7个、7个、6个，取7个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（7个或6个），分成3份：2个、2个、2个（或3个）取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第三次，取含有较轻的一份（2个或3个），取其中2个放在天平两侧，即可找到较轻的一个。由此解答即可。
【解答】解：第一次，把20给乒乓球分成3份：7个、7个、6个，取7个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻的一份（7个或6个），分成3份：2个、2个、2个（或3个）取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取含有较轻的一份（2个或3个），取其中2个放在天平两侧，即可找到较轻的一个。
答：至少称3次才能保证找到这个次品。
故选：B。
【点评】此题考查找次品的应用。
4．（2分）有4个外观相同的零件，其中有一个略轻。用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【考点】找次品
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】有4个外观相同的零件，其中有一个略轻。先把4个零件分成平均2份，放在一架没有砝码的天平两边，再取翘起一端的两个，分别放在天平两边，翘起的一端那一个就是要找的零件。
【解答】解：根据分析，表示称的过程与结果的选项是②④。
故选：C。
【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次零件的个数。
5．（2分）用天平找次品，其中只有1个是次品（略轻一些），如果保证3次就可以找到次品，那么待测物品最多有（ ）个。
A．10 B．27 C．28 D．81
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】找次品的公式计算规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
【解答】解：用天平找次品，其中只有1个是次品（略轻一些），如果保证3次就可以找到次品，那么待测物品最多有27个。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）20瓶钙片有1瓶较轻的是次品，用天平至少称3次可以找出次品。 √
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】√
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：先把20瓶分成7瓶、7瓶和6瓶，先把2个7瓶放在天平的两端，
如果天平平衡，那么次品在剩下的6瓶中，把这6瓶分成2瓶、2瓶、2瓶，先把2个2瓶放在天平的两端，如果天平平衡，那么次品在剩下的2瓶，把这2瓶放在天平的两端，天平上升的一端是次品，如果天平不平衡，次品在天平上升的那端，把这2瓶放在天平的两端，天平上升的一端是次品；
如果天平不平衡，那么次品在天平上升的那端，把这7瓶分成2瓶、2瓶、3瓶，先把2个2瓶放在天平的两端，如果天平平衡，那么次品在剩下的3瓶，把这3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶，先把2个1瓶放在天平的两端，如果天平平衡，那么次品是剩下的那瓶，如果不平衡，次品在天平上升的那端；如果天平不平衡，次品在天平上升的那端，把这2瓶放在天平的两端，天平上升的一端是次品。
综上，至少称3次可以找出次品。所以原题干表述正确。
故答案为：√。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
2．（2分）有9个大小、图案都完全一样的小球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找出这个小球。 ×
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】找次品的公式计算规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
【解答】解：有9个大小、图案都完全一样的小球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称2次就一定能找出这个小球。所以题干表述错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
3．（2分）共5个零件，其中有1个较轻的次品，根据如图可以推断⑤号零件一定是次品。 √
【考点】找次品
【专题】应用题；应用意识．
【答案】√
【分析】因为天平左右两边平衡，所以左右四个零件相等，据此推断即可。
【解答】解：共5个零件，其中有1个较轻的次品，又因为①+②＝③+④，所以可以推断⑤号零件一定是次品，因此原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据。
4．（2分）28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称3次才能保证找出轻的那瓶。 ×
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】要辨别的物品数目在2～3个时，保证能找出次品至少需要测的次数是1次；要辨别的物品数目在4～9个时，保证能找出次品至少需要测的次数是2次；要辨别的物品数目在10～27个时，保证能找出次品至少需要测的次数是3次；要辨别的物品数目在28～81个时，保证能找出次品至少需要测的次数是4次；要辨别的物品数目在82～243个时，保证能找出次品至少需要测的次数是5次
【解答】解：28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称4次才能保证找出轻的那瓶。所以原题干表述错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
5．（2分）从7个弹珠中找一个稍轻的次品，至少要称3次才能保证找出次品。 ×
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】×
【分析】小学数学找次品的规律：
2～3个物品称1次；
4～9个物品称2次；
10～27个物品称3次；
28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。
【解答】解：从7个弹珠中找一个稍轻的次品，至少要称3次才能保证找出次品。表述错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
四．操作题（共3小题，满分19分）
1．（6分）中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买中药8副，每副共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。用天平至少称几次，能保证找到这副中药。
（1）最好的方法是先把这8副中药分成 （3，3，2） ，然后再称。
（2）请说明这样来分的理由。
（3）请画出称量的流程图。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】（1）（3，3，2）
（2）尽可能的缩小次品所在的范围。
（3）流程图如图：
【分析】为了尽可能的缩小次品所在的范围，应该尽量把待测物品平均分成三份，也就是（3，3，2），在天平两边各放3副，若平衡，则次品在剩下的2副中，再称1次即可；若不平衡，次品在较轻的3副中，把这3副分成（1，1，1），在天平两边各放1副，若平衡，剩下的那包就是次品，若不平衡，较轻的那副就是次品。
【解答】解：（1）最好的方法是先把这8副中药分成（3，3，2），然后再称。
（2）尽可能的缩小次品所在的范围。
（3）流程图如图：
【点评】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
2．（5分）7枚1元的硬币，有1枚是假币，比其它6枚略轻一些，如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假币？
用 表示出称的过程．
【考点】找次品
【专题】优化问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】第一次：把7枚一元硬币分成3枚，3枚，1枚三份，把其中两份3枚的，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡：则次品即是未取的1枚，若天平秤不平衡，第二次：把天平秤较低端的3枚一元硬币，任取2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取硬币即为次品，若不平衡，较高端的硬币即为次品，据此即可解答．
【解答】解：第一次：把7枚一元硬币分成3枚，3枚，1枚三份，把其中两份3枚的，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡：则次品即是未取的1枚，若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤较低端的3枚一元硬币，任取2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取硬币即为次品，若不平衡，较高端的硬币即为次品．
如图：①如果平衡，则剩下的1枚是次品
②若不平衡，把剩下的3枚中任取2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取硬币即为次品，若不平衡，较高端的硬币即为次品：
答：至少称2次能保证找出这枚假币．
【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力．
3．（5分）解决问题．
王叔叔是工厂的“技术能手”，有一次他生产了24个机器零件，只有一个是次品，比别的零件略轻一些．
（1）如果让你帮忙，用天平称，你至少称几次可以保证找出次品．
（2）如果不知道次品是轻是重，至少称几次才能保证找出来？
【考点】找次品
【专题】优化问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）第一次：从24个零件中任取16个，平均分成两份每份8个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，那么不合格的零件就在未取的8个零件中．再按照第二次和第三次方法继续，直到找出为止．若不平衡，第二次：把较轻的8个零件任取6个，平均分成2份每份3个，分别放在天平秤两端．第三次：从较轻的3个零件中任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡则未取的零件即是不合格的，若不平衡，天平秤较轻的一边即为不合格零件，据此即可解答．
（2）因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，逐步求解即可．
【解答】解：（1）第一次：从24个零件中任取16个，平均分成两份每份8个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，那么不合格的零件就在未取的8个零件中．再按照第二次和第三次方法继续，直到找出为止．若不平衡，第二次：把较轻的6个零件8个零件任取6个，平均分成2份每份3个，分别放在天平秤两端．第三次：从较轻的3个零件中任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡则未取的零件即是不合格的，若不平衡，天平秤较重的一边即为不合格零件，所以称3次才可保证找出次品来．
答：至少称3次可以保证找出次品．
（2）把24个零件分成3组，每组8个；
第一次：拿出其中的2组放在天平上，如果天平平衡，则次品在剩下的一组中；
第二次：把剩下的一组替换其中的正品的一组，从而确定次品是较重还是较轻；
第三次：有次品的一组的8个零件任取6个，平均分成2份每份3个，分别放在天平秤两端．
第四次：从不规格的3个零件中任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡则未取的零件即是不合格的，若不平衡，天平秤较轻或较重的一边即为不合格零件．
答：至少称4次才能保证找出来．
【点评】用天平找次品关键是把被测物品分组，分组不同，所称的次数也会有所不同．所检测的物品有只有一个次品，且已知次品比正品轻或重，被测物品个数为2～3个时，至少称1次即可把次品找出，被测物品是4～9个时，至少称2次即可把次品找出，被物品是10～27个时，至少称3次…关键是合理分组，分组不同，称的次数也不同．
五．应用题（共7小题，满分38分）
1．（5分）一个古玩店老板不小心将一枚假金币掉入了10枚真金币中。这10枚真金币外形、质量完全相同，假金币外形与真金币一样，只是质量不一样，而且不知道它比真金币轻还是重。刚大学毕业的小红去古玩店应聘，老板给小红一个天平，让他从这11枚金币中找出假金币，请你用画图和文字写出方法，然后告诉小红。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】
把11枚金币分成3份（4枚、4枚、3枚），第一次取4枚的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币在3枚的一组，若不平衡，取较轻的4枚平均分成2份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币较重，若不平衡，取较轻的2枚，再称一次即可找到较轻的假币；
若假币在3枚的一份中，则最少2次一定可以找到这枚金币；
若假币在较重的4枚金币中，则最少2次一定可以找到这枚金币。
至少4次可保证找到这枚金币。
【分析】找次品的最优方式：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】解：如图：
把11枚金币分成3份（4枚、4枚、3枚），第一次取4枚的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币在3枚的一组，若不平衡，取较轻的4枚平均分成2份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币较重，若不平衡，取较轻的2枚，再称一次即可找到较轻的假币；
若假币在3枚的一份中，则最少2次一定可以找到这枚金币；
若假币在较重的4枚金币中，则最少2次一定可以找到这枚金币。
至此，至少4次可保证找到这枚金币。
【点评】在称量金币时，为了实现称量次数尽可能少，往往是将铜币均匀的分成三堆来称量，如果仍需称量，依旧将一堆分成三小堆。
2．（5分）有10个玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称几次才能保证找到它，请写出称的过程。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】3次。
第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端。
第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡，进行第三次称重。
第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的。
所以至少称3次才能保证找到它。
【分析】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端；第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的，据此即可解答。
【解答】解：用天平称，至少称3次才能保证找到它。
第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端。
第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡，进行第三次称重。
第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的。
所以至少称3次才能保证找到它。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
3．（4分）中药学是中国的瑰宝!奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】2次。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端；
（1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作；
（2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端；
若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副；
若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。
答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
4．（4分）王老师买了9盒巧克力为学生补充体能，其中有一盒被儿子偷吃了一些，如果给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一盒？请用图示表示称的过程。
【考点】找次品
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】2次。
【分析】第一次：把9盒巧克力平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即在未取的3盒中，若天平秤不平衡（再按照下面的方法操作）；第二次：把天平秤翘起的一端的3盒巧克力，任取2盒，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即是未取的那盒，若天平秤不平衡，天平秤翘起一端的那盒即为质量不足那盒，据此即可解答。
【解答】解：如图：
答：至少2次能保证找出被偷吃的那一盒。
【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取巧克力的盒数。
5．（4分）有32盒外包装一样的茶叶，其中31盒质量相同，另有一盒稍轻一些。用天平称，至少称几次能保证找出这盒茶叶？（请写出简要过程）
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】4次。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：第一次，把32盒茶叶分成3份：11，11，10，取11盒茶叶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那盒茶叶在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取较轻的一份11或12盒平均分成3份，4，4，3（4），取4盒茶叶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那盒茶叶在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取较轻的一份4盒或3盒，平均分成2份2，2，或1，1，1，分别放在天平两侧，天平不平衡，较，轻一端是略轻的那盒茶叶；
第四次，取较轻的一份两盒，分成1，1，分别放在天平两侧，较轻一端是略轻的那盒茶叶。
所以至少称4次能保证找出这盒茶叶。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
6．（5分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
【考点】找次品
【答案】3次。
【分析】根据“n次可以找出3的n次幂个零件中一个较轻次品”做题。
【解答】解：2次可以找出32＝9（个）待测物品的一个较重次品；
3次可以找出33＝27（个）待测物品的一个较重次品；
因此3次可以找出10～27个待测物品中的一个较重次品；
15个网球中，有1个较重，至少称3才可以保证找出这个网球。
答：用天平称，至少称3次能保证将这个较重的网球找出来。
【点评】运用找次品问题总结的规律是解答本题的捷径。
7．（5分）1箱糖果有7袋，我们将这7袋糖果分别用序号①～⑦表示，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足，如果用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？请你表示出用天平找次品的过程。
【考点】找次品
【专题】推理能力．
【答案】2次。
【分析】根据图示，把7袋糖果分成三份（3袋、3袋、1袋），取3袋的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的1袋为较轻的，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次取较轻的一份（3袋）中的2袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋为次品，若天平不平衡，可找到较轻的。据此做题。
【解答】解：如图：
答：至少称2次能保证找出这袋糖果。
【点评】本题主要考查找次品，关键注意每次糖果的袋数。
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2023-2024学年人教版五年级下册数学单元综合测评（8 数学广角—找次品）
一．填空题（共10小题，满分23分）
1．（2分）有27个形状、大小完全相同的零件，其中有1个较轻的不合格零件，用天平至少称 次保证能找到不合格零件。如果再拿来1个合格零件放入这些零件中并打乱，那么至少称 次保证能找到不合格零件。
2．（3分）用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成 份，能平均分的要 ，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差 ，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
3．（2分）有11把锁，其中10把质量相同，另有一把是次品，次品略轻一些。用天平称，至少称 次可以保证把次品找出来。
4．（2分）中医文明是中华文明长河中的重要组成部分，享誉世界。李叔叔开了5副中药，其中一副少了一味药。配药师用天平至少要称 次可以保证找到这副药。
5．（4分）有5袋重量是500克的食盐，其中4袋质量相同，只有一袋是比其他的轻。可以用 的方法把它找出来，将天平两边的托盘里各放 袋食盐，如果天平平衡了，剩下的那袋就是 ；如果天平不平衡，再将天平高的那两袋再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那袋较轻的食盐，至少要称 次。
6．（2分）有15盒饼干，其中1盒是次品（少几块），如果用天平称，至少称 次可以找出这盒次品；有9盒饼干，其中1盒是次品（不确定轻一些或重一些），如果用天平称，至少称 次可以找出这盒次品。
7．（2分）要统计一个病人一昼夜的体温变化情况，应选用 统计图；在17个乒乓球中有一个次品（次品重一些），用天平称，至少 次一定能找出次品。
8．（2分）端午节，又称“重五节”“龙舟节”等，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠家一共包了16个蛋黄粽和24个蜜枣粽。
（1）妈妈把这些粽子分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放 个。
（2）在16个蛋黄粽子中，有一个是小惠学着包的，质量轻一些，妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平秤，至少要称 次才能把小惠包的粽子找出来。
9．（2分）张阿姨买了6袋牛奶，其中有一袋比标准质量少2g，用天平称，至少称 次，才能保证在6袋牛奶中找出较轻的这袋牛奶。
10．（2分）工厂生产了9个网球，其中一个比较重，这样的球会影响运动员的正常发挥，如果用天平称，至少称 次就一定能找出次品。
二．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）24颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：24（7，7，10）；24（8，8，8）；24（9，9，6），24（10，10，4）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．（2分）有8个零件，其中有一个是次品（偏轻一些），借助天平确保2次找出，第一次称的方式是（ ）
A．天平每边放1个 B．天平每边放2个
C．天平每边放3个 D．天平每边放4个
3．（2分）有20个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（ ）次才能保证找到这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2分）有4个外观相同的零件，其中有一个略轻。用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
5．（2分）用天平找次品，其中只有1个是次品（略轻一些），如果保证3次就可以找到次品，那么待测物品最多有（ ）个。
A．10 B．27 C．28 D．81
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）20瓶钙片有1瓶较轻的是次品，用天平至少称3次可以找出次品。 （判断对错）
2．（2分）有9个大小、图案都完全一样的小球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找出这个小球。 （判断对错）
3．（2分）共5个零件，其中有1个较轻的次品，根据如图可以推断⑤号零件一定是次品。 （判断对错）
4．（2分）28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称3次才能保证找出轻的那瓶。 （判断对错）
5．（2分）从7个弹珠中找一个稍轻的次品，至少要称3次才能保证找出次品。 （判断对错）
四．操作题（共3小题，满分19分）
1．（8分）中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买中药8副，每副共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。用天平至少称几次，能保证找到这副中药。
（1）最好的方法是先把这8副中药分成 ，然后再称。
（2）请说明这样来分的理由。
（3）请画出称量的流程图。
2．（5分）7枚1元的硬币，有1枚是假币，比其它6枚略轻一些，如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假币？
用 表示出称的过程．
3．（6分）解决问题．
王叔叔是工厂的“技术能手”，有一次他生产了24个机器零件，只有一个是次品，比别的零件略轻一些．
（1）如果让你帮忙，用天平称，你至少称几次可以保证找出次品．
（2）如果不知道次品是轻是重，至少称几次才能保证找出来？
五．应用题（共7小题，满分38分）
1．（6分）一个古玩店老板不小心将一枚假金币掉入了10枚真金币中。这10枚真金币外形、质量完全相同，假金币外形与真金币一样，只是质量不一样，而且不知道它比真金币轻还是重。刚大学毕业的小红去古玩店应聘，老板给小红一个天平，让他从这11枚金币中找出假金币，请你用画图和文字写出方法，然后告诉小红。
2．（5分）有10个玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称几次才能保证找到它，请写出称的过程。
3．（5分）中药学是中国的瑰宝!奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？
4．（5分）王老师买了9盒巧克力为学生补充体能，其中有一盒被儿子偷吃了一些，如果给你一架天平，至少称几次能保证找出被偷吃的那一盒？请用图示表示称的过程。
5．（5分）有32盒外包装一样的茶叶，其中31盒质量相同，另有一盒稍轻一些。用天平称，至少称几次能保证找出这盒茶叶？（请写出简要过程）
6．（6分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
7．（6分）1箱糖果有7袋，我们将这7袋糖果分别用序号①～⑦表示，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足，如果用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？请你表示出用天平找次品的过程。
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