2024年中考数学三轮复习之尺规作图（含解析）

2024年中考数学三轮复习之尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
2．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．已知锐角∠AOB＝30°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．要得知作业纸上两相交直线AB、CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）
方案Ⅰ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②利用尺规作∠HEN＝∠CFG；
③测量∠AEM的大小即可．
方案Ⅱ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②测量∠AEH和∠CFG的大小；
③计算180°﹣∠AEH﹣∠CFG即可．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，当DE最小时，△BDE的面积是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
8．利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（　　）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝10，BE＝8，∠B＝45°，则AB的长为 　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 　 　．
13．如图∠MON＝90°，在射线OM上取OA＝1，在射线OB上取OB＝2OA，连接AB，以点A为圆心，OA为半径画弧，交AB于点C，以B为圆心，BC为半径画弧，交OB于点D，则　 　．
14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为 　 　．
15．如图，矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝　 　°．
三．解答题（共5小题）
16．我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，小明在探究这个结论时，他的思
路是：如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，过点D作AC的垂线，然后证明该垂线是AC的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝　 　
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝　 　
∴　 　，
又∵AD＝DB，
∴　 　
∴DC＝ADAB．
17．如图，在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D，
（1）尺规作图：作△ACD的外接圆⊙O（保留痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：BC是⊙O的切线．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．
19．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB＝10cm．
（1）作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，求△BCE的周长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，连接CH．
（1）尺规作图：请作出∠ADC的角平分线，分别交CH、CB于点G、E，交AB的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点G恰好是线段CH的中点，求证：BF＝AH．
2024年中考数学三轮复习之尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】B
【分析】作图过程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．
【解答】解：由作图得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠O′＝∠O．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
2．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：由作图知AD＝AC＝5，直线MN垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∵△ADE的周长为13，
∴AD+DE+AE＝AE+BE+AD＝AB+AD＝13，
∴AB＝13﹣5＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键．
3．已知锐角∠AOB＝30°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，DO＝DE，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD＝75°，∠DEO＝∠DOE＝30°，然后利用三角形外角性质可计算出∠CDE的度数．
【解答】解：由作法得OC＝OD，DO＝DE，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠AOB）（180°﹣30°）＝75°，
∵DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝30°，
∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，
∴∠CDE＝∠OCD﹣∠DEC＝75°﹣30°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—尺规作图的定义．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】B
【分析】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．
【解答】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
5．要得知作业纸上两相交直线AB、CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）
方案Ⅰ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②利用尺规作∠HEN＝∠CFG；
③测量∠AEM的大小即可．
方案Ⅱ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②测量∠AEH和∠CFG的大小；
③计算180°﹣∠AEH﹣∠CFG即可．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案．
【解答】解：方案Ⅰ：∵∠HEN＝∠CFG，∴MN∥CD，∴直线AB、CD所夹锐角的大小等于直线AB、MN所夹锐角的大小，∴测量∠AEM的大小即可得到直线AB、CD所夹锐角的大小，
∴方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：直线AB、CD所夹锐角与∠AEH和∠CFG可组成三角形，
即直线AB、CD所夹锐角＝180°﹣∠AEH﹣∠CFG，
∴方案Ⅱ可行，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据作图过程可得EF是AC的垂直平分线，所以CD＝AD，进而可得△ABD的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝CD+BD+AB＝BC+AB＝5+3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，当DE最小时，△BDE的面积是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据“垂线段最短”可得DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据全等三角形的性质得到AE＝AC，求得BE，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵点E为线段AB上的一个动点，DE最短，
∴DE⊥AB，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝2，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝1，
∴△BDE的面积BE DE1×2＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—基本作图；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义对各选项进行判断．
【解答】解：作△ABC的高，下列作法正确的是．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
9．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（　　）
A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】B
【分析】根据题意可求出△CDF是等腰三角形，即DC＝DF＝AB＝4，△AEF是等腰三角形，即AE＝AF＝1，由此即可求解．
【解答】解：根据题意得，CE是∠BCD的角平分线，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵平行四边形ABCD，AB＝4，BC＝5，如图所示，设AD与CE交于点F，
∴AD∥BC，
∴∠BCF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴△CDF是等腰三角形，即DC＝DF＝AB＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，
同理，∠E＝∠DCF，且∠AFE＝∠DFC，
∴∠E＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，即AE＝AF＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形，等腰三角形的综合，掌握矩形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝10，BE＝8，∠B＝45°，则AB的长为 　14　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】14．
【分析】连接EC，由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，即得BE＝CE＝8，有∠ECB＝∠B＝45°，从而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝6，故AB＝AE+BE＝14．
【解答】解：连接EC，如图：
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝8，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE6，
∴AB＝AE+BE＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查作图—基本作图，掌握尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，观察尺规作图的痕迹，若BE＝2，则BC的长是 　2　．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】．
【分析】由已知条件可得AE＝AB﹣BE＝3，由作图知CE⊥AB于点E，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，BE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝3，
由作图知CE⊥AB于点E，
∴，
∴BC2．
故答案为：．
【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图及等腰三角形的性质、勾股定理．
13．如图∠MON＝90°，在射线OM上取OA＝1，在射线OB上取OB＝2OA，连接AB，以点A为圆心，OA为半径画弧，交AB于点C，以B为圆心，BC为半径画弧，交OB于点D，则　　．
【考点】作图—基本作图；勾股定理．
【专题】尺规作图；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】由题意得，OB＝2，AC＝OA＝1，由勾股定理得AB，则BC＝BD1，OD＝OB﹣BD＝3，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，OB＝2，AB，AC＝OA＝1，
∴BC＝BD1，
∴OD＝OB﹣BD＝2﹣（）＝3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为 　110°　．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】110°．
【分析】由作图可知，DE是线段AC的垂直平分线，BF是∠ABC的角平分线，求出∠FBC，∠BCF，再利用三角内角和定理即可求解．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACD＝30°∵BF是∠ABC的角平分线，∠ABC＝100°，
∴，
∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A，
∴∠ACB＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵∠BCF＝∠ACB﹣∠DCA＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣50°﹣20°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．
15．如图，矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝　56　°．
【考点】作图—基本作图；矩形的性质．
【答案】56．
【分析】如图，先根据矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC＝68°，再利用基本作图得到∠2∠DAC＝34°，∠3＝90°，
接着利用互余计算出∠1＝56°，然后根据对顶角的性质求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°，
由作图痕迹得∠2∠DAC＝34°，
由作图痕迹得AC的垂直平分线交AC于O点，
∵∠3＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝56°，
∠α＝56°．
故答案为：56．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
三．解答题（共5小题）
16．我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，小明在探究这个结论时，他的思
路是：如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，过点D作AC的垂线，然后证明该垂线是AC的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝　90°　
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝　∠ACB　
∴　DE∥BC　，
又∵AD＝DB，
∴　AE＝CE　
∴DC＝ADAB．
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】作图见解答，90°，∠ACB，DE∥BC，AE＝EC．
【分析】先根据题中步骤作图，再根据三角形的中位线的性质和判定证明．
【解答】解：如图：
证明：过点D作AC的垂线，垂足为E，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC，
又∵AD＝DB，
∴AE＝EC，
∴DC＝ADAB，
故答案为：90°，∠ACB，DE∥BC，AE＝EC．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形的中位线的判定和性质是解题的关键．
17．如图，在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D，
（1）尺规作图：作△ACD的外接圆⊙O（保留痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：BC是⊙O的切线．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定．
【专题】作图题；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）作AD的垂直平分线MN交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为所作的；
（2）连接OC，由CD⊥AC，知∠ACD＝90°，AD是⊙O的直径；OC是⊙O的半径；根据∠A＝∠B＝30°，OA＝OC，可得∠BCO＝∠ACB﹣∠ACO＝90°，BC⊥OC，故BC是⊙O的切线．
【解答】（1）解：作AD的垂直平分线MN交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，如图：
⊙O即为所作的；
（2）证明：连接OC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径；
∴OC是⊙O的半径；
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠BCO＝∠ACB﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴BC⊥OC，
∵OC是半径，
∴BC是⊙O的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆的相关性质及线段垂直平分线的尺规作图方法．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；菱形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用基本作图，过C点AB的垂线即可；
（2）先根据菱形的性质得到OA＝OC＝2，OB＝OD＝1，AC⊥BD，AB＝BC，则利用勾股定理可计算出AB，则BC，再利用面积法计算出CE，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OCAC＝2，OB＝ODBD＝1，AC⊥BD，AB＝BC，
在Rt△OAB中，AB，
∵AB CEAC BD，
∴CE，
∵BC＝AB，
∴cos∠BCE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
19．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB＝10cm．
（1）作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，求△BCE的周长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析；
（2）18cm．
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换得到△BCE的周长＝AB+BC．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝BE+EA+BC＝AB+BC＝10+8＝18（cm）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，连接CH．
（1）尺规作图：请作出∠ADC的角平分线，分别交CH、CB于点G、E，交AB的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点G恰好是线段CH的中点，求证：BF＝AH．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤进行作图即可．
（2）结合平行四边形的性质，证明△CDG≌△HFG，可得FH＝CD＝AB，进而可得BF＝AH．
【解答】（1）解：如图．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDF，
∵G为CH的中点，
∴CG＝HG，
∵∠CGD＝∠HGF，
∴△CDG≌△HFG（AAS），
∴FH＝CD，
∴FH＝AB，
∴FH﹣BH＝AB﹣BH，
即BF＝AH．
【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是学会利用数形结合思想进行解决问题．
考点卡片
1．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
10．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
13．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
14．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
16．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
17．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
18．作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
19．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
20．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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