2024年中考数学三轮复习之二元一次方程组（含解析）

2024年中考数学三轮复习之二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？若设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（　　）
x m m+2
y n n﹣3
t 5 p
A．17 B．18 C．19 D．20
6．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．某社区活动中心要添置三样体育用品：大绳、小绳、毽子，王师傅准备用30元钱去买，根据要求，每样体育用品最少买一件，大绳最多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
8．由方程组可得x与y的关系是（　　）
A．2x+y＝4 B．2x+y＝﹣4 C．2x﹣y＝4 D．2x﹣y＝﹣4
9．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为x，宽为y，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”
设人数有x人，鸡的价钱是y钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如果实数x，y满足方程组，则x+y＝　 　．
12．《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为 　 　．
13．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 　 　里/小时．
14．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生23人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
（1）要想使花费最少，需要 　 　间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 　 　间三人间．
15．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则x﹣y＝　 　．
x ﹣2y
﹣2 y 6
0
三．解答题（共5小题）
16．解方程组：．
17．某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
18．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
19．在以“爱护环境，绿化祖国”为主题的系列活动中，为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部门联系，每棵樱花树树苗的价格比每棵桂花树树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树树苗和7棵桂花树树苗共需1000元，则樱花树树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？
20．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
①解方程组： 解：①×3，得3x﹣6y＝3．③…第一步 ②﹣③，得﹣5y＝﹣5．…第二步 y＝1．…第三步 y＝1代入①，得x＝3．…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 　 　；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 　 　（填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 　 　步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：　 　．
2024年中考数学三轮复习之二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
2．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
3．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？若设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．
4．现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】由题意可知：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮＝190张；盒底的数量＝盒身数量的2倍．据此可列方程组求解即可．
【解答】解：设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得
．
故选：B．
【点评】此题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是正确列出方程组的关键．
5．已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（　　）
x m m+2
y n n﹣3
t 5 p
A．17 B．18 C．19 D．20
【考点】二元一次方程的解．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】B
【分析】将表格中的数据代入方程列出关系式，计算即可求出p的值．
【解答】解：根据题意得2m﹣3n＝5，2（m+2）﹣3（n﹣3）＝p，
∴2（m+2）﹣3（n﹣3）＝2m﹣3n+13＝5+13＝18，
∴p＝18．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是关键．
6．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，正确得出等量关系是解题关键．
7．某社区活动中心要添置三样体育用品：大绳、小绳、毽子，王师傅准备用30元钱去买，根据要求，每样体育用品最少买一件，大绳最多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】分买一条大绳及买两条大绳两种情况考虑，当买一条大绳时，设购买x条小绳，y个毽子，利用总价＝单价×数量，可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出当买一条大绳时，共有6种买法；当买两条大绳时，设购买m条小绳，n个毽子，利用总价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出当买两条大绳时，共有3种买法，进而可得出在把钱用完的条件下，买法共有9种．
【解答】解：当买一条大绳时，设购买x条小绳，y个毽子，
根据题意得：10×1+3x+y＝20，
∴y＝20﹣3x，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或或，
∴当买一条大绳时，共有6种买法；
当买两条大绳时，设购买m条小绳，n个毽子，
根据题意得：10×2+3m+n＝20，
∴n＝10﹣3m，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴当买两条大绳时，共有3种买法．
∴在把钱用完的条件下，买法共有6+3＝9（种）．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．由方程组可得x与y的关系是（　　）
A．2x+y＝4 B．2x+y＝﹣4 C．2x﹣y＝4 D．2x﹣y＝﹣4
【考点】解二元一次方程组；解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】方程组消元m即可得到x与y的关系式．
【解答】解：，
把②代入①得：2x+y﹣3＝1，
整理得：2x+y＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为x，宽为y，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大矩形的长为15，
∴x+2y＝15；
观察图形，可知：x＝3y，
∴根据题意可列方程组，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”
设人数有x人，鸡的价钱是y钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】A
【分析】设人数有x人，鸡的价钱是y钱，根据每人出8钱，多余3钱得出等量关系一：鸡的价钱＝8×买鸡人数﹣3；根据每人出7钱，还缺4钱得出等量关系二：鸡的价钱＝7×买鸡人数+4，依此两个等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设人数有x人，鸡的价钱是y钱，
由题意得 ．
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据鸡价得到等量关系是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如果实数x，y满足方程组，则x+y＝　0　．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用加减消元法解出x、y的数值，再进行计算即可．
【解答】解：，
①+②得，3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入②得，1﹣y＝2，
解得y＝﹣1，
∴x+y＝1+（﹣1）＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题关键在于能够利用加减消元法解出正确的x、y数值．
12．《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：由题意可得，，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
13．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 　60　里/小时．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：180÷2＝90（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：180÷6＝30（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：，
解得：，
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点评】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
14．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生23人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
（1）要想使花费最少，需要 　1　间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 　8　间三人间．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）1；
（2）8．
【分析】（1）利用每个房间的人均费用＝该房间的收费÷房间可住人数，可分别求出两人间及三人间的人均费用，比较后可得出三人间的人均费用低，进而可得出租住的两人间越少，花费越少，再结合男、女生人数，即可找出当租住1间两人间时总花费最少；
（2）同（1），可找出租住的两人间越多，花费越少，设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，根据男、女生的人数及男女不能混住且所有租住房间必须住满，可得出关于a，b（m，n）的二元一次方程，结合a，b，m，n均为非负整数，可得出a，b，m，n的值，再结合a+m≤15，即可得出a+m的最大值，以及此时b+n的值，此题得解．
【解答】解：（1）∵200÷2＝100（元/人），250÷3（元/人），100，
∴三人间的人均费用低，
∴租住的两人间越少，花费越少．
∵27÷3＝9（间），23÷3＝7（间）……2（人），2÷2＝1（间），
∴要想使花费最少，需要租住1间两人间．
故答案为：1；
（2）∵200×0.8÷2＝（80元/人），80，
∴两人间的人均费用低，
∴租住的两人间越多，花费越少．
设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，
根据题意得：2a+3b＝27，2m+3n＝23，
∴b＝9a，n．
又∵a，b，m，n均为非负整数，
∴或或或或；或或或．
又∵a+m≤15，
∴a+m的最大值为13，此时b+n的值为8，
∴要想花费最少，需要租住8间三人间．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出租住的两人间越少，花费越少；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
15．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则x﹣y＝　6　．
x ﹣2y
﹣2 y 6
0
【考点】二元一次方程的应用；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】6．
【分析】根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，y的二元一次方程，变形后，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：x﹣2+0＝﹣2+y+6，
∴x﹣y＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①×3+②×2，得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得y＝4，
∴方程组的解为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，根据“购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅（100﹣m）把，根据购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设实际所花费用为w元，利用实际花费＝单价×总价×折扣率，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，
依题意得：，
解得：．
答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．
（2）设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅（100﹣m）把，
依题意得：m≥3（100﹣m），
解得：m≥75．
设实际所花费用为w元，则w＝[100m+80（100﹣m）]×0.9＝18m+7200．
∵k＝18＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝18×75+7200＝8550，此时100﹣m＝25．
答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
18．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元），
方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷10×5）＝1580（元），
1584﹣1580＝4（元），1584＞1580，
答：学校选用方案二更节约钱，节约4元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组的知识解答．
19．在以“爱护环境，绿化祖国”为主题的系列活动中，为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部门联系，每棵樱花树树苗的价格比每棵桂花树树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树树苗和7棵桂花树树苗共需1000元，则樱花树树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】每棵樱花树苗的价格为150元，每棵桂花树苗的价格100元．
【分析】设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格y元，由题意列出二元一次方程组可得出答案．
【解答】解：设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格y元，
由题意可得：，
解得，
答：每棵樱花树苗的价格为150元，每棵桂花树苗的价格100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的等量关系是本题的关键．
20．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
①解方程组： 解：①×3，得3x﹣6y＝3．③…第一步 ②﹣③，得﹣5y＝﹣5．…第二步 y＝1．…第三步 y＝1代入①，得x＝3．…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 　等式的性质2　；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 　C　（填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 　二　步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：　　．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】①等式的性质2；
②C；
③二，．
【分析】①根据等式的性质进行计算即可；
②将“二元”转化为“一元”，进而得到解决；
③利用二元一次方程组的解法求解即可．
【解答】解：①把x﹣2y＝1的两边都乘以3得3x﹣6y＝3，根据是等式的性质2，
故答案为：等式的性质2；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故答案为：C；
③小彬同学的解题过程从第二步开始出现错误，正确的解答如下：
解：①×3，得3x﹣6y＝3③，
②﹣③，得7y＝﹣5，
y，
y代入①，得x，
所以，原方程组的解为，
故答案为：二，．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
3．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
4．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
5．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
6．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
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