2024年中考数学三轮复习之反比例函数（含解析）

2024年中考数学三轮复习之反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．当x＜0时，函数的图象在（　　）
A．第二、四象限 B．第二象限
C．第一、三象限 D．第三象限
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0）、B（0，﹣8），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．若反比例函数（k为常数）的图象经过点C，则k的值为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．导体中的电流I（A）、导体的电阻R（Ω）与导体两端的电压U（V）之间满足关系式U＝IR．当U＝220V时，下列说法错误的是（　　）
A．I是R的反比例函数
B．I与R的函数图象是双曲线的一支
C．当R越来越大时，I也越来越大
D．当R为40Ω时，I为5.5A
5．一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（1100，0.2）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．I与R的函数关系式是I（R＞0）
B．当R＝100时，I＝5
C．当R＞1100时，I＞0.2
D．当电阻R（Ω）越大时，该台灯的电流I（A）也越大
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象和反比例函数y的图象在同一平面直角坐标系中大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
8．已知反比例函数y的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥2 C．a＜2 D．a＞2
9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）
A．I与R的函数关系式是
B．当I＝0.5时，R＝440
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
二．填空题（共5小题）
11．反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），则k的值为　 　．
12．如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S△AOB＝3，则k的值为　 　．
13．如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为3，则k的值为 　 　．
14．物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1　 　P2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
S/m2 1 2 3
P/Pa P1 300 P2
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），且与函数的图象交于点Q（m，n）．若一次函数y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．已知反比例函数．
（1）若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，3）在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
17．如图，已知直线y＝﹣x+4与反比例函数y的图象相交于点A（﹣2，a），并且与x轴相交于点B．
（1）求a的值；求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式﹣x+40的解集（直接写出答案）．
18．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）点P为x轴上一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小；
（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（2，1），B（﹣1，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围 　 　；
（4）将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，使直线AB、平移后的直线和双曲线围成的封闭区域（不包含边界）包含5个整点（横、纵坐标都为整数的点称为整点），求m的取值范围 　 　．
2024年中考数学三轮复习之反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点P作PE⊥y轴于点E，依题意得：PD＝3，AD＝1，AC＝2，BC＝1，进而可求出AB，证△DAO和△ABC相似，得OD：AC＝OA：BC＝AD：AB，从而得OD，OA，同理可证△DAO和△PDE相似，得OD：PE＝OA：DE＝AD：PD，从而得PE，DE，进而得OE，由此得点P，将点P的坐标代入之中可得k的值．
【解答】解：过点P作PE⊥y轴于点E，如图所示：
依题意得：PD＝3，AD＝1，AC＝2，BC＝1，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝1，
由勾股定理得：AB，
∵∠DAC＝∠AOD＝90°，
∴∠OAD+∠ADO＝90°，∠OAD+∠BAC＝90°，
∴∠ADO＝∠BAC，
又∵∠AOD＝∠ACB＝90°，
∴△DAO∽△ABC，
∴OD：AC＝OA：BC＝AD：AB，
即OD：2＝OA：1＝1：，
∴OD，OA，
同理可证：△DAO∽△PDE，
∴OD：PE＝OA：DE＝AD：PD，
即，
∴PE，DE，
∴OE＝OD+DE，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
2．当x＜0时，函数的图象在（　　）
A．第二、四象限 B．第二象限
C．第一、三象限 D．第三象限
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】利用反比例函数的性质，k＞0时，函数图象位于一三象限，再根据x＜0即可解答．
【解答】解：∵函数中，k＝4＞0，
∴，函数图象位于一、三象限，
∴当x＜0时，函数的图象在第三象限．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，熟知①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限；②当k＞0时．在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0）、B（0，﹣8），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．若反比例函数（k为常数）的图象经过点C，则k的值为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，先求出A（﹣6，0）、B（0，﹣8），然后根据一线三垂直模型证明△DCA≌△OAB得到AD＝OB＝8，CD＝OA＝6，进而求出OD＝2，则C（2，6），然后把点C（2，6）代入反比例函数解析式中求出k的值即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠CDA＝∠AOB＝90°，
∵A（﹣6，0）、B（0，﹣8），
∴OA＝6，OB＝8，
由旋转的性质可得∠BAC＝90°，CA＝AB，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠OAB，
∴∠DCA＝∠OAB，
∴△DCA≌△OAB（AAS），
∴AD＝OB＝8，CD＝OA＝6，
∴OD＝AD﹣OA＝2，
∴C（2，6），
∵反比例函数（k为常数）的图象经过点C，
∴k＝2×6＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．导体中的电流I（A）、导体的电阻R（Ω）与导体两端的电压U（V）之间满足关系式U＝IR．当U＝220V时，下列说法错误的是（　　）
A．I是R的反比例函数
B．I与R的函数图象是双曲线的一支
C．当R越来越大时，I也越来越大
D．当R为40Ω时，I为5.5A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意求得R，根据反比例函数 到现在即可得到结论．
【解答】解：∵在等式U＝IR中的U＝220V为定值，
∴R，
∴I是R的反比例函数，I与R的函数图象是双曲线的一支；当R越来越大时，I也越来越小，当R为40Ω时，I为5.5A，
故A，B，D选项正确，C选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用．正确地求出反比例函数 的解析式是解题的关键．
5．一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（1100，0.2）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．I与R的函数关系式是I（R＞0）
B．当R＝100时，I＝5
C．当R＞1100时，I＞0.2
D．当电阻R（Ω）越大时，该台灯的电流I（A）也越大
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：A．设反比例函数解析式为：I，把（1100，0.2）代入得：
U＝1100×0.2＝220，则I，故此选项符合题意；
B．当R＝100时，I2.2，故此选项不合题意；
C．当R＞1100时，I＜0.2，故此选项不合题意；
D．当电阻R（Ω）越大时，该台灯的电流I（A）也越小，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象和反比例函数y的图象在同一平面直角坐标系中大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b＜0，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y＝ax﹣b的图象经过第一二四象限，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴反比例函数y的图象在第一三象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
7．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意画出图象即可得到结果．
【解答】解：根据题意画出函数图象得，
可知，y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合画出函数图象是解题的关键．
8．已知反比例函数y的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥2 C．a＜2 D．a＞2
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，3a﹣6＜0，解不等式即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限，
∴3a﹣6＜0，
则a＜2．
故选：C．
【点评】此题主要考查反比例函数y图象的性质：熟知（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限是解决问题的关键．
9．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）
A．I与R的函数关系式是
B．当I＝0.5时，R＝440
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【解答】解：设I与R的函数关系式是I（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I（R＞0），故选项A正确不符合题意；
当I＝0.5时，R＝444，故选项B正确，不符合题意；
∵反比例函数I（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＞1000时，I＜0.22，故选项C错误，符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】连接OC，如图，根据三角形面积公式，由AB＝3BC得到S△AOB＝3S△BOC，可计算出S△BOC＝4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，
∴S△AOB＝3S△BOC，
∴S△BOC12＝4，
∴|k|＝4，
而k＞0，
∴k＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
二．填空题（共5小题）
11．反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），则k的值为　﹣7　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣7．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k+1＝﹣2×3，然后解方程即可．
【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），
∴k+1＝﹣2×3，
∴k＝﹣7．
故答案为﹣7．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12．如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S△AOB＝3，则k的值为　6　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|．
【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB|k|＝3；
又由于函数图象位于一、三象限，则k＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为3，则k的值为 　7　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；模型思想；应用意识．
【答案】7．
【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝3，进而得出|k|3，求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵直线l与x轴平行，
∴S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝3，
∵S△AOM，S△BOM|k|，
∴|k|3，又k＞0，
∴k＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
14．物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1　＞　P2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
S/m2 1 2 3
P/Pa P1 300 P2
【考点】反比例函数的应用．
【专题】图表型；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例函数的性质即可求解．
【解答】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设，
依题意F＝2×300＝600，
∴反比例函数解析式为：，600＞0，
∴P随S的增大而减小，
∵1＜3，
∴P1＞P2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），且与函数的图象交于点Q（m，n）．若一次函数y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m＜2　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】m＜2．
【分析】过点P分别作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于A点和B点，先确定A点与B点坐标，由于一次函数y的值随x值的增大而增大，则一次函数图象必过第一、三象限，所以Q点只能在A点与B点之间，于是可确定m的取值范围是m＜2．
【解答】解：过点P分别作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于A点和B点，如图，
把y＝3代入y得x；把x＝2代入y得y＝1，
所以A点坐标为（，3），B点坐标为（2，1），
因为一次函数y的值随x值的增大而增大，
所以Q点只能在A点与B点之间，
所以m的取值范围是m＜2．
故答案为m＜2．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一次函数的性质．
三．解答题（共5小题）
16．已知反比例函数．
（1）若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，3）在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）m＜3；
（2）y．
【分析】（1）根据反比例函数的性质可得3﹣m＞0，再解不等式即可；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可得2×3＝3﹣m，即可得到3﹣m＝6，然后即可得到反比例函数解析式．
【解答】解：（1）∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，
∴3﹣m＞0，
解得m＜3；
（2）∵点A（2，3）在此反比例函数图象上，
∴2×3＝3﹣m，
∴3﹣m＝6，
故反比例函数解析式为y．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
17．如图，已知直线y＝﹣x+4与反比例函数y的图象相交于点A（﹣2，a），并且与x轴相交于点B．
（1）求a的值；求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式﹣x+40的解集（直接写出答案）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）a＝6；y；
（2）12；
（3）﹣2＜x＜0或x＞6．
【分析】（1）直接利用待定系数法把A（﹣2，a）代入函数关系式y＝﹣x+4中即可求出a的值，得到A点坐标后，把A点坐标代入反比例函数关系式y即可得到答案；
（2）根据题意画出图象，过A点作AD⊥x轴于D，根据A的坐标求出AD的长，再根据B点坐标求出OB的长，根据三角形面积公式即可算出△AOB的面积；
（3）观察图象，一次函数在反比例函数图象下方的部分对应的x的取值即为所求．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a）在y＝﹣x+4的图象上，
∴a＝2+4＝6；
将A（﹣2，6）代入y，得k＝﹣12，
所以反比例函数的解析式为y；
（2）如图：过A点作AD⊥x轴于D，
∵A（﹣2，6），
∴AD＝6，
在直线y＝﹣x+4中，令y＝0，得x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴△AOB的面积SOB×AD4×6＝12．
（3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为C，
解得或，
所以C点坐标（6，﹣2），
由图象知，不等式﹣x+40的解集为：﹣2＜x＜0或x＞6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数关系式以及求三角形的面积，关键是求出A点坐标，利用数形结合的思想解决问题．
18．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）点P为x轴上一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小；
（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y；y＝﹣x+5；
（2）P（，0）；
（3）x＜0或1＜x＜4．
【分析】（1）把A（1，4）代入y2即可求出m＝4，把B（4，n）代入y得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b求得一次函数的解析式为；
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标；
（3）由函数的图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y2得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为：y；
把B（4，n）代入y得：n＝1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得，
∴，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，
则AB′的长度就是PA+PB的最小值，
由作图知，B′（4，﹣1），
∴直线AB′的解析式为：yx，
当y＝0时，x，
∴P（，0）；
（3）观察图象，关于x的不等式kx+b的解集是x＜0或1＜x＜4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣3x+3．
（2）﹣1≤x＜0或x≥2．
（3）P（6，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3），
∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6，
解得m＝6，n＝2，
∴A（﹣1，6），B（2，﹣3），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3．
（2）观察图象，不等式kx+b的解集为：﹣1≤x＜0或x≥2．
（3）连接OA，OB，由题意C（0，3），
S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×13×2，
设P（m，0），
由题意 |m| 32，
解得m＝±6，
∴P（6，0）或（﹣6，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（2，1），B（﹣1，n）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围 　﹣1＜x＜0或x＞2　；
（4）将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，使直线AB、平移后的直线和双曲线围成的封闭区域（不包含边界）包含5个整点（横、纵坐标都为整数的点称为整点），求m的取值范围 　m＞3　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）反比例函数的关系式为y，一次函数的关系式为y＝x﹣1；
（2）；
（3）﹣1＜x＜0或x＞2；
（4）m＞3．
【分析】（1）由点A坐标确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可；
（2）求出直线AB与x轴的交点坐标，再根据三角形的面积的计算方法进行计算即可；
（3）根据两个函数图象的交点坐标得出答案；
（4）首先求得整数点的坐标，根据整数点的坐标即可判断m的取值．
【解答】解：（1）∵点A（2，1）在反比例函数y图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的关系式为y，
把点B（﹣1，n）代入反比例函数y得，n2，
∴点B（﹣1，﹣2），
设直线AB的关系式为y＝ax+b，
∴，
解得，
∴直线AB的关系式为y＝x﹣1，
即反比例函数的关系式为y，一次函数的关系式为y＝x﹣1；
（2）当y＝0时，即x﹣1＝0，解得x＝1，即直线AB与x轴的交点坐标为（1，0），
∴S△AOB；
（3）由图象的交点坐标可知，
当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数值大于反比例函数值．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2；
（4）由题意可知，直线AB、平移后的直线和双曲线围成的封闭区域（不包含边界）包含的5个整点为（1，1），（﹣1，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
∴m的取值范围是m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，考查了掌握待定系数法求出函数关系式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解决问题的关键．
考点卡片
1．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
4．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
5．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
8．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
9．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
10．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
11．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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