广东省阳江市2023-2024学年高一上学期1月期末测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一上·阳江月考）已知集合，且，则（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
2．（2024高一上·阳江月考）命题“，不等式”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·阳江月考）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·阳江月考）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·阳江月考）设函数，则等于（ ）
A． B．1 C． D．10
6．（2024高一上·阳江月考）已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·阳江月考）设 ，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·阳江月考）某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一上·阳江月考）下列不等式的解集为R的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·阳江月考）已知函数，则函数具有下列性质（ ）
A．为上的奇函数
B．在上是递减函数
C．的值域为
D．的图象关于对称
11．（2024高一上·阳江月考）已知函数，则（ ）
A．是上的奇函数
B．当时，的解集为
C．当时，在上单调递减
D．当时，值域为
12．（2024高一上·阳江月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一上·阳江月考）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
14．（2024高一上·阳江月考）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．（2024高一上·阳江月考）已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为 ．
16．（2024高一上·阳江月考）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一上·阳江月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）求的最小值．
18．（2024高一上·阳江月考）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围.
19．（2024高一上·阳江月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
20．（2024高一上·阳江月考）已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明；
（2）函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
21．（2024高一上·阳江月考）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产万件，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元．通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
22．（2024高一上·阳江月考）已知函数.
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，且对于，有成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以或，
当时，解得，集合，不满足集合中元素的互异性，故不满足条件；
当时，解得（舍去）或，集合，满足条件，综上可知：.
故答案为：D.
【分析】根据集合的关系以及集合中元素的特征求解即可.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，原不等式转化为恒成立；
当时，，解得；
综上所述，， 不等式 为真命题时a的取值范围为，
故命题“，不等式”为真命题的一个充分不必要条件是.
故答案为：D.
【分析】分，讨论求出命题为真时a的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、因为，所以，故B正确；
C、当时，满足，但，故C错误；
D、当时，满足，但不成立，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，取特殊值逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数，反比例函数的单调性以及分段函数的性质列不等式组求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数①，用代替可得②，
联立①②解得，故.
故答案为：A.
【分析】由题意，用代替可得，两式联立求得函数的解析式，将10代入求值即可.
6．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据函数的解析式作出函数的图象，如图所示：
如图直线与函数图象有4个交点，即，则关于直线对称，
所以，，所以，即，所以，
所以，因为，所以，即，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】先作出函数的图象，根据题意求出的范围，根据图象结和二次函数和对数函数的性质求得，，问题转化为关于c的函数，利用对勾函数求范围即可.
7．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数单调递减，所以；
，因为函数单调递增，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.
8．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：根据题意可知：经过过滤后污染物还剩余，则，
解得，设污染物减少用时为小时，所以，解得，
所以，即，两边取对数解得，即，所以污染物减少大约需要.
故答案为：B.
【分析】根据题中给定的函数模型，求出，再利用对数运算求出t的值即可判断.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：A、不等式对应的一元二次方程，判别式，对应的二次函数开口向上，所以不等式的解集为，故A正确；
B、不等式对应的一元二次方程，判别式，对应的二次函数开口向上，所以不等式的解集不可能为，故B不正确；
C、不等式对应的一元二次方程，判别式，对应的二次函数开口向下，图象全在x轴的下方，所以不等式的解集为，故C正确；
D、不等式化简为，不等式恒成立，所以解集为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别求不等式对应的方程的判别式，再结合二次函数的图象和性质判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，所以函数为定义在上的奇函数，故A正确；
B、当时，，因为在上单调递减，
所以在单调递增，又因为函数为奇函数，
所以在上单调递增，故B错误；
C、由B选项可知，，因为，
所以，，因为函数为奇函数，
所以的值域为，故C正确；
D、假如函数的图象关于对称，则有，
但，，，
所以的图象不关于对称，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先求函数的定义域，定义域关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可判断A；根据解析式结合奇偶性判断函数的单调性即可判断B；根据解析式结合分式取值的特点求值域判断C；利用反证法假设函数关于对称，推出矛盾即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，所以函数为奇函数，故A正确；
B、当时，函数，所以当时，或，
解得或，所以的解集为，故B正确；
C、当，不妨取，，，此时，故C错误；
D、当时，令，，，当时，，所以当时，的值域为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A；分类讨论取绝对值，解不等式即可判断B；取特殊值检验即可判断C；利用换元法，令，再分类讨论求函数的值域从而判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，因为单调递增，所以，
又因为，所以，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，即，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据指数函数和幂函数的性质判断判断即可.
13．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为的解集为，所以，
又因为，所以的最小值为，
若，当且仅当时等号成立；
若，当且仅当时等号成立，所以，即或，解得，
故实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】将问题转化为恒成立问题，再根据题意利用三角不等式得的最小值为，最后分情况讨论解绝对值不等式即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：当时，原不等式转化为恒成立，故满足提条件；
当时，要使对于任意实数，不等式恒成立，则需满足，解得，综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分和讨论，根据开口方向和判别式列不等式组，求解即可.
15．【答案】1（不唯一）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数，作出函数的图象，如图所示：
函数，由最小值，最小值为-1，函数无最小值，直线是其渐近线，因为点在函数图象上，所以，当时，，当时，函数不存在最小值，故a的取值范围为.
故答案为：1（答案不唯一）
【分析】设函数，作出函数图象，根据条件求a的范围即可得a值.
16．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设是函数在区间的两个零点，即是方程的两个根，由韦达定理可得，，所以，
则，
所.
故答案为：.
【分析】设是函数在区间的两个零点，利用韦达定理，用表示结合求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意得是方程的两实数根，且，
则有，即，，即，
由，得，解得或，
则不等式解集为或.
（2）解：因为，且由（1）得
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值为16.·
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意可知是方程的两个根，由韦达定理列式求得，代入不等式结合解不等式即可；
（2）由（1）可得，利用基本不等式求最值即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得.
当时，，
则.
（2）解：因为，所以，
显然，则
解得，即a的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）时求得集合B，再解一元二次不等式求得集合A，最后根据集合的交集运算求解即可；
（2）由题意可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
19．【答案】（1）解：设，则，，
由为偶函数有，
故
（2）解：当时，
因为对称轴为，则此时为单调递增函数，
由偶函数可知在上为减函数，
又因为，
所以，
故有，即，
故.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）设，则，根据已知解析式结合函数的奇偶性求解即可；
（2）先判断函数的单调性，根据单调性以及函数的奇偶性列不等式组求解即可.
20．【答案】（1）函数在上单调递增，
证明：任取，则
，
因为指数函数在上单调递增，所以，
又因为，所以，即，
所以在上单调递增.
（2），，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，设的值域为，则，
设，，设的值域为，
由题意得，
当时，，显然不合题意，舍去，
当时，根据（1）中结论知在上单调递增，
此时，，
值域，
则有，解得，
当时，根据（1）中结论知在上单调递减，
此时值域，
则有，解得，
综上所述，或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性定义判断证明即可；
（2）先判断函数的单调性并求其值域，设，，值域为，由题意可得，再分、和讨论函数的单调性，求值域，最后根据集合关系列不等式组求实数的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
当时，可得；
当时，，
所以.
（2）解：当时，可得，
当时，取得最大值万元；
当时，万元，
当且仅当时，即时，函数取得最大值，最大值为万元，
因为，所以年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意，分别写出，时，利润的表达式，从而可得的函数关系式；
（2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质、基本不等式，分别求最值，再比较即可得 该厂所获最大利润.
22．【答案】（1）解：图象的对称轴为，∵，∴.
当即时，在上单调递增，∴；
当，即时，；
综上：当时，；当时，.
（2）解：，即，化简得：，
又恒成立，∴，故，恒成立，即为.令，，则，
∵，由对勾函数单调性知在上单调递减，∴，∴，即.∴实数的取值范围为.·
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先求函数的对称轴，根据，得，再分、判断函数的单调性，求函数的最小值即可；
（2）原不等式化简可得，因为恒成立，分离参数可得，令，，再根据对勾函数的性质求其最大值，即可得a的取值范围.
1 / 1广东省阳江市2023-2024学年高一上学期1月期末测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一上·阳江月考）已知集合，且，则（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以或，
当时，解得，集合，不满足集合中元素的互异性，故不满足条件；
当时，解得（舍去）或，集合，满足条件，综上可知：.
故答案为：D.
【分析】根据集合的关系以及集合中元素的特征求解即可.
2．（2024高一上·阳江月考）命题“，不等式”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，原不等式转化为恒成立；
当时，，解得；
综上所述，， 不等式 为真命题时a的取值范围为，
故命题“，不等式”为真命题的一个充分不必要条件是.
故答案为：D.
【分析】分，讨论求出命题为真时a的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
3．（2024高一上·阳江月考）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、因为，所以，故B正确；
C、当时，满足，但，故C错误；
D、当时，满足，但不成立，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，取特殊值逐项判断即可.
4．（2024高一上·阳江月考）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数，反比例函数的单调性以及分段函数的性质列不等式组求解即可.
5．（2024高一上·阳江月考）设函数，则等于（ ）
A． B．1 C． D．10
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数①，用代替可得②，
联立①②解得，故.
故答案为：A.
【分析】由题意，用代替可得，两式联立求得函数的解析式，将10代入求值即可.
6．（2024高一上·阳江月考）已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据函数的解析式作出函数的图象，如图所示：
如图直线与函数图象有4个交点，即，则关于直线对称，
所以，，所以，即，所以，
所以，因为，所以，即，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】先作出函数的图象，根据题意求出的范围，根据图象结和二次函数和对数函数的性质求得，，问题转化为关于c的函数，利用对勾函数求范围即可.
7．（2024高一上·阳江月考）设 ，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数单调递减，所以；
，因为函数单调递增，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.
8．（2024高一上·阳江月考）某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：根据题意可知：经过过滤后污染物还剩余，则，
解得，设污染物减少用时为小时，所以，解得，
所以，即，两边取对数解得，即，所以污染物减少大约需要.
故答案为：B.
【分析】根据题中给定的函数模型，求出，再利用对数运算求出t的值即可判断.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高一上·阳江月考）下列不等式的解集为R的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：A、不等式对应的一元二次方程，判别式，对应的二次函数开口向上，所以不等式的解集为，故A正确；
B、不等式对应的一元二次方程，判别式，对应的二次函数开口向上，所以不等式的解集不可能为，故B不正确；
C、不等式对应的一元二次方程，判别式，对应的二次函数开口向下，图象全在x轴的下方，所以不等式的解集为，故C正确；
D、不等式化简为，不等式恒成立，所以解集为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别求不等式对应的方程的判别式，再结合二次函数的图象和性质判断即可.
10．（2024高一上·阳江月考）已知函数，则函数具有下列性质（ ）
A．为上的奇函数
B．在上是递减函数
C．的值域为
D．的图象关于对称
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，所以函数为定义在上的奇函数，故A正确；
B、当时，，因为在上单调递减，
所以在单调递增，又因为函数为奇函数，
所以在上单调递增，故B错误；
C、由B选项可知，，因为，
所以，，因为函数为奇函数，
所以的值域为，故C正确；
D、假如函数的图象关于对称，则有，
但，，，
所以的图象不关于对称，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先求函数的定义域，定义域关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可判断A；根据解析式结合奇偶性判断函数的单调性即可判断B；根据解析式结合分式取值的特点求值域判断C；利用反证法假设函数关于对称，推出矛盾即可判断D.
11．（2024高一上·阳江月考）已知函数，则（ ）
A．是上的奇函数
B．当时，的解集为
C．当时，在上单调递减
D．当时，值域为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，所以函数为奇函数，故A正确；
B、当时，函数，所以当时，或，
解得或，所以的解集为，故B正确；
C、当，不妨取，，，此时，故C错误；
D、当时，令，，，当时，，所以当时，的值域为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A；分类讨论取绝对值，解不等式即可判断B；取特殊值检验即可判断C；利用换元法，令，再分类讨论求函数的值域从而判断D.
12．（2024高一上·阳江月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，因为单调递增，所以，
又因为，所以，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，即，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据指数函数和幂函数的性质判断判断即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一上·阳江月考）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为的解集为，所以，
又因为，所以的最小值为，
若，当且仅当时等号成立；
若，当且仅当时等号成立，所以，即或，解得，
故实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】将问题转化为恒成立问题，再根据题意利用三角不等式得的最小值为，最后分情况讨论解绝对值不等式即可.
14．（2024高一上·阳江月考）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：当时，原不等式转化为恒成立，故满足提条件；
当时，要使对于任意实数，不等式恒成立，则需满足，解得，综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分和讨论，根据开口方向和判别式列不等式组，求解即可.
15．（2024高一上·阳江月考）已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为 ．
【答案】1（不唯一）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数，作出函数的图象，如图所示：
函数，由最小值，最小值为-1，函数无最小值，直线是其渐近线，因为点在函数图象上，所以，当时，，当时，函数不存在最小值，故a的取值范围为.
故答案为：1（答案不唯一）
【分析】设函数，作出函数图象，根据条件求a的范围即可得a值.
16．（2024高一上·阳江月考）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设是函数在区间的两个零点，即是方程的两个根，由韦达定理可得，，所以，
则，
所.
故答案为：.
【分析】设是函数在区间的两个零点，利用韦达定理，用表示结合求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一上·阳江月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：由题意得是方程的两实数根，且，
则有，即，，即，
由，得，解得或，
则不等式解集为或.
（2）解：因为，且由（1）得
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值为16.·
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意可知是方程的两个根，由韦达定理列式求得，代入不等式结合解不等式即可；
（2）由（1）可得，利用基本不等式求最值即可.
18．（2024高一上·阳江月考）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得.
当时，，
则.
（2）解：因为，所以，
显然，则
解得，即a的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）时求得集合B，再解一元二次不等式求得集合A，最后根据集合的交集运算求解即可；
（2）由题意可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
19．（2024高一上·阳江月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设，则，，
由为偶函数有，
故
（2）解：当时，
因为对称轴为，则此时为单调递增函数，
由偶函数可知在上为减函数，
又因为，
所以，
故有，即，
故.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）设，则，根据已知解析式结合函数的奇偶性求解即可；
（2）先判断函数的单调性，根据单调性以及函数的奇偶性列不等式组求解即可.
20．（2024高一上·阳江月考）已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明；
（2）函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递增，
证明：任取，则
，
因为指数函数在上单调递增，所以，
又因为，所以，即，
所以在上单调递增.
（2），，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，设的值域为，则，
设，，设的值域为，
由题意得，
当时，，显然不合题意，舍去，
当时，根据（1）中结论知在上单调递增，
此时，，
值域，
则有，解得，
当时，根据（1）中结论知在上单调递减，
此时值域，
则有，解得，
综上所述，或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性定义判断证明即可；
（2）先判断函数的单调性并求其值域，设，，值域为，由题意可得，再分、和讨论函数的单调性，求值域，最后根据集合关系列不等式组求实数的取值范围.
21．（2024高一上·阳江月考）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产万件，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元．通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
当时，可得；
当时，，
所以.
（2）解：当时，可得，
当时，取得最大值万元；
当时，万元，
当且仅当时，即时，函数取得最大值，最大值为万元，
因为，所以年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意，分别写出，时，利润的表达式，从而可得的函数关系式；
（2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质、基本不等式，分别求最值，再比较即可得 该厂所获最大利润.
22．（2024高一上·阳江月考）已知函数.
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，且对于，有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：图象的对称轴为，∵，∴.
当即时，在上单调递增，∴；
当，即时，；
综上：当时，；当时，.
（2）解：，即，化简得：，
又恒成立，∴，故，恒成立，即为.令，，则，
∵，由对勾函数单调性知在上单调递减，∴，∴，即.∴实数的取值范围为.·
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先求函数的对称轴，根据，得，再分、判断函数的单调性，求函数的最小值即可；
（2）原不等式化简可得，因为恒成立，分离参数可得，令，，再根据对勾函数的性质求其最大值，即可得a的取值范围.
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