浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024高二上·台州期末）直线的斜率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（2024高二上·台州期末）若双曲线的离心率为2，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．16
3．（2024高二上·台州期末）若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·台州期末）已知等差数列的前项和为.若，则其公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024高二上·台州期末）如图，在平行六面体中，记，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·台州期末）人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列，（为正整数），若，则所有可能的取值的和为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．41
7．（2024高二上·台州期末）已知抛物线的焦点为，，两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．（2024高二上·台州期末）在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高二上·台州期末）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．是等比数列 B．一定不是等差数列
C．是等比数列 D．一定不是等比数列
10．（2024高二上·台州期末）已知且，曲线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是双曲线
C．当时，曲线的焦点坐标为
D．当时，曲线的焦点坐标为
11．（2024高二上·台州期末）如图，在四面体中，分别是，，的中点，，相交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面
B．
C．
D．若分别为，的中点，则为的中点
12．（2024高二上·台州期末）已知，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，有2个元素
C．若有2个元素，则
D．当时，有4个元素
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高二上·台州期末）点到直线的距离为 .
14．（2024高二上·台州期末）已知椭圆的左右焦点分别为.为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于_ .
15．（2024高二上·台州期末）已知数列的前项和为.当时，的最小值是_ .
16．（2024高二上·台州期末）已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为_ .
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高二上·台州期末）已知圆经过原点及点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
18．（2024高二上·台州期末）已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19．（2024高二上·台州期末）在长方体中，.从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线与平面所成角的正弦值为；
②平面与平面的夹角的余弦值为.
（1）求的长度；
（2）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面，求的值.
20．（2024高二上·台州期末）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
（1）求点的轨迹；
（2）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
21．（2024高二上·台州期末）某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为.点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
22．（2024高二上·台州期末）已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于，两点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线交于，两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：由直线的斜截式可知的斜率为.
故答案为：C.
【分析】利用直线的斜截式方程的参数的几何意义即可.
2．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，，解得.
又，则.
故答案为：A.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得： ，代入离心率计算公式可得：，解方程可求出m的值.
3．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，得.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量夹角公式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，所以，又，
，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式.根据等差数列的性质可得：，再结合可得方程组：，解方程组可求出公差d.
5．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据图形可得：，又因为可表示为，所以，将代入上式可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：若，则由递推关系只能有，，有或，
当时，；当时，，
所以所有可能的取值为或，.
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的递推公式.若，则由递推关系，只能有，，再递推一次可得：或.当时，则由递推关系，可求得；当时，则由递推关系，可求得，据此得出所有可能的取值，进而得出答案.
7．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，
当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去，
当过的直线斜率存在时，设为，联立得，
，
设，则，
因为，所以，
又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质.本题需要分过的直线斜率不存在和存在两种情况.当过的直线斜率不存在时，，不合要求；当过的直线斜率存在时，设为联立抛物线可得：，消y可得：，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，再结合求出，，代入可得到方程，解方程可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：依题意，，A正确；
显然，即，
因此，B正确；
由，同理得，
于是，由，得，
由，得，取中点，连接并延长至，
使，连接，取中点，连接，显然四边形为平行四边形，
则，，
于是，即有，则，
，而平面，则平面，又平面，
因此，，而为公共边，所以≌，C正确；
显然线段不一定相等，而，，
即直角三角形的两条直角边不一定相等，与不一定垂直，又，
所以不一定垂直，D错误.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据向量的线性运算可得：.对式子两边同时平方可得：，结合题目已知条件可得：；由，两边同时平方结合已知条件可得： ，据此可推出，通过作图分析，利用给定等式结合垂直关系的向量表示推理判断CD.
9．【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：A、设数列的公比为，则，
故，所以是等比数列，A正确；
B和D、设，满足数列和是等比数列，
所以，故此时是等差数列，也是等比数列，BD错误；
C、设数列的公比为，数列的公比为，
则，故是等比数列，C正确；
故答案为：AC.
【分析】本题考查等比数列的定义和等差数列的的定义.设数列的公比为，则，故，所以是等比数列；同理设数列的公比为，则，故是等比数列.CD选项通过举出反例进行判断，设，满足数列和是等比数列，所以，故此时是等差数列，也是等比数列.
10．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：A、若，则，故曲线是焦点在轴上的椭圆，A正确；
B、若，则，，故曲线是焦点在轴上的双曲线，B正确；
C、时，由A可得曲线是焦点在轴上的椭圆，C错误；
D、时，由B可得曲线是焦点在轴上的双曲线，
曲线，可化为曲线，
双曲线的半焦距为，故焦点坐标为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查椭圆方程，双曲线方程.对于AC，若，则，故曲线是焦点在轴上的椭圆，故A正确，C错误；对于B，若，则，，故曲线是焦点在轴上的双曲线；对于D，时，曲线是焦点在轴上的双曲线，曲线，可化为曲线，可求出双曲线的半焦距为，进而得出双曲线的焦点坐标.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：A、因为分别是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面，A正确；
B、由A可得，，因为分别是的中点，所以.
由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，B错误；
C、
，C正确；
D、因为是的中点，所以.
又因为是的中点，所以，
所以，
所以为的中点，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查直线与平面平行的判定，异面直线垂直的判定，空间向量的线性运算.已知分别是的中点，根据三角形的中位线定理可得：，根据线面平行的判定定理可得平面；已知分别是的中点，根据三角形的中位线定理可得：，又知，所以可将与的位置关系转化为与的关系进行判断，又因为题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直；根据空间向量的线性运算即可判断C；已知
是的中点，根据三角形中线向量公式可得：.又知是的中点，所以，两式结合可得：，据此得出为的中点
12．【答案】A,B,D
【知识点】集合的含义；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：A、时，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由得或，
故，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由，解得或，
同理可得，
故表示的部分如图所示，
表示轴，故，A正确；
B、当时，，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，
整个圆位于轴上方，
，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，整个圆位于轴下方，
故表示的部分如图所示，
由于圆心到的距离，
故直线与圆有两个交点，有2个元素，B正确；
C、当时，此时两圆圆心相同，半径相等，
此时表示的部分如图所示，
此时直线与有两个交点，而，C错误；
D、当时，
，由于圆心到的距离为，
，由于圆心到的距离为
，
画出表示的部分如图所示，
此时直线分别与两圆交于两点，共4个交点，
所以有4个元素，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查点集，集合的交集运算和并集运算.A选项，当时，表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），进而可画出表示的部分图形，求出与轴的交点坐标，可判断A选项；B选项，当时，为，由圆心到的距离小于半径得到有两个交点，进而判断选项；C选项，举出反例：当时，此时两圆圆心相同，半径相等，画出表示的图形，根据图形可得直线与有两个交点，而；D选项，当时，，由于圆心到的距离为，，由于圆心到的距离为，画出表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案.
13．【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线的距离.
故答案为：.
【分析】利用点到直线的距离公式即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故离心率为
故答案为：
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知结合椭圆定义可求出，再由余弦定理可得到方程代入数据化简后可得到方程，化简后可求出离心率.
15．【答案】4
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由于，
故，
由，可得，
即，由于的值随n的增大而增大，
且时，，时，，
故n的最小值为：4.
故答案为：4.
【分析】本题考查裂项相消求数列的和.观察可得：可将化为，利用裂项求和法可求出为：，又因为，可得，再结合数列的单调性可得：的值随n的增大而增大，利用单调性求解不等式，可得出答案.
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题知直线的斜率存在且不为0，
设直线，，
联立，得，
则，
，
设过点的切线方程为，
则，得，
由，得，
故过点的切线方程为，即，
同理过点的切线方程为，
联立得，则点，
则，得，
设，
联立，得，
，
，
.
故答案为：.
【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意可知直线的斜率存在且不为0，据此设出直线方程，联立，得，根据韦达定理可得：；联立，得，根据韦达定理可得：，根据弦长公式可得，代入数据可求出答案.
17．【答案】（1）解：设原点为，易知，线段的中点为圆心，圆心坐标为.
线段的长为圆的直径，，半径.
圆的标准方程为
（2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
令，代入圆的标准方程，
解得或，则，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其转化为一般式方程，
圆心到直线的距离为，则，得，
化简得或，即直线的方程为或
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系.
（1）由，可知线段的中点为圆心，线段的长为圆的直径，利用两点间的距离公式可求出，所以半径，根据中点坐标公式可求出圆心为，据此可写出圆的方程；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
将直线方程代入圆的方程，解得或，则，不符合题意.；当直线的斜率存在时，因为直线l经过原点，所以设直线的方程为，利用圆的弦长公式可求出，又知圆心到直线的距离为，可列出方程，解方程可求出斜率k，进而写出直线l的方程.
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，由题意得：
，即，
，得，解得或.
由于不符合题意，因此.
由得，，即，.所以
（2）解：由题意得，，则，
则，
则，
则，
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.
（1）已知成等差数列，所以，将式子用和进行表示，解方程组即可求解；
（2）由(1)可得：.所以，利用错位相减即可求出.
19．【答案】（1）解：如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，
设，则，
设平面的法向量.
取，，，则.
若选择条件①，，设直线与平面所成角为，
则，
解得.即.
若选择条件②，易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得
（2）解：由题（1）得，，，，，.
设，则.
设平面的法向量.取，，则
又，，设平面的法向量.
令，，则.
平面平面，，即，
解得，所以
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，平面与平面垂直.
（1）以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出平面的法向量，①直线与平面所成角的正弦值为，代入直线与平面所成的角的公式可求出；②平面与平面的夹角的余弦值为，可知平面的法向量为，代入平面与平面所成的角公式可得：，解方程可求出a；
（2）设，求出平面的法向量与平面的法向量，已知平面平面，在两个平面的法向量垂直可列出方程：，解方程可求出的值，即可求出的值.
20．【答案】（1）解：，，.
因为.所以与两个定点，的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆.
（2）解：以线段的中点为坐标原点，以过点，的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即；，即.
则椭圆的标准方程为.
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程得，
整理得，可得.
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，同理可证.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系.
（1）已知 是圆上任意一点 ，所以，又知 线段的垂直平分线为，所以，结合可得：，因为，所以与两个定点，的距离的和等于常数（大于），根据椭圆的定义可得答案；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出椭圆的标准方程，当时，点的坐标为和，求出直线的方程与椭圆方程联立可得，消可得：利用判别式可得，进而证明结论.
21．【答案】（1）解：如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为.
因为圆的半径为，圆心到地面的距离为，所以.从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得。，则.
（2）解：如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.山题意得：
其中，表示点和点构成的直线的斜率，当直线的斜率取得最小值时，取最大值.因为点在单位圆上，所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点的直线方程为：，即，解得，则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
【知识点】斜率的计算公式；平面内点到直线的距离公式；解三角形的实际应用
【解析】【分析】本题考查解三角形，点到直线的距离公式，斜率公式.
（1）设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m，由，代入数据可求出答案；
（2）设甲位于圆 上的点处， 直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角，，其中，表示点和点构成的直线的斜率，根据直线与圆的位置关系可得：设过点的直线方程为：，由相切可得，解方程可求出k进而求出答案.
22．【答案】（1）解：由已知得.将代入方程，得，
由得，.因此双曲线的标准方程为.
（2）解：设，则，，则
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则.
.联立方程可得，
则，.
令，整理得.
要使得对任意的上式恒成立，则
解得：.
所以，当时，.
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系.
（1）已知双曲线的实轴长为可得，故方程为：，将代入方程可解得，又知得，，可求出，进而写出双曲线标准方程；
（2）设，则，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，，联立方程可得，根据韦达定理可得：，.
代入的式子，化简后可求出答案.当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意.
1 / 1浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024高二上·台州期末）直线的斜率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：由直线的斜截式可知的斜率为.
故答案为：C.
【分析】利用直线的斜截式方程的参数的几何意义即可.
2．（2024高二上·台州期末）若双曲线的离心率为2，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．16
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，，解得.
又，则.
故答案为：A.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得： ，代入离心率计算公式可得：，解方程可求出m的值.
3．（2024高二上·台州期末）若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，得.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量夹角公式即可求解.
4．（2024高二上·台州期末）已知等差数列的前项和为.若，则其公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，所以，又，
，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式.根据等差数列的性质可得：，再结合可得方程组：，解方程组可求出公差d.
5．（2024高二上·台州期末）如图，在平行六面体中，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：A.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据图形可得：，又因为可表示为，所以，将代入上式可求出答案.
6．（2024高二上·台州期末）人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列，（为正整数），若，则所有可能的取值的和为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．41
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：若，则由递推关系只能有，，有或，
当时，；当时，，
所以所有可能的取值为或，.
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的递推公式.若，则由递推关系，只能有，，再递推一次可得：或.当时，则由递推关系，可求得；当时，则由递推关系，可求得，据此得出所有可能的取值，进而得出答案.
7．（2024高二上·台州期末）已知抛物线的焦点为，，两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，
当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去，
当过的直线斜率存在时，设为，联立得，
，
设，则，
因为，所以，
又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质.本题需要分过的直线斜率不存在和存在两种情况.当过的直线斜率不存在时，，不合要求；当过的直线斜率存在时，设为联立抛物线可得：，消y可得：，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，再结合求出，，代入可得到方程，解方程可求出答案.
8．（2024高二上·台州期末）在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：依题意，，A正确；
显然，即，
因此，B正确；
由，同理得，
于是，由，得，
由，得，取中点，连接并延长至，
使，连接，取中点，连接，显然四边形为平行四边形，
则，，
于是，即有，则，
，而平面，则平面，又平面，
因此，，而为公共边，所以≌，C正确；
显然线段不一定相等，而，，
即直角三角形的两条直角边不一定相等，与不一定垂直，又，
所以不一定垂直，D错误.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据向量的线性运算可得：.对式子两边同时平方可得：，结合题目已知条件可得：；由，两边同时平方结合已知条件可得： ，据此可推出，通过作图分析，利用给定等式结合垂直关系的向量表示推理判断CD.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高二上·台州期末）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．是等比数列 B．一定不是等差数列
C．是等比数列 D．一定不是等比数列
【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：A、设数列的公比为，则，
故，所以是等比数列，A正确；
B和D、设，满足数列和是等比数列，
所以，故此时是等差数列，也是等比数列，BD错误；
C、设数列的公比为，数列的公比为，
则，故是等比数列，C正确；
故答案为：AC.
【分析】本题考查等比数列的定义和等差数列的的定义.设数列的公比为，则，故，所以是等比数列；同理设数列的公比为，则，故是等比数列.CD选项通过举出反例进行判断，设，满足数列和是等比数列，所以，故此时是等差数列，也是等比数列.
10．（2024高二上·台州期末）已知且，曲线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是双曲线
C．当时，曲线的焦点坐标为
D．当时，曲线的焦点坐标为
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：A、若，则，故曲线是焦点在轴上的椭圆，A正确；
B、若，则，，故曲线是焦点在轴上的双曲线，B正确；
C、时，由A可得曲线是焦点在轴上的椭圆，C错误；
D、时，由B可得曲线是焦点在轴上的双曲线，
曲线，可化为曲线，
双曲线的半焦距为，故焦点坐标为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查椭圆方程，双曲线方程.对于AC，若，则，故曲线是焦点在轴上的椭圆，故A正确，C错误；对于B，若，则，，故曲线是焦点在轴上的双曲线；对于D，时，曲线是焦点在轴上的双曲线，曲线，可化为曲线，可求出双曲线的半焦距为，进而得出双曲线的焦点坐标.
11．（2024高二上·台州期末）如图，在四面体中，分别是，，的中点，，相交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面
B．
C．
D．若分别为，的中点，则为的中点
【答案】A,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：A、因为分别是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面，A正确；
B、由A可得，，因为分别是的中点，所以.
由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，B错误；
C、
，C正确；
D、因为是的中点，所以.
又因为是的中点，所以，
所以，
所以为的中点，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查直线与平面平行的判定，异面直线垂直的判定，空间向量的线性运算.已知分别是的中点，根据三角形的中位线定理可得：，根据线面平行的判定定理可得平面；已知分别是的中点，根据三角形的中位线定理可得：，又知，所以可将与的位置关系转化为与的关系进行判断，又因为题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直；根据空间向量的线性运算即可判断C；已知
是的中点，根据三角形中线向量公式可得：.又知是的中点，所以，两式结合可得：，据此得出为的中点
12．（2024高二上·台州期末）已知，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，有2个元素
C．若有2个元素，则
D．当时，有4个元素
【答案】A,B,D
【知识点】集合的含义；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：A、时，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由得或，
故，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由，解得或，
同理可得，
故表示的部分如图所示，
表示轴，故，A正确；
B、当时，，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，
整个圆位于轴上方，
，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，整个圆位于轴下方，
故表示的部分如图所示，
由于圆心到的距离，
故直线与圆有两个交点，有2个元素，B正确；
C、当时，此时两圆圆心相同，半径相等，
此时表示的部分如图所示，
此时直线与有两个交点，而，C错误；
D、当时，
，由于圆心到的距离为，
，由于圆心到的距离为
，
画出表示的部分如图所示，
此时直线分别与两圆交于两点，共4个交点，
所以有4个元素，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查点集，集合的交集运算和并集运算.A选项，当时，表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），进而可画出表示的部分图形，求出与轴的交点坐标，可判断A选项；B选项，当时，为，由圆心到的距离小于半径得到有两个交点，进而判断选项；C选项，举出反例：当时，此时两圆圆心相同，半径相等，画出表示的图形，根据图形可得直线与有两个交点，而；D选项，当时，，由于圆心到的距离为，，由于圆心到的距离为，画出表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高二上·台州期末）点到直线的距离为 .
【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线的距离.
故答案为：.
【分析】利用点到直线的距离公式即可.
14．（2024高二上·台州期末）已知椭圆的左右焦点分别为.为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于_ .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故离心率为
故答案为：
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知结合椭圆定义可求出，再由余弦定理可得到方程代入数据化简后可得到方程，化简后可求出离心率.
15．（2024高二上·台州期末）已知数列的前项和为.当时，的最小值是_ .
【答案】4
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由于，
故，
由，可得，
即，由于的值随n的增大而增大，
且时，，时，，
故n的最小值为：4.
故答案为：4.
【分析】本题考查裂项相消求数列的和.观察可得：可将化为，利用裂项求和法可求出为：，又因为，可得，再结合数列的单调性可得：的值随n的增大而增大，利用单调性求解不等式，可得出答案.
16．（2024高二上·台州期末）已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为_ .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题知直线的斜率存在且不为0，
设直线，，
联立，得，
则，
，
设过点的切线方程为，
则，得，
由，得，
故过点的切线方程为，即，
同理过点的切线方程为，
联立得，则点，
则，得，
设，
联立，得，
，
，
.
故答案为：.
【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意可知直线的斜率存在且不为0，据此设出直线方程，联立，得，根据韦达定理可得：；联立，得，根据韦达定理可得：，根据弦长公式可得，代入数据可求出答案.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高二上·台州期末）已知圆经过原点及点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）解：设原点为，易知，线段的中点为圆心，圆心坐标为.
线段的长为圆的直径，，半径.
圆的标准方程为
（2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
令，代入圆的标准方程，
解得或，则，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其转化为一般式方程，
圆心到直线的距离为，则，得，
化简得或，即直线的方程为或
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系.
（1）由，可知线段的中点为圆心，线段的长为圆的直径，利用两点间的距离公式可求出，所以半径，根据中点坐标公式可求出圆心为，据此可写出圆的方程；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
将直线方程代入圆的方程，解得或，则，不符合题意.；当直线的斜率存在时，因为直线l经过原点，所以设直线的方程为，利用圆的弦长公式可求出，又知圆心到直线的距离为，可列出方程，解方程可求出斜率k，进而写出直线l的方程.
18．（2024高二上·台州期末）已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，由题意得：
，即，
，得，解得或.
由于不符合题意，因此.
由得，，即，.所以
（2）解：由题意得，，则，
则，
则，
则，
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.
（1）已知成等差数列，所以，将式子用和进行表示，解方程组即可求解；
（2）由(1)可得：.所以，利用错位相减即可求出.
19．（2024高二上·台州期末）在长方体中，.从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线与平面所成角的正弦值为；
②平面与平面的夹角的余弦值为.
（1）求的长度；
（2）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面，求的值.
【答案】（1）解：如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，
设，则，
设平面的法向量.
取，，，则.
若选择条件①，，设直线与平面所成角为，
则，
解得.即.
若选择条件②，易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得
（2）解：由题（1）得，，，，，.
设，则.
设平面的法向量.取，，则
又，，设平面的法向量.
令，，则.
平面平面，，即，
解得，所以
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，平面与平面垂直.
（1）以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出平面的法向量，①直线与平面所成角的正弦值为，代入直线与平面所成的角的公式可求出；②平面与平面的夹角的余弦值为，可知平面的法向量为，代入平面与平面所成的角公式可得：，解方程可求出a；
（2）设，求出平面的法向量与平面的法向量，已知平面平面，在两个平面的法向量垂直可列出方程：，解方程可求出的值，即可求出的值.
20．（2024高二上·台州期末）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
（1）求点的轨迹；
（2）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
【答案】（1）解：，，.
因为.所以与两个定点，的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆.
（2）解：以线段的中点为坐标原点，以过点，的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即；，即.
则椭圆的标准方程为.
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程得，
整理得，可得.
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，同理可证.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系.
（1）已知 是圆上任意一点 ，所以，又知 线段的垂直平分线为，所以，结合可得：，因为，所以与两个定点，的距离的和等于常数（大于），根据椭圆的定义可得答案；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出椭圆的标准方程，当时，点的坐标为和，求出直线的方程与椭圆方程联立可得，消可得：利用判别式可得，进而证明结论.
21．（2024高二上·台州期末）某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为.点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
【答案】（1）解：如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为.
因为圆的半径为，圆心到地面的距离为，所以.从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得。，则.
（2）解：如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.山题意得：
其中，表示点和点构成的直线的斜率，当直线的斜率取得最小值时，取最大值.因为点在单位圆上，所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点的直线方程为：，即，解得，则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
【知识点】斜率的计算公式；平面内点到直线的距离公式；解三角形的实际应用
【解析】【分析】本题考查解三角形，点到直线的距离公式，斜率公式.
（1）设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m，由，代入数据可求出答案；
（2）设甲位于圆 上的点处， 直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角，，其中，表示点和点构成的直线的斜率，根据直线与圆的位置关系可得：设过点的直线方程为：，由相切可得，解方程可求出k进而求出答案.
22．（2024高二上·台州期末）已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于，两点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线交于，两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由已知得.将代入方程，得，
由得，.因此双曲线的标准方程为.
（2）解：设，则，，则
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则.
.联立方程可得，
则，.
令，整理得.
要使得对任意的上式恒成立，则
解得：.
所以，当时，.
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系.
（1）已知双曲线的实轴长为可得，故方程为：，将代入方程可解得，又知得，，可求出，进而写出双曲线标准方程；
（2）设，则，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，，联立方程可得，根据韦达定理可得：，.
代入的式子，化简后可求出答案.当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意.
1 / 1
