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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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19.1.1变量与函数
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1. 在具体情境中了解变量、常量等概念；
2. 了解变量、常量的意义，能正确区分变量和常量.
新知导入
“万物皆变”—行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在你周围的事物中，这种一个变量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。
新知讲解
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为 s 千米，行驶时间为 t 小时；
填写下表，s值随t的变化而变化吗？
60
120
180
240
300
s随t的变化而变化。
新知讲解
（2）每张电影票的售价为10元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，y的值随x的变化而变化吗？
票房收入y随售票张数x的变化而变化。
第一场票房收入=10×150=1500(元)
第二场票房收入=10×205=2050(元)
第三场票房收入=10×310=3100(元)
新知讲解
(3)你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 随r的值变化而变化吗？
圆的面积S随圆的半径r的变化而变化。
圆的面积=
新知讲解
矩形的一邻边长y随另一边长x的变化而变化.
(4)用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长 x 分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长 y 随另一边长x的变化而变化吗？
新知讲解
上述四个运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
数值不断变化的量
变量
1、S=60t
2、Y=10X
3、S=πr2
4、Y=5-X
像路程S、时间t、票价总收入Y、票张数X、圆面积S、圆半径r、长方形的相邻两边的长X、Y这些量是
数值固定不变的量
常量
像速度60 km/h、单价10元/张、圆周率π、矩形周长的一半5，这些量是
归纳总结
在一个变化过程中，有些量是变化的，有些量是不变的，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
典例精析
例、指出下列问题中的变量和常量：
(1)某市的自来水价为4元/t.现要持油取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元.
(2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为 w元.
解：(1)变量：x，y
常量：4
(2)变量：t，w
常量：0.2
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中,变量有( )
①行驶速度; ②行驶时间; ③行驶路程; ④汽车油箱中的剩余油量.
A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个
2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( )
A. Q=8x B. Q=50-8x C. Q=8x-50 D.Q=8x+50
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.多边形内角和M与多边形边数n间的数量关系是_________________;其中_________是变量，________是常量.
4.若球体体积为V，半径为R，则V=πR3其中变量是 、 ，常量是 .
M 、n
2、180°
π
V
R
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置:
(1)上述哪些量在变化
(2)第5排、第6排各有多少个座位
(3)第n排有多少个座位 请说明你的理由.
解:第5排、第6排分别有76、80个座位.
解:由表格的规律可知，排数增加1，相应增加4个座位，因此第n排有(4n+56)个座位.
解:排数和相应的座位数在变化.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，矩形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD＝20 cm，当B，C在平行线上运动时，矩形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，常量、变量各是什么？
(2)如果矩形的一边AB的长为x(cm)，那么矩形的面积y(cm2)可以表示为__________；
(3)当AB的长从25 cm变到40 cm时，矩形的面积从_______cm2变到_______cm2.
y＝20x
500
800
解：(1)常量是AD，BC的长，变量是AB，CD的长与矩形ABCD的面积
课堂总结
常量与变量的概念
常量：数值始终不变的量
变量：数值发生变化的量
列出变量之间的关系式
常量与变量
板书设计
常量与变量的概念
在一个变化过程中，有些量是变化的，有些量是不变的，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．某人要在规定的时间内加工200个零件，对于工作效率n与时间t之间的关系，下列说法正确的是( )
A．200和n，t都是常量 B．200和n都是变量
C．n和t都是变量 D．200和t都是变量
2．在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有( )
A．C，π B．C，r C．π，r D．C，2π
C
B
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)
与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 .
4.汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 .
a ，n
50
n=
Q=40-5t
40，5
Q，t
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.写出满足下列各问题的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量，哪些量是变量？
(1)等腰三角形的顶角y(度)与底角x(度)之间的关系；
(2)在100米赛跑中，成绩t(秒)与平均速度v(米/秒)之间的关系；
(3)用总长为20 m的绳子围成一个矩形，则矩形面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【综合拓展类作业】
6.地壳的厚度约为8～40千米.地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x(千米)是深度，t(℃)是地球表面温度，y(℃)是地表下x千米处的温度.
(1)在这个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？
(2)若地球的表面温度是t=35℃，当x=30千米时，求y的值.
解：（1）常量为35，t，变量为深度x和是地表下x千米处的温度y；
（2） y=35×30+35=1085 ℃
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《19.1.1.1变量与函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节最前面的 4 个小问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过讨论这些问题不仅可以引出常量与变量的概念，而且也为后面引出变量间的单值对应关系进而学习函数的定义作出了铺垫。这种从实际问题出发开始讨论的方式，出于从具体到抽象地认识事物的考虑，这些都与后续讨论函数概念有联系， 为归纳出变量间的单值对应关系进行铺垫
学习者分析 变量和函数的概念是学生第一次接触的内容，在认知方式和思维上对学生都有较高的要求，入门会有一定的难度，而我们在代数式、方程、不等式等内容的探索中都已经渗透了变化的思想，要注意引导学生在原有知识基础上理解新的概念，有利于体现知识的自然延伸
教学目标 1. 在具体情境中了解变量、常量等概念； 2. 了解变量、常量的意义，能正确区分变量和常量.
教学重点 能找出一个变化过程中的变量与常量，了解变量与常量的意义
教学难点 体会运动变化过程中量的变化，较复杂问题中常量与变量的识别。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： “万物皆变”—行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在你周围的事物中，这种一个变量随另一个量的变化而变化的现象大量存在，如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢？学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过让学生观看熟知的图片，既能调动起学生学习的兴趣， 又能直观的初步感受变量与常量环节二：新知探究教师活动2： （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表: 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程___随行驶时间___的变化过程. (2)电影每张票的售价为 10 元,如果第一场售出票 150 张,第二场售出 205 张,第三场售出310 张,三场电影票的票房收入各多少元 若设一场电影售出票 x 张,票房收入为 y元，y的值随x的变化而变化吗？ (3)你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径 r 分别为10cm,20cm,30cm 时,圆的面积 S 随r的值变化而变化吗？ (4)用 10m 长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长 x 分别为 3m,3.5m,4m,4.5m 时, 它的邻边长 y随x的变化而变化吗？ 上述四个运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？ 1、S=60t 2、Y=10X 3、S=πr2 4、Y=5-X 像路程S、时间t、票价总收入Y、票张数X、圆面积S、圆半径r、长方形的相邻两边的长X、Y这些量是数值不断变化的量---变量 像速度60 km/h、单价10元/张、圆周率π、矩形周长的一半5，这些量是数值固定不变的量-----常量 归纳总结： 在一个变化过程中，有些量是变化的，有些量是不变的，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.学生活动2： 教师与学生一起分析变化过程中出现的所有的量，首先引导学生得出哪个量是始终不发生变化的，再分析哪些量是会发生变化的 活动意图说明：通过师生共同讨论，分析问题①中的不变的量和变化的量。在此基础上，学生独立进行问题②③④的分析，为发现这些量的特征，实现变量与常量的归纳环节三：典例精析教师活动3： 例、指出下列问题中的变量和常量： (1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元. (2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为 w元.学生活动3： 学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法活动意图说明：通过具体应用，进行变量与常量概念的进一步辨析，深化对变量与常量概念的理解
板书设计 在一个变化过程中，有些量是变化的，有些量是不变的，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中,变量有( ) ①行驶速度; ②行驶时间; ③行驶路程; ④汽车油箱中的剩余油量. A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个 2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( ) A. Q=8x B. Q=50-8x C. Q=8x-50 D.Q=8x+50 3.多边形内角和M与多边形边数n间的数量关系是_________________;其中_________是变量，________是常量. 4.若球体体积为V，半径为R，则V=4/3πR3其中变量是 、 ，常量是 . 选做题： 5.某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置: (1)上述哪些量在变化 (2)第5排、第6排各有多少个座位 (3)第n排有多少个座位 请说明你的理由. 【综合拓展类作业】 6.如图，矩形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD＝20 cm，当B，C在平行线上运动时，矩形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，常量、变量各是什么？ (2)如果矩形的一边AB的长为x(cm)，那么矩形的面积y(cm2)可以表示为__________； (3)当AB的长从25 cm变到40 cm时，矩形的面积从_______cm2变到_______cm2.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某人要在规定的时间内加工200个零件，对于工作效率n与时间t之间的关系，下列说法正确的是( ) A．200和n，t都是常量 B．200和n都是变量 C．n和t都是变量 D．200和t都是变量 2．在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有( ) A．C，π B．C，r C．π，r D．C，2π 3.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a（元）的关系是 ，其中变量是 ，常量是 . 4.汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 . 选做题 5.写出满足下列各问题的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量，哪些量是变量？ (1)等腰三角形的顶角y(度)与底角x(度)之间的关系； (2)在100米赛跑中，成绩t(秒)与平均速度v(米/秒)之间的关系； (3)用总长为20 m的绳子围成一个矩形，则矩形面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系． 【综合拓展类作业】 6.地壳的厚度约为8～40千米.地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x(千米)是深度，t(℃)是地球表面温度，y(℃)是地表下x千米处的温度. (1)在这个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ (2)若地球的表面温度是t=35℃，当x=30千米时，求y的值.
教学反思 本节课是八年级学生初步接触函数的入门课，必须让学生准确认识变量与常量的特征，初步感受现实世界各种变量之间相互联系的复杂性。通过这一课时的教学，本人对概念课的教学设计与教学实践有了更深入的了解，面对抽象的数学内容，老师会想方设法创设易于学生理解的数学情境，但如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环节。
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