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分课时教学设计
第一课时《19.1.1.2变量与函数》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在这一节中，学生首次接触函数这个概念，它是研究运动变化规律的重要数学模型，刻画了变化过程中变量之间的对应关系。函数概念是中学数学的核心概念，是之后学习各类函数、方程等内容的重要基础。因此，本节课具有极其重要的作用
学习者分析 在学习函数概念之前，学生接触的基本上是常量数学或形象数学的内容，是静态的数学知识.而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的.因此，了解函数的概念，需要学生的思维经历一个飞跃的过程
教学目标 1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系． 2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围． 3.会根据函数解析式求函数值.
教学重点 了解函数概念和自变量的意义。会求函数值
教学难点 概括并理解函数概念中的单值对应关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 汽车耗油量为 0.1 L/km，油箱中有汽油 50 L. 如果在行驶过程中不再加油，那么下列各量中： ①汽车耗油量；②行驶路程x； ③汽车油箱中的剩余油量y. 变量是___________，常量是__________. 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 上面几个变量之间有什么联系吗？学生活动1： 学生思考回答活动意图说明： 通过复习上节课的内容，提出本节课需要研究的问题，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用环节二：教师活动2： 在上一节课课本P71的问题(1)～(4)中，是否都存在两个变量？请你写出能表示同一个问题中的两个变量之间对应关系的式子. 问题(1)～(4)中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为： s = 60t，y =10x，S=πr2，y=5-x. 在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？两个变量之间的对应关系有什么共同特征？ 在问题(1) 中，观察填出的表格，可以发现: t和s是两个变量，每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.例如t=1,则s=60； t=2, 则s=12.....t=5，则s =300. 在问题(2) 中，可以发现: x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应，例如，若x=150,则y=1500；若x=205， 则y=2050；若x=310,则y=3100. 在问题(3) 中，可以发现: r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为S=π.据此可以算出r分别为10cm，20cm,30cm时，S分别为100πcm2,400πcm2，900πcm2. 在问题(4) 中，可以发现: x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为y=5- x.据此可以算出x分 别为3m, 3.5m，4m, 4.5m时，y分别为2 m, 1.5m, 1 m, 0.5 m, 上面4个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. （1）如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？ （2）下表是我国第一至第七次人口普查的年份与人口数，其中年份与人口数可以分别记作变量 x 与 y . 对于表中每一个确定的年份 x ，都对应着一个确定的人口数 y 吗？ 归纳总结： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 注意：在一个变化过程中，居于主动地位的变量叫做自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量叫做自变量的函数. 如果当 x=a 时y=b，那么b 叫做当自变量的值为a时的函数值. 可以认为:在前面问题(1) 中，时间t是自变量，路程s是t的函数，当t=1时， 函数值s=60， 当t=2时，函数值s=120；在心电图中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x=2010时，函数值y=13.71.学生活动2： 认真读题，细心观察图象、独立思考并回答相关问题。活动意图说明：让学生体会到，当一个变量取定一个值时，可以通过查表唯一确定出另一个变量的值。突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性。环节三：教师活动3： 例3.汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶路程 x(单位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. (2)指出自变量 x 的取值范围. (3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 归纳总结： 确定函数解析式的一般步骤： (1)先审题，根据题意找出等量关系， (2)按等量关系写出含两个变量的等式； (3)将等式变形为含有变量的代数式表示的函数的式子．学生活动3： 积极思考、独立完成、踊跃回答。活动意图说明：通过例题，及时巩固，了解学生的理解掌握情况。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是( ) A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 2．下列等式中，y不是x的函数的是( ) A．3x－2y＝2 B．x2－y2＝1 C．y＝ D．y＝|x| 3.已知函数y＝3x－1，其中自变量x的取值范围是 ;当x＝3时，y的值为 . 选做题： 4.求下列函数中自变量x的取值范围． (1)y＝； (2)y＝. 【综合拓展类作业】 5.如图，正方形ABCD的边长为4，P是DC上的一个动点且点P不与C、D重合，设DP为x，四边形ABCP的面积为y. (1)写出表示y与x的函数关系的式子; (2)自变量x的取值范围; (3)求当点P为DC的中点时，四边形ABCP的面积.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列式子中，y不是x的函数的是（ ） A.y=-x+1 B.y=2x2-1 C.y= D.=x 2.若等腰三角形的周长60cm，底边长xcm，一腰长ycm;则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（ ） A.y=60-2x (0教学反思 在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解
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19.1.1.2变量与函数
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．
3.会根据函数解析式求函数值.
新知导入
汽车耗油量为 0.1 L/km，油箱中有汽油 50 L. 如果在行驶过程中不再加油，那么下列各量中：
①汽车耗油量；②行驶路程x；
③汽车油箱中的剩余油量y.
变量是___________，常量是__________.
②③
①
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
上面几个变量之间有什么联系吗？
新知讲解
在上一节课课本P71的问题(1)～(4)中，是否都存在两个变量？请你写出能表示同一个问题中的两个变量之间对应关系的式子.
问题(1)～(4)中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为：
s = 60t，y =10x，S=πr2，y=5-x.
在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？两个变量之间的对应关系有什么共同特征？
新知讲解
在问题(1) 中，观察填出的表格，可以发现: t和s是两个变量，每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.例如t=1,则s=60; t=2, 则s=12.....t=5，则s =300.
在问题(2) 中，可以发现: x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应，例如，若x=150,则y=1500;若x=205，
则y=2050;若x=310,则y=3100.
在问题(3) 中，可以发现: r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为S=π.据此可以算出r分别为10cm，20cm,30cm时，S分别为100πcm2,400πcm2，900πcm2.
新知讲解
在问题(4) 中，可以发现: x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为y=5- x.据此可以算出x分
别为3m, 3.5m，4m, 4.5m时，y分别为2 m, 1.5m, 1 m, 0.5 m,
上面4个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
新知讲解
（1）如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
新知讲解
（2）下表是我国第一至第七次人口普查的年份与人口数，其中年份与人口数可以分别记作变量 x 与 y . 对于表中每一个确定的年份 x ，都对应着一个确定的人口数 y 吗？
年份 人口数/亿
1953 6.02
1964 7.23
1982 10.32
1990 11.60
2000 12.95
2010 13.71
2020 14.43
归纳总结
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一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
“在一个变化过程中，居于主动地位的变量叫做
自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另
一个变量叫做自变量的函数.”
新知讲解
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如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
可以认为:在前面问题(1) 中，时间t是自变量，路程s是t的函数，当t=1时， 函数值s=60， 当t=2时，函数值s=120;在心电图中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数;在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x=2010时，函数值y=13.71.
典例精析
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例3.汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶路程 x(单位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
(2)指出自变量 x 的取值范围.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为
y =50-0.1x
0.1x表示什么意思？
行驶中的耗油量
= 耗油量×行驶路程
典例精析
9
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(2)仅从式子 y =50-0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即
0.1x≤50
因此，自变量 x 的取值范围是
0≤x≤500
典例精析
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（3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x，得：
y=50-0.1×200=30．
所以，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油．
归纳总结
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(1)先审题，根据题意找出等量关系，
(2)按等量关系写出含两个变量的等式；
(3)将等式变形为含有变量的代数式表示的函数的式子．
确定函数解析式的一般步骤：
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是( )
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2．下列等式中，y不是x的函数的是( )
A．3x－2y＝2 B．x2－y2＝1 C．y＝ D．y＝|x|
3.已知函数y＝3x－1，其中自变量x的取值范围是 ;当x＝3时，y的值为 .
B
全体实数
8
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.求下列函数中自变量x的取值范围．
(1)y＝； (2)y＝.
(1)解：∵2x－1＞0，∴x＞.
(2)解：∵x＋3≥0，且x＋2≠0，
∴x≥－3且x≠－2.
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，正方形ABCD的边长为4，P是DC上的一个动点且点P不与C、D重合，设DP为x，四边形ABCP的面积为y.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子;
(2)自变量x的取值范围;
(3)求当点P为DC的中点时，四边形ABCP的面积.
课堂练习
【综合拓展类作业】
解:(1)∵S四边形ABCP=S正方形ABCD-S△APD
∴y与x的函数关系为: y=16-2x
(2)自变量x的取值范围是: 0(3)如图，当点P为DC的中点时，x=2
∴y=16-2×2=12 即四边形ABCP的面积为12.
课堂总结
变量和常量
自变量、自变量的函数
函数值
自变量的取值范围
解析式
函数
板书设计
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
A.y=-x+1 B.y=2x2-1 C.y= D.=x
2.若等腰三角形的周长60cm，底边长xcm，一腰长ycm;则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（ ）
A.y=60-2x (0C.y=(60-x) (0D
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入 x 的值为 -3，则输出 y 的值为_________.
x -1
开始
输入 x
y = 2x2
y = 2x+3
输出 y
是
否
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作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4．某学校组织学生到离校6 km的光明科技馆参观，学生小明因事没能乘上校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下表：
路程 收费
3 km以下(含3 km) 8.00元
3 km以上，每增加1 km 1.80元
(1)写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)(x≥3)之间的函数关系式；
(2)小明身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：(1)y＝8＋1.8(x－3)＝1.8x＋2.6(x≥3)
(2)当x＝6时，y＝1.8×6＋2.6＝13.4＜14，
∴车费够
作业布置
【综合拓展类作业】
5.一批机器需要零件200个，每天加工20个．若设剩余量为y(个)，加工天数
为x(天)．
(1)求y(个)随x(天)变化的函数表达式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当剩余零件为120个时，加工了多少天？
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)由剩余量等于总量减加工的量，得：y=-20x+200；
(2)由剩余量是非负数，得-20x+200≥0，
解得x≤10，
由加工的天数是非负数，得x≥0，
所以自变量x的取值范围为0≤x≤10；
(3)当y=120时，200-20x=120，
解得x=4，
即当剩余零件为120个时，加工了4天.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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