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2024年中考数学模拟卷A
（成都专用）
注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列实数中，无理数的有（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2023年是中国提出共建“一带一路”倡议十周年，中国与五大洲的150多个国家、30多个国际组织签署了200多份共建“一带一路”合作文件，“朋友圈”不断扩大．据业界初步估算，“一带一路”沿线总人口约44亿，经济总量约21万亿美元，分别约占全球的和，其中数据“44亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
B．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从东方升起是必然事件
5．如图， 中，，，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
6．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是关于的一元一次方程的一个根
D．点，在抛物线上，当时，
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．分解因式： ．
10．若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为 ．
11．如图，点A在上，点G在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的面积为 ．
12．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形，关于原点O位似，其中点都在x轴上，点在上，在上，依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解方程：．
15．某果园有一种特产水梨，收获季节来临，随机抽取20棵该品种梨树并统计每棵树挂梨的个数，调查数据如下：
28，32，36，37，39，40，41，44，45，45，46，46，47，51，53，55，55，55，60，60．
将上述数据按5组进行分组，绘制不完整的统计表和统计图如下：
组名 分组 频数 频率
A 2
B
C 7 b
D
E 2
根据上述统计图表提供的数据，解答下列问题：
(1)该组数据的中位数是______、众数是______；
(2)______，______，______，请补全频数分布直方图；
(3)若该果园有该品种水梨树5000棵，请你估算其中水梨树挂梨个数在、两组的棵数．
16．某山顶有一座观光塔，山脚处有一条笔直山路直通塔底．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚处测得塔顶的仰角．，沿着山坡向上走到达点处，在处测得塔顶的仰角，已知山坡倾斜角，求塔高．
（结果精确到．参考数据：，，，，，，．）
17．如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，
①求的半径的长；
②求的长．
18．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
B卷（共50分）
一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
19．已知，，．求 ．
20．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是
21．如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为 ．
22．如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为 ．
在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
二．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．某工厂计划在规定时间内生产个零件．若每天比原计划多生产个零件，则在规定时间内可以多生产个零件．
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2)为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比个工人原计划每天生产的零件总数还多．按此测算，恰好提前两天完成个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
(3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
26．折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．
【实践操作】
操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处．
（1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）；
【迁移探究】
如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．
（2）连接，判断和的位置，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值．
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2024年中考数学模拟卷A
（成都专用）
注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列实数中，无理数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B．是无理数，故此选项符合题意
C．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2023年是中国提出共建“一带一路”倡议十周年，中国与五大洲的150多个国家、30多个国际组织签署了200多份共建“一带一路”合作文件，“朋友圈”不断扩大．据业界初步估算，“一带一路”沿线总人口约44亿，经济总量约21万亿美元，分别约占全球的和，其中数据“44亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】数据“44亿”用科学记数法表示为，
故选C．
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
B．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从东方升起是必然事件
【答案】D
【详解】解：A．如果明天降水的概率是，表示明天有降雨的可能性，故不正确；
B．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故不正确；
C．了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故不正确；
D．早上的太阳从东方升起是必然事件，正确；
故选D．
5．如图， 中，，，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：如图所示：
∵四边形是平行四边形，，，
，，
在中，由三角形的三边关系得：
即，
故选A
6．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
7．已知，，是反比例函数的图像上的三点，若，，则下列关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
∵，，
∴点，在第三象限，点在第一象限，
∴，
∴，，，，
∴选项B、C、D正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意．
故选：A
8．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是关于的一元一次方程的一个根
D．点，在抛物线上，当时，
【答案】C
【详解】
解：对称轴为直线，
，
，
，故A项错误，不符合题意；
对称轴为直线，点的坐标为，
当时，，
，
，
，
抛物线开口向上，
，
，
即，故B项错误，不符合题意；
抛物线与轴交于，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
是关于的一元一次方程的一个根，故C正确，符合题意；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，，故D错误，不符合题意；
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
10．若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为，
∵点到轴的距离与到轴的距离之和为6，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，点A在上，点G在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的面积为 ．
【答案】24
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：24．
12．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，
由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，
∴，
∵的面积为6，
∴，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形，关于原点O位似，其中点都在x轴上，点在上，在上，依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵点坐标为，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点的坐标为，
∵正方形关于原点位似，
∴正方形与的相似比为，
同理可得：正方形与正方形的相似比为，
∴正方形与正方形的相似比为，
∴正方形与正方形的相似比为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解方程：．
【答案】（），；（）．
【详解】
（）解：原式 ，
，
由，
∴当时，原式，
；
（）解： ，
，
，
解得：，
代入，
∴分式方程的解为：．
15．某果园有一种特产水梨，收获季节来临，随机抽取20棵该品种梨树并统计每棵树挂梨的个数，调查数据如下：
28，32，36，37，39，40，41，44，45，45，46，46，47，51，53，55，55，55，60，60．
将上述数据按5组进行分组，绘制不完整的统计表和统计图如下：
组名 分组 频数 频率
A 2
B
C 7 b
D
E 2
根据上述统计图表提供的数据，解答下列问题：
(1)该组数据的中位数是______、众数是______；
(2)______，______，______，请补全频数分布直方图；
(3)若该果园有该品种水梨树5000棵，请你估算其中水梨树挂梨个数在、两组的棵数．
【答案】(1)45.5，55
(2)5，，4，补全频数分布直方图见解析
(3)该果园有该品种水梨树梨个数在组由500棵，组有1250棵
【详解】（1）解：∵共有20个数据，
∴中位数为第10个，第11个的平均数，即：中位数为：；
55出现的次数最多，即：众数为55，
故答案为：45.5，55；
（2），，，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：5，，4；
（3）组的棵树：棵，
组的棵树：棵，
即：该果园有该品种水梨树梨个数在组由500棵，组有1250棵．
16．某山顶有一座观光塔，山脚处有一条笔直山路直通塔底．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚处测得塔顶的仰角．，沿着山坡向上走到达点处，在处测得塔顶的仰角，已知山坡倾斜角，求塔高．
（结果精确到．参考数据：，，，，，，．）
【答案】塔高为
【详解】
解：过点D作，垂足为，
，
，
，
即，
解得，
，即塔高为．
17．如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，
①求的半径的长；
②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【详解】（1）解：连接
是的直径，
，则，
又是的中点，
．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴的半径长为；
②在中，
∴，
连接，
，
∵是的中点，是的中点，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：．
18．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为
(2)
(3)存在，点E的坐标为或或
【详解】（1）
∵反比例函数 的图象经过、两点，
，
解得：，
，
由点M、N的坐标得，直线的表达式为：；
反比例函数表达式为，一次函数表达式为；
（2）
如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，
设，
，，
，
直线的表达式为：，
则，
，
，
解得：，
；
（3）
存在，点E的坐标为或或．
由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为，
设，
，，
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，
，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，
，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，
，；
综上所述，点E的坐标为或或．
B卷（共50分）
四．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
19．已知，，．求 ．
【答案】1
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：
20．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是
【答案】32
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，
因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3，
所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为，
故答案为：32．
21．如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，交于点，则，
由折叠可知，，
，则，
在中，，
，
由题意可知，是等边三角形，阴影部分面积等于，
连接，点为的内心，到三边的距离相等，
，
，
故答案为：．
22．如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】
解： 如图，过作交于N，连接，
∵，
∴
又∵，
∴
∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴在中， 由勾股定理可得：
∵在中，
∴当三点共线时， 有：
此时取得最小值，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
23．在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，，
∴，，
设，则：，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，则：，
∵，
∴两点重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：或．
二．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．某工厂计划在规定时间内生产个零件．若每天比原计划多生产个零件，则在规定时间内可以多生产个零件．
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2)为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比个工人原计划每天生产的零件总数还多．按此测算，恰好提前两天完成个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【答案】(1)原计划每天生产零件个，规定的天数是天
(2)原计划安排的工人人数为人
【详解】（1）解：设原计划每天生产零件个，由题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
规定的天数为天．
答：原计划每天生产零件个，规定的天数是天；
（2）设原计划安排的工人人数为人，由题意得，
解得，．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为人．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
(3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)或或或或
【详解】（1）解：在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，解得，，
∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
（3）∵抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
在（2）的条件下，
∵点E位于对称轴左侧，
∴，
∵点M是抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵，
∴， ，，
①当为菱形的边时，，即，，
∴，
∴，
∴或；
②当为菱形的对角线时，，即，
∴，
解得，
∴；
③当，即，
∴，
∴或，
∴或；
综上所述，M的坐标为或或或或
26．折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．
【实践操作】
操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处．
（1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）；
【迁移探究】
如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．
（2）连接，判断和的位置，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值．
【答案】（1），，，（写出一个即可）；（2），理由见解析；（3）
【详解】（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
，，
沿折叠，使点落在上的点处，
，，
，
在中，，，
；
，
，
；
故答案为：，，，（写出一个即可）；
（2）如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，
∴，，
在中，
∴
∴，
∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
（3）设
∴
∵是的中点，
∴
∵，
∴
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴
∵折叠，
∴,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴．
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