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2024年中考数学模拟卷C
（成都专用）
注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在某校举办的“中学生钢笔字书写”比赛中，有15名同学参加比赛，初赛成绩各不相同，要取成绩前7名的同学参加决赛，小亮已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这15名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．以上都不对
4．下列四个图中，不是正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，，，是上的点，，与交于点，，，，的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．计算的结果是 ．
10．已知点 在反比例函数的图象上，则 ．（用“”，“”或“”连接）
11．我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约平方千米，用科学记数法可表示为 ．
12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是 ．
13．如图， 在中，，点， 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组并写出它的整数解．
15．为了更好的了解孩子们的体育水平，全力备战中考，某校体育组从初三年级体考成绩中随机抽查了20名男生和20名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
20名男生的体考成绩（单位：分）：50，50，50，49，49，49，48，47，47，46，46，46，46，45，44，44，43，42，40，39；
20名女生的体考成绩为等级的数据是：46，46，46，47，47，45，46．
所抽取的学生体考成绩统计表
性别 平均数 中位数 众数
男 46 46
女 48
所抽取的20名女生的体考成绩扇形
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中______，组圆心角度数______．
(2)根据以上数据，你认为该校男生的体育成绩好还是女生的体育成绩好？请说明理由（一条即可）；
(3)该校初三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，估计初三年级参加测试的学生等级为的共有多少人？
16．如图，小明所在的数学兴趣小组用自制的测倾器在学校教学大楼前的广场上点D处测得楼顶A的仰角为，大楼顶端悬挂了一幅励志条幅，小明他们后退到点C处，测得条幅底端B的仰角为，若已知条幅长，测倾器，试求大楼的高度．
（参考数据，，，结果精确到）
17．如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴交于，两点，反比例函数的图象与直线交于，两点，连结，，分别过点，作轴的垂线和，交于点．
(1)若点的横坐标为12，求的面积；
(2)若阴影部分的面积为12，
①记的面积为，的面积为，求证：；
②求的值．
B卷（共50分）
一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
19．已知实数满足则的值为 ．
20．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
21．如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则 ．
22．矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．
23．如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ．
二．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．2023年春季进入甲流高发期，保山市某学校购进，两种消毒液，用于预防甲流病毒．购买8桶消毒液和6桶消毒液，则一共需要430元；若购买7桶消毒液和9桶消毒液，则一共需要470元．
(1)每桶消毒液、每桶消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买，两种消毒液共50桶，其中消毒液的数量至少比消毒液的数量多4桶，又不大于消毒液的数量的2倍少4桶，怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
25．如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象，与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为m．
(1)求出点A、点B的坐标和该二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接．
①求出直线的函数表达式（用含有的代数式表示）；
②设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值；
(3)如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
26．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）【问题发现】：如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是___________．
（2）①【问题探究】：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为___________；线段与之间的数量关系是___________．
②【问题探究】：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，在四边形中，，求四边形面积的最大值．
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2024年中考数学模拟卷C
（成都专用）
注意事项：全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每题4分，共32分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，
∴，
∴最小的是
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．在某校举办的“中学生钢笔字书写”比赛中，有15名同学参加比赛，初赛成绩各不相同，要取成绩前7名的同学参加决赛，小亮已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这15名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．以上都不对
【答案】B
【详解】根据中位数是数据的中间数据回中间两个数据的平均数，
故选B．
4．下列四个图中，不是正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：A图中每个面都有对面，故A不符合题意；
B图中中间层的中间的面没有对面，故D符合题意；
C图中每个面都有对面，故C不符合题意；
D 图中每个面都有对面，故B不符合题意；
故选：B．
5．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：四边形为矩形，
∴，，，
，，
，
，
∵，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意得：，
故选：D
7．如图，，，，是上的点，，与交于点，，，，的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：连接，，，设交于点H，如图：
，
，
，
，即，
解得，
，即是的中点，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
解得．
故选：A．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【详解】由图象开口向上可得：
由于图像与轴交于负半轴，可知：
根据对称轴公式：可知：
，故①正确
抛物线过点
即：，故②正确
当时，取得最小值
（为任意实数），故③错误
抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且
则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离
根据图像可知：，故④正确．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．计算的结果是 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
10．已知点 在反比例函数的图象上，则 ．（用“”，“”或“”连接）
【答案】
【详解】解：把点、分别代入得
，，解得，
∴
故答案为：．
11．我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约平方千米，用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【详解】
解：用科学记数法可表示为．
故答案为：．
12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是 ．
【答案】
【详解】
解：设该店销售额平均每月的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：．
13．如图， 在中，，点， 是射线上一动点，，且，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：取中点H，连接交于点G，连接，
当时，有最小值，
点H是中点，，
是等腰三角形，
，
是定值，有最小值时，
即有最小值，则有最小值，
，
，
设中点为O，
，
点在以点O为圆心为直径的圆上，
，
，
此时点B在圆O上，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组并写出它的整数解．
【答案】（1）1；（2），其整数解为：0，1，2
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，其整数解为：0，1，2．
15．为了更好的了解孩子们的体育水平，全力备战中考，某校体育组从初三年级体考成绩中随机抽查了20名男生和20名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
20名男生的体考成绩（单位：分）：50，50，50，49，49，49，48，47，47，46，46，46，46，45，44，44，43，42，40，39；
20名女生的体考成绩为等级的数据是：46，46，46，47，47，45，46．
所抽取的学生体考成绩统计表
性别 平均数 中位数 众数
男 46 46
女 48
所抽取的20名女生的体考成绩扇形
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中______，组圆心角度数______．
(2)根据以上数据，你认为该校男生的体育成绩好还是女生的体育成绩好？请说明理由（一条即可）；
(3)该校初三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，估计初三年级参加测试的学生等级为的共有多少人？
【答案】(1)，
(2)女生，见解析
(3)624人
【详解】（1）男生中数据46出现的次数最多，故众数为46，
故；
根据题意，得人，B类有7人，故中位数是第10个数据45，第11个数据46 的平均数，
∴ ，
故，
B组的圆心角为，
故答案为：，．
（2）我认为该校女生的体育成绩好，
理由如下：因为男生体育成绩的中位数是46．
小于女生体育成绩的中位数是47．
（3）三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，
故男生为人，女生数为640人，
样本中，男生、女生体育成绩等级为的占比分别为：，
∴人，
答：估计初三年级参加测试的学生等级为的共有624人．
16．如图，小明所在的数学兴趣小组用自制的测倾器在学校教学大楼前的广场上点D处测得楼顶A的仰角为，大楼顶端悬挂了一幅励志条幅，小明他们后退到点C处，测得条幅底端B的仰角为，若已知条幅长，测倾器，试求大楼的高度．
（参考数据，，，结果精确到）
【答案】该大楼高度为
【详解】过点F作于点G，
依题意得：
设，则，
在中，
在中，
又，
，
解得：，
，
答：综上所述，该大楼高度为．
17．如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）
证明：证明：连接，则，
，
于点，
，
，，且，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）
解：作于点，则，
，
，
，
的半径为5，
，
，
，
，
，
，
的长是．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴交于，两点，反比例函数的图象与直线交于，两点，连结，，分别过点，作轴的垂线和，交于点．
(1)若点的横坐标为12，求的面积；
(2)若阴影部分的面积为12，
①记的面积为，的面积为，求证：；
②求的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【详解】（1）
解：当时，，得点的坐标为，
把代入，即：，解得：，
∴直线的函数表达式为，
令，得：，解得：，得点的坐标为，
∴,
故答案为：的面积为，
（2）
解：①∵点，在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵阴影部分的面积为12，
∴，即，
∴．
②设点，点，
由直线，得：，，
在中，，
∴在中，，
如图，过点作轴于点，则，
∴在中，，
在中，，即，
∵，整理得，
∴，即，
∴，
由①可知，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
把代入，得，解得：，
故答案为：①；②．
B卷（共50分）
一．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
19．已知实数满足则的值为 ．
【答案】2或
【详解】解：∵
∴
先记
∴
∵
∴
则
∴或
综上：
当时，
∴
∴，负值已舍去；
当时，
∴
∴，负值已舍去；
当时，
∴
∴，负值已舍去；
综上：2或
故答案为：2或
20．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
【答案】
【详解】解：
去分母得：，
去括号得；，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
21．如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则 ．
【答案】/
【详解】
解：和的平分线交于点，
，．
，
．
，
．
同理可得：，
．
．
故答案为：
22．矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
故答案为：
23．如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．即，
∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最短时，最短、最长，
易得当时，最短、最长，此时，
∴，
∴．
故答案为：
二．解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．2023年春季进入甲流高发期，保山市某学校购进，两种消毒液，用于预防甲流病毒．购买8桶消毒液和6桶消毒液，则一共需要430元；若购买7桶消毒液和9桶消毒液，则一共需要470元．
(1)每桶消毒液、每桶消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买，两种消毒液共50桶，其中消毒液的数量至少比消毒液的数量多4桶，又不大于消毒液的数量的2倍少4桶，怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)每桶消毒液35元，每桶消毒液25元
(2)设购买消毒液27桶，则购买消毒液23桶，总费用最少为1520元
【详解】（1）解：设每桶消毒液的价格是x元、每桶消毒液的价格是y元，根据题意得：
，解得：，
答：每桶消毒液35元，每桶消毒液25元；
（2）解：设购买消毒液a桶，则购买消毒液桶，总费用为w，
根据题意得：，
解得：；
需总费用为：，
，
w的值随a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
则（桶）
答：设购买消毒液27桶，则购买消毒液23桶，总费用最少1520元．
25．如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象，与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为m．
(1)求出点A、点B的坐标和该二次函数的表达式；
(2)连接，过点作轴于点，交于点，直线交轴于点，连接．
①求出直线的函数表达式（用含有的代数式表示）；
②设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值；
(3)如图2，若直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点，直线，分别交直线于点、．在点运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②的最大值为
(3)为定值，定值为8
【详解】（1）
解：二次函数、、为常数，且的图象，与轴交于、两点点在点左侧），其函数表达式可以变形为的形式，
，，
把点代入得，，
，
二次函数的表达式为，
即；
（2）
解：①点为该抛物线在第一象限内的一点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数表达式为；
②，，
直线的解析式为；
轴于点，交于点，
，
在中，当时，，
，
，
轴，
∴，
四边形是矩形，
；
即关于的函数关系式为；
，
的最大值为；
（3）
解：为定值，
抛物线的对称轴为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
故为定值，定值为8．
26．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）【问题发现】：如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是___________．
（2）①【问题探究】：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为___________；线段与之间的数量关系是___________．
②【问题探究】：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，在四边形中，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①，；②，理由见解析；（3）
【详解】
解：（1）∵D是等边的边上的一动点，
∴当时，有最小值，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：；
（2）①∵和均是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
②，理由如下：
同（2）①的方法得，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
（3）将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接，如图4，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当C，B，E三点共线时，最大，
∴的最大值是9，
过A作于H，
∴，
∴，
∴四边形面积的面积，
故四边形面积的最大值为．
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