数学参考答案
BABDACDB
AD BC ABC ACD
13. 1 14. -4 15. 16.
17.【详解】（1）由题意，解得；
（2）由题意．
18.【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
化为，解得.
19. 解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)根据正弦定理得：
解得
在中，为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
20. （1）
，故；
(2)因为，向左平移个单位长度，
得到，
故要使，需满足，解得，故的解集为
21（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
22. （1）因为
，
所以，函数存在相伴向量，，
所以，与共线的单位向量为或
.
（2）的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以，当，即时，有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以，的取值范围为.
试卷第1页，共3页2023-2024 学年高一年级下学期第一次月考试卷
数学
满分：150 分 时量：120 分钟
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．）
1. ABC 的三内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c ，若 a2 b2 c2 ab，则角C的大小是
（ ）．
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
2 * . 已知 a,b R， i是虚数单位，若 a i 2 bi，则 (a bi)2 （ ）
A. 3 4i B. 3+4i C. 5 4i D. 5 4i
3．已知扇形的周长为8cm，圆心角为 2rad，则此扇形的面积是（ ）
A． 2cm2 B． 4cm2 C．6cm2 D．8cm2
4．在 ABC中，角 A,B,C
的对边分别为 a,b,c，且 a 1，b 3， A ，则 B 6
5 2
A． B． C． 或 D． 或
6 3 6 6 3 3
cos
5 *
2
. 化简 sin 2 cos 2
sin 5 2
A. sin2 B. sin C. sin2 D. sin
6 * . 设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，若bcosC ccosB asin A，那么 ABC一
定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
r
7. 已知向量 a 1,2 ，b 1, 3 ，则下列命题中错误的是（ ）
r r r A. a b a B. 2 5 5与向量a垂直的一个单位向量是 ( , )5 5
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{#{QQABIQiEogCoAIAAARhCQQkQCEEQkACAAIoOQFAIIAAAiBFABAA=}#}
C. a b 5 D. 10
向量 a在向量b上的投影向量是 b
2
8. 在 ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，b ccosA，S ABC 12，点 P为线段 AB上一
点，CP x
CA CB
y
CA CB ，则
xy的最大值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）
9 * . 已知复数 z0 2 i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为 P0，复数 z满足 z 3，下列结论
正确的是（ ）
A. P0点的坐标为（2，1）
B. 复数 z0 的共轭复数对应的点与点 P0关于虚轴对称
C. 复数 z对应的点 P在一条直线上
D. P0与复数 z对应的点 P间的距离的最小值为3 5
10 * . 3计算下列各式，结果为 的是（ ）
2
A. sin15 cos15 B. cos215 sin215 C. tan 30 D. 1 tan15
1 tan2 30 1 tan15
11. 已知函数 f (x) sin x 3 cos x，则（ ）
A. f (x)的最大值为 2
π
B. 函数 y f (x)的图象关于点 , 0 对称
3
5π
C. 直线 x 是函数 y f (x)图象的一条对称轴
6
π
D. 函数 y f (x)
在区间 , 0 上单调递
2
12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地
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{#{QQABIQiEogCoAIAAARhCQQkQCEEQkACAAIoOQFAIIAAAiBFABAA=}#}
称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O是 ABC内一点， BOC ， AOC ， AOB的面积分别
为 SA， SB， SC，且 SA OA SB OB SC OC 0．设O是锐角 ABC内的一点，
∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A. 若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3
5π
B. 若 OA OB 2 AOB 9， ，
6 2OA 3OB 4OC 0
，则 S ABC 2
π
C. 若 O为 ABC的内心，3OA 4OB 5OC 0 ，则 C 2
D. O ABC cos AOB 10若 为 的垂心，OA 2OB 3OC 0，则
10
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13. 已知复数 z sin π i cos π ，则 z ________．
3 3
r
14. 已知向量 a 2,3 ，b m, 6 ，若 a∥b，则 m=________．
b c
15. 设锐角 ABC的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 B 2A，则 的取值范围
a
是 .
f x 4cos π x 16. 将函数 图象与直线 g(x) x 1的所有交点从左到右依次记为 A，
2 1
A2，… An，若 P点坐标为（0，1），则 PA1 PA2 PAn ________．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分 10分）已知复数 z m2 m (m 1)i,m R ，i为虚数单位．
2i
（1）当 z是纯虚数时，求 m的值； （2）当m 1时，求 ．
z
2π18．（本小题满分 12分）已知平面向量 a,b 满足 a =4, b 8,a与b的夹角为 ．3
(1)求 a b ； (2)当实数 k为何值时， a kb ka b ．
19. （本小题满分 12分） 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛 A 北偏东
75 距离 60海里处，小岛 B北偏东15 距离30 3 30海里处有一个小岛 C.
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（1）求小岛 A到小岛 C的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛 A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
1
20. （本小题满分 12 2分）已知函数 f x cos x sinxcosx ．
2
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）将 f x π的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y g x 的图象，求不等式 g x 0的解
4
集．
21．（本小题满分 12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：
“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利
给出了解答，当 ABC的三个内角均小于120 时，使得 AOB BOC COA 120 的点O即为
费马点；当 ABC有一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下
面问题：已知 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且
cos2B cos2C cos2A 1
(1)求A；
(2)若bc 2，设点 P为 ABC的费马点，求 PA PB PB PC PC PA
22. （本小题满分 12分）定义非零向量OM a,b 的“相伴函数”为
f x a sin x b cos x x R ，向量OM a,b 称为函数 f x a sin x b cos x x R 的
“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
h x 3 cos x π 3cos π （1）设 x
x R ，请问函数 h x 是否存在相伴向量6 3 OM ，
若存在，求出与OM 共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
M a,b b（2）已知点 满足： 0, 3 ，向量OM 的“相伴函数” f x 在 x x0处取得最大值，a
求 tan 2x0的取值范围．
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