机密★启用前
2024年上学期高二3月大联考
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号黑，知有改动，用缘
皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无放。
3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目
要求的，
1.已知集合A={x|√x-I≤2}，B={y|-y2+3y>0},则A∩B=
A.0
B.(0,3)
C.(0,5]
D.[1,3)
2.已知z(2+i)=5,则|z|=
A.2
B.√5
c.5
D.4
3.过A(1,2),B(3,2),C(1,一6)三点圆的标准方程为
A.(x+2)2+(y+2)2=9
B.(x-1)2+(y+2)2=17
C.(x-1)2+(y+1)2=9
D.(x-2)2+(y+2)2=17
4某次公益教育活动中有三个班级的授课任务，现有甲、乙、丙、丁4名老师报名参加，每个班级仅需
要1名老师，每名老师最多在一个班级授课，若甲不能到第一个班级授课，则不同的安排方法共有
A.18种
B.32种
C.22种
D.36种
5.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a3=1,a,十a5=6,则S6=
A号
B.14
c
063
2
6杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家
1
杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，其分布规律如图所示，
121
记图中第i行第j列的元素为a,则a1o,6的值为
1331
14641
A.210
B.84
15101051
C.126
D.106
1615201561
172135352171
7近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度y(单
3
位：米)与其存活时间x(单位：年)近似满足函数模型：y=1十2(x∈N).当该种果树的根茎长
度大于29米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养料从而进人“稳定期”，则该种果
树从栽种开始至少需要几年才能进人“稳定期”
A.4
B.5
C.6
D.7
【高二数学试题第1页（共4页）】
可
0000000２０２４年上学期高二３月大联考 数学
参考答案、提示及评分细则
１．【答案】D
【解析】由题意可得A＝{x|１≤x≤５},B＝{y|０＜y＜３},故A∩B＝[１,３),故选D．
２．【答案】B
( )
【解析】由题意可得 ５ ５２－iz＝ ,故 ２ ( )２ ,故选２＋i＝(２＋i)(２－i)＝２－i z ＝ ２－i ＝ ２ ＋ －１ ＝ ５ B．
３．【答案】D
【解析】解 法 一:易 知 △ABC 是 直 角 三 角 形,∴ 外 接 圆 的 圆 心 为 斜 边 BC 的 中 点 (２,－２),半 径r＝
(１－２)２＋(２＋２)２ ＝ １７,∴其标准方程为(x－２)２＋(y＋２)２＝１７,故选D．
解法二:设圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２＋E２－４F＞０) ,
ì１＋４＋D＋２E＋F＝０
则 í９＋４＋３D＋２E＋F＝０,∴D＝－４,E＝４,F＝－９,∴x２＋y２－４x＋４y－９＝０,其标准方程为(x－２)２＋
１＋３６＋D－６E＋F＝０
(y＋２)２＝１７,故选D．
４．【答案】A
【解析】若甲老师去第一个班级授课,则不同的安排方法有C２ ２３A２＝６种,若对甲老师授课班级不限制,则不同的安
排的方法有C３A３４ ３＝２４种,故安排方法共有２４－６＝１８种,故选 A．
５．【答案】C
a１q２＝１ ì １ １ a
ì
１＝ a１＝【解析】记等比数列{an}的公比为q(q≠０),由题可知{ ,解得 í ４或 í ９(舍去),所以S６＝a１q３＋a１q４＝６ q＝２ q＝－３
１( ６)
４ １－２ ６３
＝ ,故选１－２ ４ C．
６．【答案】C
( )!
【解析】由已知可得 j－１ i－１ai,j＝Ci－１＝( , ,故选i－j)! (j－１)!
∴a１０,６＝１２６ C．
７．【答案】C
【解析】易知 ３ ( )在[, )上单调递增, () ３ ４８ ３ ３２y＝１＋２－x＋１ x∈N ０ ＋∞ f ５ ＝ －４＝
, () ,
１＋２ １７＜２．９f ６ ＝１＋２－５＝１１＞２．９
即f(５)＜２．９＜f(６),所以至少需要６年才能进入“稳定期”．故选C．
【高二数学试题参考答案 第 １ 页(共５页)】
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８．【答案】A
【解析】以正方体一面中心为原点建立如图所示坐标系,旋转后公共部分为棱柱,底面积
为两个正方形公共部分的面积(图中阴影部分为例),由对称性知S底 ＝４SABCDO,由图可
知直线l倾斜角为 π－α,设l:y＝－tanαx＋m,m＞０,则点 O 到l 的距离为d＝
m
＝１,
１
∴m＝ ,∴l:y＝(
１ １－cosα
－tanα)x＋ ,∴B ( ,１) ,∴C (１,
１＋tan２α cosα cosα sinα
１－sinα ,
cosα )
１ ( １－cosα) ( sinα ) sinα＋cosα－１∴SABCDO＝１－２ １－ ,sinα １－cosα ＝ sinαcosα
sinα＋cosα－１ ２０ sinα＋cosα－１ ５
∴V共 ＝２×４SABCDO＝８ ,sinαcosα ＝３ ∴ sinαcosα ＝６．
令 ,则 １
(
(２ ２t－１
) ２ ５ ７
sinα＋cosα＝t sinαcosα＝２t －１
),∴ ,故选t２－１ ＝t＋１＝６ t＝５ A．
９．【答案】BC
２ ２
【解析】因为f(x)的最大值为 ３,所以 ( １a－２ ) (
３
＋ ２ )
３ ３
＝３,解得a＝２,故 A错误;f(x)＝２sinx＋ ２cosx＝
π π π π π π ５π
３sin(x＋ ) ,x∈ ( － , 时, , ,是 的增区间,故 正确; ,故６ ３ ３ ) x＋６∈ ( －６ ２ ) y＝sinx B f ( ６ ) ＝ ３sinπ＝０
正确;令 π π πC x＋６＝２＋kπ
,k∈Z,可得曲线y＝f(x)的对称轴方程为x＝ , ,故 错误３＋kπk∈Z D ．
１０．【答案】ABD
【解析】因为第４项与第５项的二项式系数相等,所以C３n＝C４n 解得n＝７,故 A正确;
７
令x＝１,可 得 展 开 式 中 所 有 项 的 系 数 和 为
３
２７ ＝１２８,故 B 正 确;在 ( －x ) 中,第x r＋１ 项 Tr＋１ ＝
１ ７－r
Cr７３７－r ( ) (－x)r＝Cr３７－r (－１)r x２r－７７ ,取 ７x ２r－７＝０,即r＝ N,所以不存在常数项,故２ C错误;
取２r－７＝５,即r＝６,所以T７＝C６３１７ (－１)６ x５＝２１x５,所以x５ 的系数为２１,故D正确,故选 ABD．
１１．【答案】AC
{x＝u＋１ x＝u＋v【解析】令 ,则E１ 转化为 ２ uu －v２＝１,其形状为双曲线,故 A正确;令{ ,则E２ 转化为v２＝ ,y＝v y＝u－v ２
{x＝u＋v
ìu＝m( )２
, ; , 其形状为抛物线 故B错误 令 则E３ 转化为 ２
２v＋１
４u ＋ ＝１,再令 í １,则曲线E３ 转化为
y＝u－v ２ v＝n－ ２
x＝u＋v ２
４m２＋２n２＝１,其形状为椭圆,故C正确;令{ ,则E４ 转化为( １ ３＋a２＋a)(u＋ ( )２ ,当y＝u－v ２＋a) ＋ ２－av ＝２＋a
【高二数学试题参考答案 第 ２ 页(共５页)】
{#{QQABAQKAgggAAJAAABhCQQXwCkMQkBAAACoORFAMIAAASQFABAA=}#}
ì １
,
m＝u＋
a＝－２或a＝２时均不符合题意 再令 í ２＋a,则 转化为(
３＋a
E４ ２＋a)m２＋(２－a)n２＝ ,若a＝－３,
２＋a
n＝v
则５n２－m２＝０不为双曲线;若a≠－３,则(２＋a)(２－a)＜０,则有a＞２或a＜－２,综上a 的取值范围是
(－∞,－３)∪(－３,－２)∪(２,＋∞),故D错误,故选 AC．
１２．【答案】９
【解析】将样本数据从小到大排列为５,７,１１,１２,２３．因为其中５×４０％＝２,所以４０％分位数为从小到大排列的
第２个数和第
７＋１１
３个数的平均数,即为 ＝９,故答案为２ ９．
１３．【答案】２
６x (１＋x２)２ ( )【解析】由题意可得 １－xf′(x)＝ ( ,１＋x３)３ x＞０．
令f′(x)＞０,解得x∈(０,１);令f′(x)＜０,解得x∈(１,＋∞),
故f(x)在区间(０,１)上单调递增,在(１,＋∞)上单调递减,
所以f (x)max＝f(１)＝２,故答案为２．
１４．【答案】７７４
【解析】本题考查学生在具体情景下对排列组合多情况分类讨论以及计算能力,根据给出的考场排布图可以看
出位置与位置之间具有共性,是可以等效的,所以分三种情况:①１、３０、８、９、２４位置等效,有C１５ C１２７＝１３５种情
况．②位于边界但不处于①中位置的位置等效,有C１ １１４C２６＝３６４种情况．
③不位于①②所说位置的位置等效,有C１１１C１２５＝２７５种情况,全部相加得到答案为７７４种．
１５．【解析】(１)由已知得sin( πA－６ )
π
＝cos(π－A),即sin(A－ , 分６ ) ＝－cosA ３
即 π π ３ ５πsinAcos６－cosAsin６＝－cosA
,即tanA＝－ ,因为A∈(０,π),所以A＝ ． 分３ ６ ６
b２()由余弦定理得, ＋c
２－a２ １３c２－１９ ３
２ cosA＝ ,解得 , 分２bc ＝ ＝－ c＝１ １０４３c２ ２
由正弦定理得, １ １asinC＝csinA＝１× ＝ ． ２ ２ １３
分
ìa１ a＋１＝ １
＋a２
１ ２ a１＝１
１６．【解析】(１)由题意知 í ,解得 ． ４分
a１ １ a ＋a {１ ２ a２＝３
a１＋１＋２＝a２＋１
S
故 n＝１＋(n－１),所以Sn＝n２,an＝Sn－Sn－１＝２n－１(n≥２),又a１＝１也满足,故an＝２n－１． n ７
分
注:如果考生只代入n＝１,２的特殊情况得出答案,最多得４分．
(２)由(
１ １ １ １ １ １
１)得 ＝ × , 分
(an＋３)Sn ２ n(n＋１)
＝２ (n－n＋１) ９
【高二数学试题参考答案 第 ３ 页(共５页)】
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累加可得得 １ １ １ １ １ １＋ ＋ ＋ ＝ １－ ＜ ． １５分
(a１＋３)S１ (
( )
a２＋３)S２ (an＋３)Sn ２ n＋１ ２
１７．【解析】(１)证明:连接DH,HC１,DE,EC１,AH,设AH 与A１G 交于点I．易知四边形
DEC１H 为平行四边形; ２分
因为在四边形AGHA１ 中,AH 与A１G 交点I为AH 中点,F 为AD 中点,
所以IF 为△ADH 的中位线,所以EC１∥DH∥IF; ５分
因为IF 平面A１GF,C１E 平面A１GF,所以C１E∥平面A１GF． ７分
(２)以H 为原点,B１C→１方向为x 轴,AB→方向为y 轴,A →１A方向为z轴,建立如图所示
的空间直角坐标系．则G(０,０,２),A１(０,－ ３,０),
１
F( ,２ － ３
,２),
１
GF→＝( ,－ ３,０),A１G→＝(０,３,２); ９分２
设平面A１GF 的法向量n＝(x,y,z),
ì １
n GF
→＝２x－ ３y＝０则 í {令y＝２,得x＝４３,z＝－ ３,所以n＝(４３,２,－ ３); １１分
→ n A１G＝ ３y＋２z＝０
易知平面ABCD 的一个法向量m＝(０,０,１), １３分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 |m n| １６５A１GF ABCD θ cosθ＝ ,|m||n|＝ ５５
所以平面A１GF 与平面ABCD 夹角的余弦值为
１６５
５５ ．
１５分
１８．【解析】(１)证明:由题意,设f(x)＝xα,g(x)＝xβ．
由f(２)g(３)＞f(３)g(２),得２α ３β＞３α ２β． ２分
方法一:
( ２ )α则 ( ２ )β x＞ ,因为函数y＝ ( ２ ) 单调递减,所以α＜β． ４分３ ３ ３
方法二:
则２α－β＞３α－β,由幂函数y＝xα－β的性质可知,α－β＜０,所以α＜β． ４分
u(x)＝f(x)
１ １ １ １
＋g(x)．因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f( －２ ) ＝f( ２ ) ,g( －２ ) ＝－g( ２ ) ,
则 ( １ ) ( １ １ １u －２ ＝f ２ ) －g( ２ ) ＝ ( ２ )
α
－ ( １ )β １ α １ β １２ ．因为α＜β,所以 ( ,因此 分２ ) ＞ ( ２ ) u( －２ ) ＞０． ７
(２)因为f(２)＝２α＝４,所以α＝２,u(x)＝f(x)－h(x)＝x２－lnkx．显然k≠０． ８分
当 时,( )的定义域为(, ), ( ) k １ ２x
２－１ ２
k＞０ ux ０ ＋∞ u′x ＝２x－ ＝２x－ ＝ ,令kx x x u′
(x)＝０解得x＝ (负根舍２
【高二数学试题参考答案 第 ４ 页(共５页)】
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去)当 ２ ２． ０＜x＜ 时,u′(x)＜０;当x＞ 时,u′(x) 所以 ( )在 ( ,２ ２＞０． ux ０ 单调递减,在 , 单调递增,２ ２ ２ ) ( ２ ＋∞ )
故u(x)的最小值为u( ２) １ ２k＝ －ln ． 分２ ２ ２ １１
因为u(x)
１ ２k
≥０,所以 －ln ≥０,解得k≤ ２e,所以０＜k≤ ２e符合题意． 分２ ２ １２
２
当k＜０时,u( )的定义域为(
k １ ２x －１ ２
x －∞,０),u′(x)＝２x－kx＝２x－ ＝
,令u′(x)＝０解得 (正根x x x＝－ ２
舍去)当 ２时, ( ) ２ ２ ２． x＜－２ u′x ＜０
;当－２＜x＜０
,u′(x)＞０．所以u(x)在 ( －∞,－ 单调递减,在 ,２ ) ( － ２ ０)
单调递增,故u( )的最小值为 ( ２) １ ( ２kx u － ＝ －ln － ) ．因为u(x)≥０,所以１ ２k２ ２ ２ ２－ln( － ) ≥０,解得２ k≥
－ ２e,所以－ ２e≤k＜０符合题意．综上所述,k的取值范围为[－ ２e,０)∪(０, ２e]． １７分
１９．【解析】(１)因为准线方程为x＝－１,所以p＝２,所以E 的方程为y２＝４x． ３分
(２)设B(x１,y１),A(x２,y２),y１＜y２,由 BP ＝３ AP 可得１－y１＝３(y２－１),所以y１＋３y２＝４, ５分
设l :x＝my＋n ,l :x＝m y＋n ,联立y２１ １ １ ２ ２ ２ ＝４x 和x＝my＋n ,得y２１ １ －４m１y－４n１＝０．
{y１＋y２＝４m１,所以y１＝４m１－y２, ８分y１y２＝－４n１
y１＝６m１－２,
又因为y１＋３y２＝４,所以４m１＋２y２＝４,{ ,y１y２＝－４n１＝(２－２m１)(６m１－２),y２＝２－２m１,
又由n１＝t－m ２１,可化简得－３m１＋３m１＋t－１＝０, １０分
同理可得－３m２２＋３m２＋t－１＝０,所以m１ 和m２ 是方程－３m２＋３m＋t－１＝０的两个根,
所以 １－tm１＋m２＝１,m１m２＝ ,３ x１＋x２＝m１
(y１＋y２)＋２t－２m ＝４m２１ １－２m１＋２t, １２分
xM ＝２m２１－m１＋t,同理得xN ＝２m２２－m２＋t,yM ＝２m１,yN ＝２m２,所以yM ＋yN ＝２(m１＋m２)＝２,所以yQ＝
１,点Q 在定直线y＝１上． １４分
yM －yN ２m１－２m２ ２kMN ＝ ,xM －x ＝ ２ ２ ＝ ＝２N ２m１－m１＋t－２m２＋m２－t ２(m１＋m２)－１
所以直线MN 的斜率为定值２． １７分
【高二数学试题参考答案 第 ５ 页(共５页)】
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