四川省眉山市东坡区眉山北外附属东坡外国语学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·东坡开学考）已知集合A＝{x∈N|-1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（ ）
A．A＝B B．B A C．A∈B D．A B
2．（2022高二上·云南期中）命题：，.命题：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．是假命题
B．：，
C．是假命题
D．：存在一个大于2的质数不是奇数
3．（2024高一下·东坡开学考）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·东坡开学考）设，下列说法中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·东坡开学考）设，，则
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·东坡开学考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·东坡开学考）已知，若，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2024高一下·东坡开学考）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一下·东坡开学考）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·南阳期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
11．（2023·） 已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为16
12．（2024高一下·东坡开学考）若满足对任意的实数，都有（a）（b）且（1），则下列判断正确的有
A．是奇函数
B．在定义域上单调递增
C．当时，函数
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一下·东坡开学考）换算：180°＝ rad。
14．（2024高一下·东坡开学考）幂函数在上单调递减，则的值为 ．
15．（2024高一下·东坡开学考）若，则 ．
16．（2024高一下·东坡开学考）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024高一下·东坡开学考）
（1）求值：；
（2）已知，求值：.
18．（2024高一下·东坡开学考）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（2024高一下·东坡开学考）已知α是第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求；
（3）若，求.
20．（2024高一下·东坡开学考）某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.
（1）若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度；
（2）若车流速度v不小于40千米/小时.求车流密度x的取值范围.
21．（2024高一下·东坡开学考）已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．
（1）；
（2）求证：在R上为增函数；
（3）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．
22．（2024高一下·东坡开学考）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求正实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的表示方法；集合间关系的判断
【解析】【解答】解： 因为B＝{0，1，2，3，4，5}，
所以 A B .
故答案为：D.
【分析】先用列举法求出集合A，然后根据子集定义即可求解.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】若，则，所以是真命题，A不符合题意；
：，，B不符合题意；
是真命题，C不符合题意；
：存在一个大于2的质数不是奇数，D符合题意；
故答案为：D
【分析】首先判断出，的真假，然后写出它们的否定，即可选出答案.
3．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为.
故答案为：A.
【分析】先根据，得到的大小，然后根据不等式基本性质即可判断三者大小.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，因为x2> 1的解集为(-∞，-1)U(1，+∞)，
所以“”是“”的充分不必要条件 ，故A正确.
对于B，“xy = 0”时，“”不一定成立，反之“”成立时，“xy = 0’一定成立，所以“xy=0”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，“x >1，y>1”时，“x+y>2，xy > 1”一定成立，反之“x+y>2，xy > 1”成立时，
x > 1，y> 1不一定成立，如x=，y=4，所以“x>1，y>1"是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，当x=1，y=-2时，满足“x> y”，但不满足当x=-2，y=-1时，满足“”，但不满足x> y，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据充分不必要条件 、 必要不充分条件 、充要条件的定义逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为.
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据对数运算性质先得，，从而得即可.
6．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：用锯去锯这木材，若锯口深CD=2-，锯道AB = 2，
设圆的半径为r，则OD=r-CD=r-(2-)，AD=AB=1
由勾股定理可得OD + AD = 0A ，即[r - (2 - )] + 1 =r ，所以r = 2，
所以OA=OB = 2，AB=2，所以∠AOB=，
所以.
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理求出半径，进而判断三角形AOB为等边三角形，求得∠AOB，利用扇形面积、三角形面积公式，即可求出弓形面积.
7．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数的值
【解析】【解答】解：因为当x > 1时，f(x)= 2 f(x -1)+1，
所以f(9) = 2 f(8) +1= 2 (2f (7)+1)+1= 4f(7) + 3 = 8 f (6) +7= 16 f(5)+15
= 32 f(4) + 31 = 64f (3) + 63 = 128 f（2）+127 = 256f(1)+255
又f(1)= 2，所以f(9) = 2 x 256 +255 = 767，所以f(10) = 2 f (9) +1=1535，
f(11) = 2 f(10)+1=3071， f(12) = 2f (11) +1= 6143，
所以若f(n)< 2022(n ∈ N+)，则n的最大值为10，
故答案为：B.
【分析】利用依次求f(9)、f(10)、f(11)、f(12)，根据f(n)< 2022(n ∈ N+)，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为 f(x + 2) + 2f(x) = 0对任意的实数x恒成立，令x = 0，得f(2) + 2 f (0) = 0.
若f(0) ≠0，则f(2)与f(0)异号，即f(2)·f(0)<0，
由零点存在定理得f(x)在(0，2)上至少存在一个零点.因为 f(k + 2) + 2f (k) = 0，
所以 f(2k) ≠ 0 (k ∈ Z)，所以f(k + 2) f(k) = -2[f(k)] < 0，
所以 f(x)在区间(2，4)，(4，6)，...，(2020，2022)内均至少有一个零点，
所以 f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点.
构造函数 f(x)
满足f(x + 2) + 2f(x) = 0对任意的实数 x恒成立，是“回旋函数”，在[0，2022]上恰好有1011个零点.
若f(0) = 0，则f(0) = f(2) = f(4) = f(6)=...= f(2022)= 0
，此时f(x)在上至少有1012个零点.
综上可知，
对于A，取函数f(x)=0，满足 f(x + 2) + 2f(x)= 0，但f(x)在[0，2022]上处处是零点，故A错误.
对于B，可能零点个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于C、D，f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
故答案为：D.
【分析】当f(0) ≠0时，利用零点存在定理，判断f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点.构造回旋函数，
使在[0，2022]上恰好有1011个零点.当f(0) = 0时，得f(x)在上至少有1012个零点.即可排除B、C，得D正确，举特例f(x)=0，即可排除A.
9．【答案】A,C
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，，故A正确.
对于B，因为对数函数y= log0.3x在定义域内单调递减，2<3，所以log0.3 2 > log0.3 3，故B错误.
对于C，因为，
所以，故C正确；
对于D，因为指数函数y =0.2x在R上单调递减，1.1>0.9，所以，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】根据指数函数和幂函数单调性可判断A正确，根据对数函数单调性可判断B错误，根据对数函数单调性结合不等式性质可判断C正确，根据指数函数单调性可判断D错误.
10．【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于A，对于，由得或，故的定义域为；
对于，由得，故的定义域为；所以与不是同一函数，A不符合题意；
对于B，由根式指数幂知，且与的定义域都为，所以与是同一函数，B符合题意；
对于C，对于，当时，；当时，；又当时，；
综上：，所以与是同一函数，C符合题意；
对于D，显然与的解析式表达式一样，所以与是同一函数，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据同一函数的定义，结合定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、原式变形可得，因为，由基本不等式可得：，解得：，或（舍去），所以的最大值为2，故A错误；
B、由得：，因为，所以，解得：或，
因为，所以舍去，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故B正确；
C、由变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，故C正确；
D、由可得：，从而当且仅当时，即，等号成立，所以最小值为16，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值即可判断A；将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值，即可判断B；对不等式变形为，利用求解的最小值，即可判断C；不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值，即可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令a =0，b=1，则 f(1) = f(1 +0) = f (1) f(0)，即2 = 2 f (0)，f (0) = 1，
所以f(x)不可能是奇函数，故A不正确.
对于B，设x1 < x2，则x2 -x1>0，所以 f(x2 -x1)>1，则
f(x2)=f(x1 +(x2 -x1))= f(x1).f(x2-x1)>f(x1)
所以f(x)在定义域上是增函数，选项B正确；
对于C，对于任意x∈ R，f(x) ≠0.假设存在x0∈ R，使得f(x0)=0，则
f(0)= f(x0 +(-x0))=f(x0)f(-x0)=0，与f(0)= 1矛盾，所以对于任意x ∈ R， f(x) ≠0，
所以对于任意x ∈ R，
因为f(1)= 2 >1，所以对任意正整数n， ，
同理f(n)=f(1+1+··.+1) = f (1) f(1)…·f(1)=2n>1
对任意正有理数p，显然有p=(m，n是 互质的正整数)，
对任意正无理数q，可得看作是某个有理数列 P1，P2，P3，··的极限，
而f(pi)> 1，i∈ N*，所以f(q)与f(pi)的极限，所以f(q) > 1，
综上，对所有正实数x，有f(x)> 1，故C不正确，
对于D，
f(2n)=f(2n -1+1)= f(2n - 1) f(1) = 2f(2n -1)，
所以所以，选项D正确.
故答案为：B、D.
【分析】 （a）（b）且（1），计算f (0) = 1，判断A错误.根据单调性定义
判断B正确，分类讨论得对所有正实数x，有f(x)> 1，判断C不正确，根据定义计算，
即可求解.
13．【答案】
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解： 180°=.
故答案为：.
【分析】利用弧度制和角度制关系，将角度制化为弧度制即可.
14．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 幂函数在上单调递减，
所以，所以m=2.
故答案为：2.
【分析】根据幂函数定义及单调性，列出关系式即可求解.
15．【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将两边平方得
所以.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数关系结合因式分解，计算即可.
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：解：因为f(x+4)=4f(x)，所以f(x)=4f(x-4)，又因为x(0，4]时，，
所以r(4，8]时，，(8，12]时，.
作出函数f(x在(0，12]上的图像，
因为函数有4个零点，
所以f2(x)+t·f(x)=0有四个根，即f(x)[f(x)+t]=0有四个根，所以f(x)=0或f(x)=-t共有四个根，
观察图像可得f(x)=0有三个根，所以f(x)=-t只能有一个根，所以28≤-t≤32，所以-32≤t≤-28.
故答案为：[-32，-28].
【分析】根据 ，时，得出 f(x)在4，8]、(8，12]的解析式，作出分段函数图象，观察图像即可求解.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：由，而，
则，故.
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数运算法则计算即可.
(2)将两边平方，求得，再平方得，代入即可.
18．【答案】（1）解：．当时，
所以，；
（2）解：是的充分不必要条件
∴A是B的真子集，故即，
所以实数m的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；充分条件；必要条件
【解析】【分析】（1）将 代入，求得集合A、B，利用交集、并集定义求解即可.
（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，根据子集定义列出不等式组，即可解得 实数的取值范围．
19．【答案】（1）解：根据诱导公式有：
（2）解：因为，α是第三象限角，
所以，
所以
（3）解：因为，所以.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据诱导公式变形并化简即可.
(2)利用同角三角函数关系结合象限符号即可求解.
（3）利用诱导公式转化为特殊角即可.
20．【答案】（1）解：x=120时，v=0代入，得，
解得，所以，
当时，
故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.
（2）解：，
当时，，符合题意；当时，
令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】（1）用待定系数法将（120，0）代入即可求出k，根据解析式将x=50代入即可.
(2)分别在、内解不等式即可.
21．【答案】（1）解：根据题意，在中，
令，则，则有；
（2）证明：任取，，且设，则，，
又由，则，则有，故在R上为增函数．
（3）解：根据题意，，
即，则，
又由，则，
又由在R上为增函数，则，
令，，则，
则原问题转化为在上恒成立，
即对任意恒成立，令，只需，
而，，
当时，，则，
故t的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）用赋值法，取代入即可求得.
（2）根据单调性定义，任取，，且设，由得，即可证明.
(3)将转化为函数关系，根据单调性得到自变量关系，然后根据转化为在上恒成立，利用二次函数求得最值，即可求解.
22．【答案】（1）解：因为，分别为上的偶函数和奇函数，①，
所以，即②，
联立①②可解得，.
（2）解：不等式可化为，
因为，则，故，
设，则，
故，
因为，令，则，
由，，故，
故在上是增函数，则，
又在时是增函数，
所以，则，
因为在恒成立，所以．
所以正实数a的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用，分别为上的偶函数和奇函数，用消去法解方程组即可.
（2）将转化为在恒成立，利用换元法结合函数单调性即可.
1 / 1四川省眉山市东坡区眉山北外附属东坡外国语学校2023-2024学年高一下学期数学开学考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·东坡开学考）已知集合A＝{x∈N|-1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（ ）
A．A＝B B．B A C．A∈B D．A B
【答案】D
【知识点】集合的表示方法；集合间关系的判断
【解析】【解答】解： 因为B＝{0，1，2，3，4，5}，
所以 A B .
故答案为：D.
【分析】先用列举法求出集合A，然后根据子集定义即可求解.
2．（2022高二上·云南期中）命题：，.命题：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．是假命题
B．：，
C．是假命题
D．：存在一个大于2的质数不是奇数
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】若，则，所以是真命题，A不符合题意；
：，，B不符合题意；
是真命题，C不符合题意；
：存在一个大于2的质数不是奇数，D符合题意；
故答案为：D
【分析】首先判断出，的真假，然后写出它们的否定，即可选出答案.
3．（2024高一下·东坡开学考）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为.
故答案为：A.
【分析】先根据，得到的大小，然后根据不等式基本性质即可判断三者大小.
4．（2024高一下·东坡开学考）设，下列说法中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，因为x2> 1的解集为(-∞，-1)U(1，+∞)，
所以“”是“”的充分不必要条件 ，故A正确.
对于B，“xy = 0”时，“”不一定成立，反之“”成立时，“xy = 0’一定成立，所以“xy=0”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，“x >1，y>1”时，“x+y>2，xy > 1”一定成立，反之“x+y>2，xy > 1”成立时，
x > 1，y> 1不一定成立，如x=，y=4，所以“x>1，y>1"是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，当x=1，y=-2时，满足“x> y”，但不满足当x=-2，y=-1时，满足“”，但不满足x> y，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据充分不必要条件 、 必要不充分条件 、充要条件的定义逐一判断即可.
5．（2024高一下·东坡开学考）设，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为.
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据对数运算性质先得，，从而得即可.
6．（2024高一下·东坡开学考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：用锯去锯这木材，若锯口深CD=2-，锯道AB = 2，
设圆的半径为r，则OD=r-CD=r-(2-)，AD=AB=1
由勾股定理可得OD + AD = 0A ，即[r - (2 - )] + 1 =r ，所以r = 2，
所以OA=OB = 2，AB=2，所以∠AOB=，
所以.
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理求出半径，进而判断三角形AOB为等边三角形，求得∠AOB，利用扇形面积、三角形面积公式，即可求出弓形面积.
7．（2024高一下·东坡开学考）已知，若，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数的值
【解析】【解答】解：因为当x > 1时，f(x)= 2 f(x -1)+1，
所以f(9) = 2 f(8) +1= 2 (2f (7)+1)+1= 4f(7) + 3 = 8 f (6) +7= 16 f(5)+15
= 32 f(4) + 31 = 64f (3) + 63 = 128 f（2）+127 = 256f(1)+255
又f(1)= 2，所以f(9) = 2 x 256 +255 = 767，所以f(10) = 2 f (9) +1=1535，
f(11) = 2 f(10)+1=3071， f(12) = 2f (11) +1= 6143，
所以若f(n)< 2022(n ∈ N+)，则n的最大值为10，
故答案为：B.
【分析】利用依次求f(9)、f(10)、f(11)、f(12)，根据f(n)< 2022(n ∈ N+)，即可求解.
8．（2024高一下·东坡开学考）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为 f(x + 2) + 2f(x) = 0对任意的实数x恒成立，令x = 0，得f(2) + 2 f (0) = 0.
若f(0) ≠0，则f(2)与f(0)异号，即f(2)·f(0)<0，
由零点存在定理得f(x)在(0，2)上至少存在一个零点.因为 f(k + 2) + 2f (k) = 0，
所以 f(2k) ≠ 0 (k ∈ Z)，所以f(k + 2) f(k) = -2[f(k)] < 0，
所以 f(x)在区间(2，4)，(4，6)，...，(2020，2022)内均至少有一个零点，
所以 f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点.
构造函数 f(x)
满足f(x + 2) + 2f(x) = 0对任意的实数 x恒成立，是“回旋函数”，在[0，2022]上恰好有1011个零点.
若f(0) = 0，则f(0) = f(2) = f(4) = f(6)=...= f(2022)= 0
，此时f(x)在上至少有1012个零点.
综上可知，
对于A，取函数f(x)=0，满足 f(x + 2) + 2f(x)= 0，但f(x)在[0，2022]上处处是零点，故A错误.
对于B，可能零点个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于C、D，f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
故答案为：D.
【分析】当f(0) ≠0时，利用零点存在定理，判断f(x)在[0，2022]上至少有1011个零点.构造回旋函数，
使在[0，2022]上恰好有1011个零点.当f(0) = 0时，得f(x)在上至少有1012个零点.即可排除B、C，得D正确，举特例f(x)=0，即可排除A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一下·东坡开学考）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，，故A正确.
对于B，因为对数函数y= log0.3x在定义域内单调递减，2<3，所以log0.3 2 > log0.3 3，故B错误.
对于C，因为，
所以，故C正确；
对于D，因为指数函数y =0.2x在R上单调递减，1.1>0.9，所以，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】根据指数函数和幂函数单调性可判断A正确，根据对数函数单调性可判断B错误，根据对数函数单调性结合不等式性质可判断C正确，根据指数函数单调性可判断D错误.
10．（2022高一上·南阳期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于A，对于，由得或，故的定义域为；
对于，由得，故的定义域为；所以与不是同一函数，A不符合题意；
对于B，由根式指数幂知，且与的定义域都为，所以与是同一函数，B符合题意；
对于C，对于，当时，；当时，；又当时，；
综上：，所以与是同一函数，C符合题意；
对于D，显然与的解析式表达式一样，所以与是同一函数，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据同一函数的定义，结合定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
11．（2023·） 已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为16
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、原式变形可得，因为，由基本不等式可得：，解得：，或（舍去），所以的最大值为2，故A错误；
B、由得：，因为，所以，解得：或，
因为，所以舍去，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故B正确；
C、由变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，故C正确；
D、由可得：，从而当且仅当时，即，等号成立，所以最小值为16，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值即可判断A；将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值，即可判断B；对不等式变形为，利用求解的最小值，即可判断C；不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值，即可判断D.
12．（2024高一下·东坡开学考）若满足对任意的实数，都有（a）（b）且（1），则下列判断正确的有
A．是奇函数
B．在定义域上单调递增
C．当时，函数
D．
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令a =0，b=1，则 f(1) = f(1 +0) = f (1) f(0)，即2 = 2 f (0)，f (0) = 1，
所以f(x)不可能是奇函数，故A不正确.
对于B，设x1 < x2，则x2 -x1>0，所以 f(x2 -x1)>1，则
f(x2)=f(x1 +(x2 -x1))= f(x1).f(x2-x1)>f(x1)
所以f(x)在定义域上是增函数，选项B正确；
对于C，对于任意x∈ R，f(x) ≠0.假设存在x0∈ R，使得f(x0)=0，则
f(0)= f(x0 +(-x0))=f(x0)f(-x0)=0，与f(0)= 1矛盾，所以对于任意x ∈ R， f(x) ≠0，
所以对于任意x ∈ R，
因为f(1)= 2 >1，所以对任意正整数n， ，
同理f(n)=f(1+1+··.+1) = f (1) f(1)…·f(1)=2n>1
对任意正有理数p，显然有p=(m，n是 互质的正整数)，
对任意正无理数q，可得看作是某个有理数列 P1，P2，P3，··的极限，
而f(pi)> 1，i∈ N*，所以f(q)与f(pi)的极限，所以f(q) > 1，
综上，对所有正实数x，有f(x)> 1，故C不正确，
对于D，
f(2n)=f(2n -1+1)= f(2n - 1) f(1) = 2f(2n -1)，
所以所以，选项D正确.
故答案为：B、D.
【分析】 （a）（b）且（1），计算f (0) = 1，判断A错误.根据单调性定义
判断B正确，分类讨论得对所有正实数x，有f(x)> 1，判断C不正确，根据定义计算，
即可求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一下·东坡开学考）换算：180°＝ rad。
【答案】
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解： 180°=.
故答案为：.
【分析】利用弧度制和角度制关系，将角度制化为弧度制即可.
14．（2024高一下·东坡开学考）幂函数在上单调递减，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 幂函数在上单调递减，
所以，所以m=2.
故答案为：2.
【分析】根据幂函数定义及单调性，列出关系式即可求解.
15．（2024高一下·东坡开学考）若，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将两边平方得
所以.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数关系结合因式分解，计算即可.
16．（2024高一下·东坡开学考）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：解：因为f(x+4)=4f(x)，所以f(x)=4f(x-4)，又因为x(0，4]时，，
所以r(4，8]时，，(8，12]时，.
作出函数f(x在(0，12]上的图像，
因为函数有4个零点，
所以f2(x)+t·f(x)=0有四个根，即f(x)[f(x)+t]=0有四个根，所以f(x)=0或f(x)=-t共有四个根，
观察图像可得f(x)=0有三个根，所以f(x)=-t只能有一个根，所以28≤-t≤32，所以-32≤t≤-28.
故答案为：[-32，-28].
【分析】根据 ，时，得出 f(x)在4，8]、(8，12]的解析式，作出分段函数图象，观察图像即可求解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024高一下·东坡开学考）
（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）解：原式；
（2）解：由，而，
则，故.
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数运算法则计算即可.
(2)将两边平方，求得，再平方得，代入即可.
18．（2024高一下·东坡开学考）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：．当时，
所以，；
（2）解：是的充分不必要条件
∴A是B的真子集，故即，
所以实数m的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；充分条件；必要条件
【解析】【分析】（1）将 代入，求得集合A、B，利用交集、并集定义求解即可.
（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，根据子集定义列出不等式组，即可解得 实数的取值范围．
19．（2024高一下·东坡开学考）已知α是第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求；
（3）若，求.
【答案】（1）解：根据诱导公式有：
（2）解：因为，α是第三象限角，
所以，
所以
（3）解：因为，所以.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据诱导公式变形并化简即可.
(2)利用同角三角函数关系结合象限符号即可求解.
（3）利用诱导公式转化为特殊角即可.
20．（2024高一下·东坡开学考）某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式（k单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.
（1）若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度；
（2）若车流速度v不小于40千米/小时.求车流密度x的取值范围.
【答案】（1）解：x=120时，v=0代入，得，
解得，所以，
当时，
故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.
（2）解：，
当时，，符合题意；当时，
令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】（1）用待定系数法将（120，0）代入即可求出k，根据解析式将x=50代入即可.
(2)分别在、内解不等式即可.
21．（2024高一下·东坡开学考）已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．
（1）；
（2）求证：在R上为增函数；
（3）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，在中，
令，则，则有；
（2）证明：任取，，且设，则，，
又由，则，则有，故在R上为增函数．
（3）解：根据题意，，
即，则，
又由，则，
又由在R上为增函数，则，
令，，则，
则原问题转化为在上恒成立，
即对任意恒成立，令，只需，
而，，
当时，，则，
故t的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）用赋值法，取代入即可求得.
（2）根据单调性定义，任取，，且设，由得，即可证明.
(3)将转化为函数关系，根据单调性得到自变量关系，然后根据转化为在上恒成立，利用二次函数求得最值，即可求解.
22．（2024高一下·东坡开学考）已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】（1）解：因为，分别为上的偶函数和奇函数，①，
所以，即②，
联立①②可解得，.
（2）解：不等式可化为，
因为，则，故，
设，则，
故，
因为，令，则，
由，，故，
故在上是增函数，则，
又在时是增函数，
所以，则，
因为在恒成立，所以．
所以正实数a的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数恒成立问题；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）利用，分别为上的偶函数和奇函数，用消去法解方程组即可.
（2）将转化为在恒成立，利用换元法结合函数单调性即可.
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