武汉市武昌区高二年级三月月考
数 学 试 卷
考试时间：2024年3月21日下午14:00—16:00
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，则 =（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
2．已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．只有一个零点 B．恒成立
C．在处得到极大值 D．是上的增函数
10．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是奇函数
11．已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的单调递减区间为 .
13．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 ．
14．若存在使对于任意不等式 恒成立，则实数的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数，直线l：与x轴交于点A．
(1)求过点A的的切线方程；
(2)若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
16．（15分）
已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)求函数在区间上的最大值．
17．（15分）
已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数．
18．（17分）
已知函数，.
(1)若函数在取极大值，求实数a的值；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
19．（17分）
给出下列两个定义：
I．对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II．对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
试卷第4页，共4页数学3月月考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A A D B C B A B AC AC ACD
二、填空题
12. 13. 14.
三、解答题
15． 【答案】(1)或；(2)或.
16． 【答案】(1)，；(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；(3)最大值是，最小值是．
17．【答案】（1）由题意，
在中， 当时，，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增．
综上所述，
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）在中，当时，，
当时，无解，∴无零点．
当时，．令，在中，，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，
∵当时，时，，
∴当即时，无零点，当即时，有一个零点；
当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．
综上所述，
当时，无零点；
当或者时，有一个零点；
当时，有两个零点．
18．【详解】（1），，
当时，，令，，时单调递增，时单调递减，，所以，在单调递减，不符合题意。当时，经检验符合题意。所以。
（2）（i）函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，即等价于函数在内有两个不同的零点，.
设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；当时，在上，单调递增；
在上，单调递减，所以，当时，，函数有两个零点，则必有，
即，解得，又，
易证，证明如下：
令，，
当时，，单减，当时，单增，
故，故，得证.
，所以在和上各有一个零点，
故有两个零点时，a的范围为；
（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，
由且，得.
因为
令，则，记，，
由，令，.
又，则，即，
所以在上单调递增，故，即成立.
所以不等式成立.
法2：欲证，由，，则只需证：.
不妨设，则且，则，
所以
令，则，记，，
由，即在上单调递增，故，即成立.
故.
19． 【答案】(1)答案见解析(2)既不充分也不必要条件；证明见解析(3)
【详解】（1）解：对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，所以函数为“同定义域函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，对于函数，则，因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，可得，且，因为为单调递增函数，且，所以存在使得，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
