【五环分层导学-课件】1-3 等腰三角形(3)-北师大版数学八(下)

(共14张PPT)
第一章 三角形的证明
第3课 等腰三角形(3)
北师大版八年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈五个环节来完成。
资料简介
第一环节 激活思维 通过回顾与本节新知有关的旧知或熟悉的生活情境，唤醒、激活学生的旧知，为新知生成奠定基础，为知识的形成提供情境。
第二环节 探究新知 通过一系列问题，引领学生通过自主、合作、探究的方式，在解决问题串的过程中，生成新知，积累基本活动经验，提高分析问题和解决问题的能力。
第三环节 双基巩固 通过典型例题，及时巩固基础知识与基本技能，为学生初步应用新知解决问题积累经验。
第四环节 综合运用 以本节知识为核心，设计一道综合题，提高学生综合运用知识的能力，发散思维，渗透数学思想方法。
第五环节 分层反馈 通过由易到难的当堂练习或检测，及时反馈学生掌握情况，给教师课后针对辅导与布置课后作业的量和难度提供数据参考。
五环导学
(1)性质1：等腰三角形的两%// //%相等．(简述为：等边对%// / /%)
(2)性质2：等腰三角形顶角的%// //%、底边上的%/ / //%、底边上的%// //%互相重合．
(简述为：等腰三角形三线合一)
(3)性质3：等腰三角形两%////%上的中线和高、两%// //%上的平分线%// //%．
(4)定理：等边三角形的三个内角都%// //%，并且每个内角都等于%// //%°．
底角
等角
平分线
中线
高线
腰
底角
相等
相等
60
【探究1】已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，
【问题1】求证：AB＝AC ．
证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC ．
【问题2】你还有其他的证明方法吗？请证明．
定理：有两个角%// //%的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．
有．
证明：过A点作BC的垂线，垂足为D ．
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC ．
相等
【探究2】已知：如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC ．
以上的证明过程用了反证法，反证法的一般步骤：
①假设%// //%不成立；
②由假设推出%// //%；
③%// //%错误，原命题正确．
命题的结论
与定义、基本事实、已有定理或已知条件矛盾的结果
假设
证明：假设AB＝AC，∴∠B＝∠C，
这与已知∠B≠∠C相矛盾，∴AB≠AC ．
【例题1】已知如图，AB＝CD，BD＝CA，BD与CA相交于点E，求证：△AED是等腰三角形．
证明：∵AB＝CD，BD＝CA，AD＝AD，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠CAD，∴AE＝DE，
∴△AED是等腰三角形．
【例题2】已知△ABC ．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
/证明：假设∠A和∠B都是90°，
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立，
∴一个三角形中不能有两个角是直角．
【例题3】如图所示，已知：∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC ．求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠B＝∠C(等量代换)，
∴AB＝AC(等角对等边)，∴△ABC是等腰三角形．
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝72°，∠A＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为%////%．
3
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE为角平分线，DE∥BC ．
求证：(1)BD＝DE； (2)BD＝CE； (3)CD平分∠ACB ．
证明：(1)∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE为角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，∴BD＝DE；
(2)∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，∴BD＝CE；
(3)在△ACD和△ABE中，AD＝AE，∠A＝∠A，AC＝AB，
∴△ACD≌△ABE，∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠ACB＝∠ABC，∠ABE＝∠EBC，
∴∠ACD＝∠DCB，∴CD平分∠ACB ．
3.如果a1，a2，a3，a4，a5都是正数，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，那么，这五个数中至少有一个大于或等于．
证明：假设这五个数都小于，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＜×5＝1，
即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＜1，这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1相矛盾，
所以假设不成立，故原结论成立，
即这五个数中至少有一个大于或等于．
4.(★)已知：如图，在△ABC中，∠B＝2∠A，CD平分∠ACB ．求证：AC＝BC＋BD ．
证明：在AC上截取CE＝CB，连接ED，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，
在△BCD和△ECD中，
CB＝CE，∠BCD＝∠ECD，CD＝CD，
∴△BCD≌△ECD，
∴BD＝ED，∠B＝∠DEC，
∵∠DEC＝∠A＋∠ADE＝2∠A，
∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，
∵AC＝AE＋EC，CB＝CE，∴AC＝BC＋BD ．