【五环分层导学-课件】1-4 等腰三角形(4)-北师大版数学八(下)

(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
第4课 等腰三角形(4)
北师大版八年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈五个环节来完成。
资料简介
第一环节 激活思维 通过回顾与本节新知有关的旧知或熟悉的生活情境，唤醒、激活学生的旧知，为新知生成奠定基础，为知识的形成提供情境。
第二环节 探究新知 通过一系列问题，引领学生通过自主、合作、探究的方式，在解决问题串的过程中，生成新知，积累基本活动经验，提高分析问题和解决问题的能力。
第三环节 双基巩固 通过典型例题，及时巩固基础知识与基本技能，为学生初步应用新知解决问题积累经验。
第四环节 综合运用 以本节知识为核心，设计一道综合题，提高学生综合运用知识的能力，发散思维，渗透数学思想方法。
第五环节 分层反馈 通过由易到难的当堂练习或检测，及时反馈学生掌握情况，给教师课后针对辅导与布置课后作业的量和难度提供数据参考。
五环导学
(1)等腰三角形的判定：有%// //%相等的三角形是等腰三角形．(“等角对等边”)
(2)三边都%// //%的三角形叫做等边三角形．(定义)
两个角
相等
【探究1】等边三角形的判定
【问题1】等边三角形的三个角%// //%，三条边%// //%，并且每个角都等于%// //%．

【问题2】一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
都相等
都相等
60°
解：①三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
【问题3】你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？
小结1：
定理1：三个角都相等的三角形是%// //%．
定理2：%// //%都相等的三角形是等边三角形．
定理3：有一个角等于%// //%的等腰三角形是等边三角形．
/解：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；理由如下：
第一种情况：顶角是60°，底角为x，由三角形的内角和等于180°，
所以60°＋x＋x＝180°，解得x＝60°，所以三个角相等，所以这个三角形是等边三角形．
第二种情况：底角是60°，顶角为y，由三角形的内角和等于180°，
所以60°＋60°＋y＝180°，解得y＝60°，所以三个角相等，所以这个三角形是等边三角形．
等边三角形
三边
60°
【探究2】直角三角形性质
【问题1】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么大小关系？说出你的理由．
解：30°角所对的直角边等于斜角边的一半，理由如下：
已知：如图，△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB ．
证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD ．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°，
∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形．∴BC＝BD＝AB ．
【问题2】命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
解：是真命题，证明如下
已知：如图，△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，BC＝AB ．求证：∠A＝30°．
证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD ．
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACD＝90°，CB＝CD，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，
∵BC＝AB，∴BC＋CD＝AB，∴△ABD是等边三角形．
∴∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠BAD＝30°．
小结2：
定理1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的%// //%．
定理2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于%// //%．
一半
30°
【例题1】如图，等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的髙．
解：延长CA至E，过B作BD⊥AC于D点，BD即为所求高．
∵∠ABC＝∠C＝15°，∠BAD＝∠ABC＋∠C，
∴∠BAD＝30°，又∵BD⊥AC，∴BD＝AB，
∴BD＝a，即腰上的高为a．
【例题2】如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E，求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
【例题3】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB ．求证：BD＝．
证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC，
∴BD＝AB＝AB ．
1.等腰三角形的顶角为120°，腰长为10 cm，则这个三角形的面积为%// //%．
25 cm2
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是Rt△ABC的高，且BD＝1，则AD＝%////%．
3
3.如图，已知a∥b∥c，a与b之间的距离为3，b与c之间的距离为6，a、b、c分别经过等边三角形ABC的三个顶点，则此三角形的边长为%// //%．
2
4.(★)如图①，ABCD是一张正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上A1处(如图②)，折痕交AE于点G，那么∠A1DG等于多少度？你能证明你的结论吗？
解：∠A1DG＝15°；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FD＝AD，∠A＝∠ADF＝90°，
△ADG沿DG翻折得到△A1DG，即△ADG≌△A1DG，
∴A1D＝AD，∠ADG＝∠A1DG，
∴FD＝A1D，∠A1FD＝90°，∴∠FA1D＝30°，
∵EF∥AD，∴∠FA1D＝∠A1DA＝30°，
∴∠A1DG＝∠A1DA＝15°．