【五环分层导学-课件】1-10 角平分线(2)-北师大版数学八(下)

(共17张PPT)
第一章 三角形的证明
第10课 角平分线(2)
北师大版八年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈五个环节来完成。
资料简介
第一环节 激活思维 通过回顾与本节新知有关的旧知或熟悉的生活情境，唤醒、激活学生的旧知，为新知生成奠定基础，为知识的形成提供情境。
第二环节 探究新知 通过一系列问题，引领学生通过自主、合作、探究的方式，在解决问题串的过程中，生成新知，积累基本活动经验，提高分析问题和解决问题的能力。
第三环节 双基巩固 通过典型例题，及时巩固基础知识与基本技能，为学生初步应用新知解决问题积累经验。
第四环节 综合运用 以本节知识为核心，设计一道综合题，提高学生综合运用知识的能力，发散思维，渗透数学思想方法。
第五环节 分层反馈 通过由易到难的当堂练习或检测，及时反馈学生掌握情况，给教师课后针对辅导与布置课后作业的量和难度提供数据参考。
五环导学
角平分线图形 角平分线性质 角平分线判定
∵点P在∠AOB的平分线上， %/// /%， %// //%， ∴PE＝PD． ∵PD⊥OA，PE⊥OB，
%// //%，
∴OP平分%// //%．
PD⊥OA
PE⊥OB
PE＝PD
∠AOB
【问题1】用尺规作角的平分线
已知：∠AOB (如图)．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC ．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，
交OB于点E，
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，
两弧在∠AOB的内部相交于点C．
③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
【问题2】做一做：分别作出△ABC的三条角平分线．观察这三条角平分线，你发现了什么？
三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，该点在三角形的%////%部．
内
【问题3】如图，设△ABC的角平分线BM，CN都相交于点P，过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D ．求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，
∴PD＝PE，同理可得PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的平分线上．
【问题4】三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等吗？为什么？
小结：三角形三个角的角平分线%// //%，并且这点到%// //%的距离%// //%．
【问题5】三角形三边垂直平分线与三条角平分线对比
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个%////%的距离相等 到三角形%////%的距离相等
相交于一点
三条边
相等
顶点
三边
【例题1】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD＝5 cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC＋CD．
/(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝CD＝5 cm，
又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，
又∵∠C＝90°，∴∠B＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE＝5 cm．在等腰直角三角形BDE中，
由勾股定理得，BD＝5cm，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝(5＋5)(cm)．
(2)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ADC，∴AC＝AE，
又∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD ．
【例题2】已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，
∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM＝FN，
同理，FG＝FN，∴FM＝FG，
又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上．
1.已知：如图所示，∠C＝∠BED＝90°，且CD＝DE，AD＝BD，则∠B＝%// //%．
30°
2.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD∶BD＝3∶4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为(%////%)
A．7 B．9 C．11 D．14
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为△ABC角平分线的交点．则点P到BC的距离是%////%．
1
4.已知：如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是Rt△ABC的角平分线．求证：BD＝2CD ．
证明：△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－30°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝×60°＝30°，
∴∠BAD＝∠B，∴BD＝AD，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，∴BD＝2CD ．
解：(1)如图所示，点P为所求的点；
5.(1)如图，在∠AOB内部求作一点P，使它到OA，OB的距离相等，且到点C，D的距离也相等．要求：①只用没有刻度的直尺和圆规；②保留作图痕迹，不必写出作法．
(2)如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？
(2)∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的
三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
∴货物中转站可以供选择的地址有4个．