【五环分层导学-课件】1-11 单元复习 三角形的证明-北师大版数学八(下)

(共46张PPT)
第一章 三角形的证明
第11课 单元复习
北师大版八年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】说说作为证明基础的几条基本事实．
【问题2】等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？直角三角形呢？它们各自分别有哪些判定条件？
【问题3】说说两个直角三角形全等的判定条件．
【问题4】分别说说线段垂直平分线，角平分线的性质定理及其逆定理．
【问题5】如何用反证法证明？请举例说明．请你说出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．
【问题6】已知底边及底边上的高，如何用尺规作等腰三角形？已知一直角边和斜边，如何用尺规作直角三角形．
【问题7】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
考点1：等腰三角形的边角关系
【例题1】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角为%// //%．
对点练习1：在等腰△ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(%////%)
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
25°或65°
C
对点练习2：如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是%// //%．
30°
【例题1】如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小等于%// //%度．
120
考点2：等边三角形的边角关系
对点练习1：如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：①BD平分∠ABC；②AD＝AB；③CE＝BC；④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是(%////%)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A
【例题1】在以下列各组数为边长的三角形中，不是直角三角形的是(%////%)
A．3，4，5 B．2，2，3
C．7，24，25 D．1，，3

【例题2】在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为%////%．
B
8
考点3：直角三角形的边角关系
【例题3】如图，一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使B与A重合，∠B＝30°，AC＝，则折痕DE等于%////%．
1
【例题4】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，AB＝40，求BD的长为%// //%．
10
考点4：垂直平分线
【例题1】如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB＋BE＝BC，则∠B的度数是(%////%)
A．45° B．50°
C．55° D．60°
B
对点练习1：等腰三角形一腰上的垂直平分线与这个三角形的另一边(或边所在直线)的夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为%// //%．
40°或70°或110°
【例题1】如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC＝6 cm，则DE＋BD等于%// //%．
考点5：角平分线
6 cm
对点练习1：如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝9 cm，BD＝5 cm，则点D到AB的距离是%// //%．
4 cm
对点练习2：如图所示，OP平分∠MON，PA⊥ON于A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(%////%)
A．1 B．2 C．3 D．4
B
对点练习3：如图，在△ABC中，两条角平分线BD，CE交于点O，∠BOC＝116°，则∠A的度数是%// //%．
对点练习4：如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P，当∠A＝70°时，则∠BPC的度数为%// //%．
52°
125°
考点6：互逆命题/反证法/尺规作图
【例题1】命题：四边形是多边形．
逆命题：%// //%，原命题是%////%命题，逆命题是%////%命题．

对点练习1：下列命题中，是假命题的是(%////%)
A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．有两个角相等的三角形是等腰三角形
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
多边形是四边形
真
假
D
【例题2】如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA＝1，则PB＝%////%．
1
对点练习2：如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD ．若∠B＝30°，∠A＝55°，则∠ACD的度数为%// //%．
65°
考点7：三角形的综合
【例题1】如图，O是△ABC的∠ABC与∠ACB的平分线的交点，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．若AB＝10 cm，AC＝8 cm，则△ADE的周长是%////%cm．
18
【例题2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
(1)证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△ABC中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；
(2)解：△BCD是等边三角形，理由如下：
∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．
【例题3】如图，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD＝90°，点E，F分别在AB，AC上，若ED平分∠BEF，
(1)求证：FD平分∠EFC； (2)求证：EF＝BE＋CF．
证明：(1)如图，过D作DM⊥EF，
∵ED平分∠BEF，∴BD＝DM，
∵BD＝CD，∴DC＝DM，∴FD平分∠EFC；
(2)∵ED平分∠BEF，∴∠BDE＝∠MDE，
在△BDE和△MDE中，
∴△BDE≌△MDE(SAS)，∴EB＝EM，
同理CF＝MF，∴EF＝BE＋CF．
易错点1：忽略多种情况
对点练习：等腰三角形的一个内角等于40°，则另外两个内角的度数分别为(%////%)
A．40°、100° B．70°、70°
C．70°、100° D．40°、100°或70°、70°
D
易错点2：定理不清
对点练习：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．(%////%)
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
B
1.已知△ABC的三边长分别是6 cm、8 cm、10 cm，则△ABC的面积是(%////%)
A．24 cm2 B．30 cm2 C．40 cm2 D．48 cm2
A
2.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是(%////%)
A．等腰三角形的两底角相等
B．等腰三角形是钝角三角形或锐角三角形
C．等腰三角形是轴对称图形
D．等腰三角形底边上的高和中线、顶角的平分线互相重合
B
3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(%////%)
A．40° B．50° C．60° D．70°
D
4.如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为(%////%)
A．2 B．3
C．4 D．5
C
5.如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为(%////%)
A．30° B．36°
C．45° D．70°
B
6.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是(%////%)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
7.如图，点A，C，B在同一直线上，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE与BD交于点O，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：(1)AE＝BD；(2)△ACM≌△DCN；(3)EM＝BN；(4)MN∥BC；(5)∠DOA＝60°．其中正确的结论有(%////%)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
A
8.“等边对等角”的逆命题是%// //%．
等角对等边
9.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，在射线BC上取一点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的三角形有%////%个．
3
10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(5，4)，点P为BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P坐标为%// //%．
(2.5，4)，(3，4)，(2，4)
11.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，求∠E度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG∠ACB＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E∠CDG＝15°．
12.如图，已知：∠AOB，点M和点N．求作：一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，并且满足PM＝PN．
/解：如图，点P即为所求．
13.如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD是△ABC的角平分线，若BD＝1，求DC的长．
解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠B＝90°，
AD是△ABC的角平分线，BD＝1，
∴DE＝BD＝1，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝45°，
在Rt△DEC中，DE＝EC＝1，
∴由勾股定理得DC＝．
14.如图，已知P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D ．求证：
(1)OC＝OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)∵P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，∴OC＝OD；
(2)∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP，
∵由(1)知OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，，
∴△COE≌△DOE，
∴CE＝DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．
15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
/解：(1)DE⊥DP；理由如下：
∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠PDA＋∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°－90°＝90°，∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8－x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2，
∴42＋(8－x)2＝22＋x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．
16.(1)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
(2)如果把第(1)题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
(3)如果把第(1)题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA(180°－∠B)＝67.5°，
∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E(180°－∠ACE)∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°－∠B－∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝112.5°－67.5°＝45°；
(2)不改变．
设∠CAE＝α，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝α，
∴∠ACB＝∠CAE＋∠E＝2α，
在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝90°－∠ACB＝90°－2α，
∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA(180°－∠B)＝α＋45°，
在△ABE中，∠BAE＝180°－∠B－∠E
＝180°－(90°－2α)－α＝90°＋α，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(90°＋α)－(α＋45°)＝45°；
(3)∠DAE∠BAC ．理由：
设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°－2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°－∠B－∠E＝2y－x，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝2y－x－y＝y－x，
∠BAC＝∠BAE－∠CAE＝2y－x－x＝2y－2x，
∴∠DAE∠BAC ．