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2024年中考数学模拟卷A
（绵阳专用）
注意事项：全套试卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的相反数是．
故选：A．
2．如图，从正面看这个由4个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层共3列，从左边数起第1列上下两层各有一个小正方形，第2、3、4列下面一层各有1个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由折叠可得，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：．
5．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（ ）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
【答案】A
【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得，
解得：
即，两种图书的单价分别为10元、30元，
故选：A．
6．经过某公司统计，年该企业员工所创收入额与其所对应的人数如下表：
收入额/万元
人数/人
那么关于如上统计描述正确的是（ ）
A．中位数是，众数是 B．中位数是，众数是
C．中位数是，平均数是 D．众数是，平均数是
【答案】C
【详解】解：众数为：13，
中位数为第个数据，为，
平均数为，
故选：C．
7．如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则展开图扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设展开图扇形的半径为r，
由题意知，
解得，
展开图扇形的弧长，
故选D．
8．如图，四边形为菱形，A、B两点的坐标分别是，，对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
∵菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
∴A、C两点关于原点中心对称；
∵点A的坐标是，
∴C点坐标为 ，
故选：B．
9．若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故选：A．
10．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ）
A．0 B． C． D．8
【答案】C
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有且仅有4个整数解，
不等式组的4个整数解为4，3，2，1，
，
，
解分式方程，得，
为非负整数，
且，
分式的解是非负整数，
可取，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
所有满足条件的只有，
所有整数a的值之积是，
故选：C．
11．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线. 下列说法：①；②； ③（为全体实数）；④若图象上存在点，，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交，
∴，，，
∴，故①正确；
根据对称轴为直线得，
由图象可知，当时，，
∴，故②正确；
由图可知，当时，抛物线有最大值为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
由图可知，和满足，
∴和关于对称轴对称，
∴，，即，
∵，
∴，，
则，
∴，
解得，故④正确；
故选C．
12．如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.5 D．2
【答案】D
【详解】解：如图，延长至点M，使，连接．
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵．
∴．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：
14．我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，请将用科学记数法表为 ．
【答案】
【详解】解：．
故答案为：．
15．若分式的值为零，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，解得，
，解得：，，
综上：
故答案为：．
16．如图，河旁有一座小山，从山顶处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，通过测量可知河的宽度为．现需从山顶到河对岸点拉一条笔直的缆绳，则 ．（计算结果用含根号的式子表示）．
【答案】
【详解】解：作交的延长线于点，
在中，
，，
，，
设，则，，，
，
，
，
解得：，
（米）．
答：缆绳的长为米．
故答案为：
17．对于任意实数p，q，定义一种运算：，如：．请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围为是 ．
【答案】
【详解】解：，
中，
解①得：，
，
；
解②得：，
，
；
不等式组有且仅有2个整数解，
，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：作于点F，延长到点E，使，连接、、、，
∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，，且，，
则垂直平分，，，
∴，，
∴.
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算
(1)计算：
(2)先化简，再求值；，已知：，．
【答案】(1)4
(2)，
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式．
20．环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不了解；B．了解较少；C．了解；D．非常了解．并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图，回答下列问题．
(1)本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图．
(2)若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名．
(3)在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)100，图见解析
(2)320
(3)
【详解】（1）（人）
组人数为（人）
补全条形统计图如下：
（2）（人）
∴估计“非常了解”的学生共有320人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女的情况有8种，
被选中的两人恰好是一男一女的概率为．
21．飞盘是一种投掷盘形器具的运动，适用于比赛、健身及大众休闲等活动．它不仅具有广泛的群众性，娱乐性，还有很强的对抗性和趣味性．某商家拟购进A，B两种型号的飞盘，经问询知购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元，已知B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元．
(1)A型飞盘和B型飞盘的进货单价分别是多少元？
(2)商家最终决定购进这两种飞盘共150个，其中B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，若B型飞盘的销售单价为14元，A型的销售单价为6元，请你帮商家设计一种购货方案，使得商家获利最多，并求出最多获利为多少元？
【答案】(1)A型飞盘的进货单价是4元，B型飞盘的进货单价是10元
(2)购进B型飞盘100个，A型飞盘50个，获得利润最多；最多利润是500元
【详解】（1）解：设A型飞盘每个x元，B型飞盘每个y元．
根据题意，得，
解得，
答：A型飞盘的进货单价是4元，B型飞盘的进货单价是10元．
（2）解：设购进B型飞盘m个，利润为w元，则购进A型飞盘个．
根据题意，得．
∵B型飞盘的数量不多于A型飞盘数量的2倍，
∴，解得．
∵，
∴w随m的增大而增大．
∴当时，w有最大值，最大值为（元）．
答：购进B型飞盘100个，A型飞盘50个，获得利润最多；最多利润是500元．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点为和．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若一次函数与轴交于点，且；
①求出与的值；
②直接写出不等式的解集为______；
(3)若点是直线上一点，点的横坐标为，连接，，的面积记为，当时，请直接写出值______．
【答案】(1)
(2)①， ②或
(3)或
【详解】（1）
解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2）
解：①作轴于，轴于，则，
，
，，
，
，
点的纵坐标为1，
把代入得，，
，
一次函数的图象过点和，
，
解得，；
②由反比例函数的对称性，直线与反比例函数在第四象限的交点坐标为，
由图象可得：不等式的解集为或；
故答案为：或；
（3）
解：，
当在的下方时，是的中点，
，
此时，，
当在的上方时，是点，关于的对称点，
此时，，
故值为或，
故答案为：或．
23．如图1，在中，和互余，点是上一点，以为直径作切于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，与交于点，点是的中点，，求的半径．
【答案】(1)；
(2)2．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
是的切线，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
所以的度数是．
（2）解：连接，，
点F是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为2．
24．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在满足条件的点，其坐标为或
【分析】
（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作轴，交于点G，过Q和于H，可设出Q点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即
点在轴上，令可得，
点的坐标为，
可设直线解析式为，
把点代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
点在第一象限，
点在点的上方，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在满足条件的点，理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，
设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
25．已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
(2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明；
(3)若是的中点，，直接写出的最小值为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是的中点；
（2）解：，证明如下：
如图所示，延长到G，使得，连接，
同（1）可证明是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点E在直线上运动，
设直线交于T，过点F作垂直于直线于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，当点E运动到点H，即时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
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2024年中考数学模拟卷A
（绵阳专用）
注意事项：全套试卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，从正面看这个由4个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（ ）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
6．经过某公司统计，年该企业员工所创收入额与其所对应的人数如下表：
收入额/万元
人数/人
那么关于如上统计描述正确的是（ ）
A．中位数是，众数是 B．中位数是，众数是
C．中位数是，平均数是 D．众数是，平均数是
7．如图，圆锥的侧面积为，它的侧面展开图扇形的圆心角为，则展开图扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形为菱形，A、B两点的坐标分别是，，对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ）
A．0 B． C． D．8
11．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线. 下列说法：①；②； ③（为全体实数）；④若图象上存在点，，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.5 D．2
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．分解因式： ．
14．我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，请将用科学记数法表为 ．
15．若分式的值为零，则的值为 ．
16．如图，河旁有一座小山，从山顶处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，通过测量可知河的宽度为．现需从山顶到河对岸点拉一条笔直的缆绳，则 ．（计算结果用含根号的式子表示）．
17．对于任意实数p，q，定义一种运算：，如：．请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围为是 ．
18．如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算
(1)计算：
(2)先化简，再求值；，已知：，．
20．环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不了解；B．了解较少；C．了解；D．非常了解．并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图，回答下列问题．
(1)本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图．
(2)若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名．
(3)在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
21．飞盘是一种投掷盘形器具的运动，适用于比赛、健身及大众休闲等活动．它不仅具有广泛的群众性，娱乐性，还有很强的对抗性和趣味性．某商家拟购进A，B两种型号的飞盘，经问询知购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元，已知B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元．
(1)A型飞盘和B型飞盘的进货单价分别是多少元？
(2)商家最终决定购进这两种飞盘共150个，其中B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，若B型飞盘的销售单价为14元，A型的销售单价为6元，请你帮商家设计一种购货方案，使得商家获利最多，并求出最多获利为多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点为和．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若一次函数与轴交于点，且；
①求出与的值；
②直接写出不等式的解集为______；
(3)若点是直线上一点，点的横坐标为，连接，，的面积记为，当时，请直接写出值______．
23．如图1，在中，和互余，点是上一点，以为直径作切于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，与交于点，点是的中点，，求的半径．
24．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
25．已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
(2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明；
(3)若是的中点，，直接写出的最小值为______．
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