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2024年中考数学模拟卷B
（绵阳专用）
注意事项：全套试卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：A． 因为，所以，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．估计的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】D
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴估计的值在7到8之间，
故选：D．
3．在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上，习近平主席发表了主旨演讲，演讲中提到：“未来年（—年），中国货物贸易、服务贸易进出口额有望累计超过万亿美元、万亿美元．”其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：万亿亿．
故选：D．
4．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．中 B．考 C．胜 D．利
【答案】B
【详解】解：原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是“考”．
故选：B．
5．某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
6．若某同学在一次综合性测试中，语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都不超过3（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，依次类推且没有并列名次的情况），则称该同学为超级学霸．现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对某一次综合性测试名次数据的描述，可以推断出一定是超级学霸的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，中位数为2
B．乙同学：中位数是2，唯一的众数为2
C．丙同学：平均数是2，方差为2.4
D．丁同学：平均数为2，唯一的众数为2
【答案】D
【详解】
A选项，由于中位数为2，那么5门学科的名次为1，1，2，x，y或者1，2，2，x，y或者2，2，2，x，y（）；由平均数为2得出或5或4，当时，（不合题意）或3或2，故该选项不合题意．
B选项，由于中位数为2，那么5门学科的名次为1，1，2，x，y或者1，2，2，x，y或者2，2，2，x，y（），由于唯一的众数为2，那么可以是2，2，2，x，y或者1，2，2，x，y，当时不合题意．
C选项，平均数为2，方差为2.4，设5门学科的名次为，那么，整理得，那么这五个数可以是1，1，1，2，5，不合题意．
D选项，由于唯一的众数为2，那么5门学科的名次为2，2，x，y，z，由平均数为2，得出，x，y，z可以是1，1，4或1，2，3或2，2，2，而1，1，4与唯一的众数为2不符，所以x，y，z是1，2，3或2，2，2，符合题意．
故选D．
7．如图，四边形内接于，为的直径，D为弧的中点，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接．
∵为的直径，D为弧的中点，，
∴，，
∴．
∴，
∵，则，
∴是等腰直角三角形，又
∴，
在中，，
∴．
∴
．
故选：B．
8．随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、，
∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为．
故选：A．
9．习主席说：中国人的饭碗要端在自己的手中．今年王伯伯家小麦又喜获丰收，为了很好的储存小麦，王伯伯家新买了一个如图所示的防尘防虫粮仓，请你根据说明书上的数据，帮王伯伯算一算这个粮仓的容积为（ ）（，）
A．45 B．44 C．46 D．47
【答案】A
【详解】解：由图可知，圆柱和圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，
∴粮仓的容积为；
故选A．
10．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据折叠可知：，
，．
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，，
，
中，由勾股定理可得，即，解得，
，
故选：C．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点、在反比例函数上，
∴，即：，即，
∴，即：，
∴，
∴，
∵反比例函数经过第一象限，
∴，
∴，
故选：．
12．如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【详解】∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
故①正确；
连接交于点O,Q，
∵正方形，且,
∴，
∵垂直平分，
∴点M，点G关于直线对称，
故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,
故的最小值是，
故②错误；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③ 正确；
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故④正确．
故选D．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．已知，，则 ．
【答案】65
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：65．
14．不等式组的所有整数解的和为 ．
【答案】7
【详解】
∵，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为：，
∴整数解为：3、4，
∴其和为：7，
故答案为：7
15．某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品，已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元：购买5个种奖品和2个种奖品共需130元，求、两种奖品的单价．设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，那么可列方程组为 ．
【答案】
【详解】解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元
由题意得，，
故答案为：
16．如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是 ．
【答案】/
【详解】解：∵矩形的边 ，，
∴，，，， 轴，，
∴，，
∴，，
由折叠性质得，，，，
∴，则 （负值舍去），
∴，
如图，，，
∴，
设，则，
由得，
解得，
综上，点E坐标为，
故答案为
17．如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ．
【答案】/
【详解】
解：如图，连接交于点，连接，．
的长度固定，
要使的周长最小，只需要的长度最小即可．
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
的最小长度为的长，此时点P与点重合．
菱形的周长为8，为的中点，，
，，
是等边三角形，
，，，
∴，
的最小周长．
故答案为：．
18．在正方形中，点为边上一点，且．以为对称轴将翻折，点的对应点为，延长交于，连接，则的正切值为 ．
【答案】/
【详解】解：依题意，，
∴，，
∴
又∵，
∴
∴，
设，，则，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）原式
；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是．
20．为了提高同学们的学习积极性，某校九年级举行了“数学知识竞赛”活动，并随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
分数段 频数 频率
30 0.1
90
0.4
60 0.2
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)请求出：________，________，抽查的总人数为________人；
(2)抽查成绩的中位数应落在________分数段内；
(3)若满分人数有甲、乙、丙、丁四人，现决定从这四名同学中任选两名参加市里的决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．（用树状图或列表法解答）
【答案】(1)120，0.3，300
(2)
(3)
【详解】（1）抽查的总人数为：，
∴，
故答案为：120，0.3，300；
（2）∵抽查成绩的中位数为第150和第151个成绩的平均数，，
∴抽查成绩的中位数落在分数段内，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
21．剪纸是我国古老的民间艺术之一．作为一种镂空艺术，剪纸能在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．某经销商在某网店选中A，B两种剪纸作品，决定从该网店进货并销售．两种剪纸作品的进货价和销售价如下表：
A种剪纸作品 B种剪纸作品
进货价（元/件） 30 40
销售价（元/件） 35 50
(1)该经销商用680元购进了A，B两种剪纸作品共20件，求两种剪纸作品各购进多少件．
(2)该经销商计划再次购进两种剪纸作品共33件，其中B种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进货量的2倍．该经销商应如何设计进货方案才能在两种剪纸作品全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)A剪纸作品购进20个，B剪纸作品购进10个；
(2)按照A剪纸作品购进11个、B剪纸作品购进22个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是440元．
【详解】（1）解：设A剪纸作品购进x个，B剪纸作品购进个，由题意得：
，
解得：，
（个）．
答：A剪纸作品购进20个，B剪纸作品购进10个；
（2）设第二次A剪纸作品购进a个，B剪纸作品购进个，获利y元，由题意得：
，
∵B种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进货量的2倍，
∴，
解得：，而，
∴，
∵，
∴，
∴y随a的增大而减少．
∴时，（元），
∴B剪纸作品为：（个）．
答：按照A剪纸作品购进11个、B剪纸作品购进22个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是440元．
22．已知二次函数，反比例函数
(1)当时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围．
【答案】(1)或或
(2)
(3)
【详解】（1）
解：联立，并整理得：
①
时，上式为：，
解得：x=1或或，
故函数交点坐标为：或或；
（2）
解：①式中含有的因式，即：，
故其中一个根：，
a为正整数，方程有一个到两个的根，
，
交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，
即(k为非负整数)，整理得：，
即：，
而，
当，时，解得： (舍去)；
当，时，解得：；
当，时， (舍去)；
故；
（3）
解：对于，
①当无解时，则，
解得；
②当时，两个根均大于，
即和均为正数，
则
∵，，
代入上式得：，解得，
故：a的取值范围为：．
23．如图，在中，是直径，是弦，的延长线交于点，且．
(1)试说明直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，即，
直线与相切；
（2）解：连接，交于点G，
，
，
，，
，
，
设半径为r，则，
在中，，
在中，，
，
解得或（舍），
，
在中，，
．
24．如图，点是抛物线与轴正半轴的交点，点在这条抛物线上，且点的横坐标为2．连接并延长交轴于点，抛物线的对称轴交于点，交轴于点．点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求直线对应的函数解析式．
(2)当四边形为矩形时，求点Q的坐标．
(3)设线段的长为．
①求关于的函数解析式；
②请直接写出当随着的增大而减小时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)①；②或
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
点的坐标为，
点的横坐标为2，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
时，，
，
四边形为矩形，
，即点的纵坐标为5，
，
整理得，，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：①点的横坐标为，轴交抛物线于点，
点，点，
当点在线段上时，线段的长为，
即；
当点在线段上时，线段的长为，
即，
与的关系式为；
②当点在线段上时，函数的对称轴为直线，
，
时，随着的增大而减小，
点在线段上，
，
当点在线段上时，函数的对称轴为直线，
，
时，随着的增大而减小，
点在线段上，
，
综上所述，随着的增大而减小时，的取值范围是或．
25．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．
(1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
(2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．
①求证：；
②求线段的长度．
(3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②；
(3)存在，最大值为：；
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵为边的中点，
∴，
∴，
过A作于E，
∵点B到的距离小于，
∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
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2024年中考数学模拟卷B
（绵阳专用）
注意事项：全套试卷共25个小题，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．估计的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
3．在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上，习近平主席发表了主旨演讲，演讲中提到：“未来年（—年），中国货物贸易、服务贸易进出口额有望累计超过万亿美元、万亿美元．”其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．中 B．考 C．胜 D．利
5．某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．若某同学在一次综合性测试中，语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都不超过3（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，依次类推且没有并列名次的情况），则称该同学为超级学霸．现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对某一次综合性测试名次数据的描述，可以推断出一定是超级学霸的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，中位数为2
B．乙同学：中位数是2，唯一的众数为2
C．丙同学：平均数是2，方差为2.4
D．丁同学：平均数为2，唯一的众数为2
7．如图，四边形内接于，为的直径，D为弧的中点，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．习主席说：中国人的饭碗要端在自己的手中．今年王伯伯家小麦又喜获丰收，为了很好的储存小麦，王伯伯家新买了一个如图所示的防尘防虫粮仓，请你根据说明书上的数据，帮王伯伯算一算这个粮仓的容积为（ ）（，）
A．45 B．44 C．46 D．47
10．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
12．如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．已知，，则 ．
14．不等式组的所有整数解的和为 ．
15．某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品，已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元：购买5个种奖品和2个种奖品共需130元，求、两种奖品的单价．设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，那么可列方程组为 ．
16．如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是 ．
17．如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ．
18．在正方形中，点为边上一点，且．以为对称轴将翻折，点的对应点为，延长交于，连接，则的正切值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）计算：；
（2）解不等式组：
20．为了提高同学们的学习积极性，某校九年级举行了“数学知识竞赛”活动，并随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
分数段 频数 频率
30 0.1
90
0.4
60 0.2
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)请求出：________，________，抽查的总人数为________人；
(2)抽查成绩的中位数应落在________分数段内；
(3)若满分人数有甲、乙、丙、丁四人，现决定从这四名同学中任选两名参加市里的决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．（用树状图或列表法解答）
21．剪纸是我国古老的民间艺术之一．作为一种镂空艺术，剪纸能在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．某经销商在某网店选中A，B两种剪纸作品，决定从该网店进货并销售．两种剪纸作品的进货价和销售价如下表：
A种剪纸作品 B种剪纸作品
进货价（元/件） 30 40
销售价（元/件） 35 50
(1)该经销商用680元购进了A，B两种剪纸作品共20件，求两种剪纸作品各购进多少件．
(2)该经销商计划再次购进两种剪纸作品共33件，其中B种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进货量的2倍．该经销商应如何设计进货方案才能在两种剪纸作品全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
22．已知二次函数，反比例函数
(1)当时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围．
23．如图，在中，是直径，是弦，的延长线交于点，且．
(1)试说明直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
24．如图，点是抛物线与轴正半轴的交点，点在这条抛物线上，且点的横坐标为2．连接并延长交轴于点，抛物线的对称轴交于点，交轴于点．点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求直线对应的函数解析式．
(2)当四边形为矩形时，求点Q的坐标．
(3)设线段的长为．
①求关于的函数解析式；
②请直接写出当随着的增大而减小时，的取值范围．
25．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．
(1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
(2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．
①求证：；
②求线段的长度．
(3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
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