内蒙古自治区包头市第二十九中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷（含解析版）

2023-2024学年内蒙古包头二十九中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题
1．下列图案是鄂尔多斯市的不同行业的标志，其中不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（　　）
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC平行投影面时的正投影
4．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．明天太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，其内角和为360°
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D．通常加热到100℃时，水沸腾
5．将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为130°和160°），则∠CAB的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数（　　）
A． B．
C． D．
7．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，则所列方程是（　　）
A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81
C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
9．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°经过点A，则k的值为（　　）
A． B．﹣9 C． D．﹣6
10．如图1，矩形ABCD中，AB＝4，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b），则a的值为（　　）
A． B． C． D．2
11．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
二、填空题
12．若关于x的一元二次方程方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　．
13．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，那么B，C两地的距离为 　 　．
14．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米），则小明这次实心球训练的成绩为 　 　．
15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加　 　m．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，则tan∠EDF的值为　 　．
三、解答题
17．解方程：（1）x2﹣6x+9＝（2x﹣5）2；
（2）．
18．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 　 　度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训
19．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）（元）的一次函数，且当x＝40时；x＝50时，y＝100．在销售过程中
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，4），C（﹣4，2）．
（1）画出△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的A1B1C1；
（2）在△ABC旋转过程中，求点B旋转到B1所经过的路径长．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线交于点D，与AC交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
22．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
（1）【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边AD、AB上的点，若∠ECF＝45°，则BF、DE
（2）【类比探究】如图2，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PC＝3，则∠APB＝　 　；
（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中∠ABC＝30°，∠ADC＝60°2＝AB2+BC2．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，1），与y轴交于点D．
（1）求直线AC和抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上，点Q在x轴上，C，P，Q为顶点的四边形是平行四形时，直接写出点Q的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上不与点B重合的动点，连接BC△ABC＝S△AOM时，求点M的横坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列图案是鄂尔多斯市的不同行业的标志，其中不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可知选项B、C、D都是中心对称图形．
故选：A．
2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，
故选：C．
3．下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（　　）
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC平行投影面时的正投影
【解答】解：一定不会改变△ABC的形状和大小的是当△ABC平行投影面时的正投影，
故选：D．
4．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．明天太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，其内角和为360°
C．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D．通常加热到100℃时，水沸腾
【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，发生的可能性为100%；
B、任意画一个三角形，一定不会发生；故B不正确；
C、经过某个十字路口时可能遇到红灯，均可能发生，故C正确；
D、通常加热到100℃时，一定会发生；故D不正确；
故选：C．
5．将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为130°和160°），则∠CAB的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【解答】解：如图，设量角器的中心为O，
由题意，得：∠COB＝160°﹣130°＝30°，
∴∠BAC＝∠COB＝15°．
故选：B．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴ac＜5，ab＜0，
∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限、四象限．
故选：D．
7．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，则所列方程是（　　）
A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81
C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81
【解答】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，
第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（x+1）人被感染．
根据题意得：1+x+x（7+x）＝81．
故选：A．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，
∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠D＝45°，
∵AB＝2，∴BD＝2，
∴AD＝＝＝7，
∴⊙O的半径AO＝＝．
故选：D．
9．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°经过点A，则k的值为（　　）
A． B．﹣9 C． D．﹣6
【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝30°，
设AB＝a，则OB＝2a，
由题意可知，∠COA＝30°，
∵∠COA＝∠AOB＝30°，∠ACO＝∠BAO＝90°，
∴△COA∽△AOB，
∴，即＝，
∴S△COA＝，
∴|k|＝2SCOA＝9，
∴k＝﹣5．
故选：B．
10．如图1，矩形ABCD中，AB＝4，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b），则a的值为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵矩形ABCD，E、F是边AB，AB＝4
∴易证四边形ADFE是正方形
∴点E关于EF的对称点是点D
∴PE＝PD
∴y＝PE+PB＝PD+PB
∴当点D、P、B三点共线时
连接BD交于点P1，此时AP7＝a，BD＝b
∵AB∥CD
∴
∴AP1＝AF＝×＝
即a＝
故选：B．
11．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
【解答】解：x2﹣4x﹣4＝0，
x2﹣3x＝1，
x2﹣4x+4＝1+6，
（x﹣2）2＝3．
故选：C．
二、填空题
12．若关于x的一元二次方程方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是 　m≥且m≠1　．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝7m2﹣4（m﹣8）（m﹣2）≥0，
解得m≥且m≠1，
即m的取值范围为m≥且m≠1．
故答案为：m≥且m≠1．
13．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，那么B，C两地的距离为 　km　．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，
由题意得，∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，
∴AD＝AB＝7（千米），
∴CD＝BD＝（千米），
∴BC＝（千米），
故答案为：km．
14．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米），则小明这次实心球训练的成绩为 　10m　．
【解答】解：令y＝0，即﹣x7+x+，（x＞0）
解得：x＝10，
故答案为：10m．
15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加　（2﹣4）　m．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，可求出OA和OB为AB的一半2米，2），
设顶点式y＝ax6+2，代入A点坐标（﹣2，
得：a＝﹣8.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+2，
把y＝﹣3代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.4x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了5，
故答案为：（2﹣4）．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，则tan∠EDF的值为　　．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，点G是BC上的一点，
∴BG＝3，CG＝7，
在Rt△ABG中，AG＝，
∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AFB＝90°，∠GAB+∠ABF＝90°，
∵∠ABG＝90°，∠GAB+∠AGB＝90°，
∴∠AFB＝∠ABG，∠ABF＝∠AGB，
∴△ABG∽△AFB，
∴，
∵AB＝8，AG＝5，
∴AF＝，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝90°，即∠ADE+∠DAE＝90°，
∵∠DAB＝90°，即∠DAG+∠BAG＝90°，
∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠BAG，
∴△ABG∽△DEA，
∴＝，
∵AG＝7，BG＝3，AB＝4，
∴AE＝，DE＝，
∴EF＝AF﹣AE＝，
∴tan∠EDF＝＝，
故答案为：．
三、解答题
17．解方程：（1）x2﹣6x+9＝（2x﹣5）2；
（2）．
【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝（2x﹣5）8，
（x﹣3）2﹣（4x﹣5）2＝2，
[x﹣3+（2x﹣2）][x﹣3﹣（2x﹣2）]＝0，
（3x﹣8）（﹣x+2）＝0，
3x﹣8＝0或﹣x+6＝0，
x1＝，x2＝6；
（2），
﹣＝7，
x﹣（2x﹣1）（x+8）＝0，
解得：x＝±，
检验：当x＝±时，（x+5）（x﹣1）≠0，
∴x＝±是原方程的根．
18．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　20人　，b＝　18人　，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 　36　度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训
【解答】解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣3﹣7﹣20＝18（人）＝36°，
故答案为：20人，18人；
（2）设男生为A，女生为B
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率＝．
19．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）（元）的一次函数，且当x＝40时；x＝50时，y＝100．在销售过程中
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
则，
解得：，
则y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；
（2）W＝（x﹣30）（﹣6x+200）﹣500＝﹣2x2+260x﹣6500；
（3）∵W＝﹣2x2+260x﹣6500＝﹣2（x﹣65）2+1950，
∴当x＜65时，W随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x＝60时，W取得最大值2+1950＝1900，
答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，4），C（﹣4，2）．
（1）画出△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的A1B1C1；
（2）在△ABC旋转过程中，求点B旋转到B1所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求；
（2）∵OB＝＝5，
∴的长＝＝π．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线交于点D，与AC交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图1，
连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠1，
∵BC∥OD，
∴∠B＝∠8，∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3，
∵OC＝OA，OD＝OD，
∴△COD≌△AOD（SAS），
∴∠DAO＝∠DCO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠DAO＝90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如图1，
由（1）知：∠B＝∠6＝∠2，
∵∠CDO＝，
∴∠CDO＝，
∵∠CDO+∠2＝90°
∴∠CDO＝30°，
∵∠DCO＝90°，
∴CD＝OD cos∠CDO＝3 cos30°＝；
（3）如图4，
设OD交⊙O于F，
由（1）（2）知，
∠3＝∠2＝8∠DCO＝60°，OA＝OC＝，AD＝CD＝，
∴S△AOD＝，
S扇形AOF＝＝，
∴S阴影＝S△AOD﹣S扇形AOF＝．
22．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
（1）【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边AD、AB上的点，若∠ECF＝45°，则BF、DE
（2）【类比探究】如图2，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PC＝3，则∠APB＝　135°　；
（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中∠ABC＝30°，∠ADC＝60°2＝AB2+BC2．
【解答】（1）解：BF+DE＝EF，
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝DC，∠BCD＝∠EDC＝∠B＝90°，
将△BCF绕点C顺时针旋转90°，得到△DEH，DH＝BF，
∵∠CDH＝∠B＝90°，
∴∠CDH+∠EDC＝180°，
∴H、D、E三点在同一条直线上，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ECH＝∠ECD+∠DCH＝∠ECD+∠BCF＝∠BCD﹣∠ECF＝45°，
∴∠ECH＝∠ECF，
在△ECH和△ECF中，
，
∴△ECH≌△ECF（SAS），
∴EH＝EF，
∵EH＝DH+DE＝BF+DE，
∴BF+DE＝EF．
（2）解：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，CB＝AB，
将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△GBC，
∵∠PBG＝90°，GB＝PB＝7，
∴PG＝＝＝2，
∵PA＝6，GA＝PC＝3，
∴PA2+PG6＝12+（4）2＝2，GA2＝37＝9，
∴PA2+PG2＝GA2，
∴△PAG是直角三角形，且∠APG＝90°，
∴∠APB＝∠BPG+∠APG＝45°＝90°＝135°，
故答案为：135°．
（3）证明：如图3，以AB为一边在AB的右侧作等边三角形ABL、LC，
∴∠ADC＝60°，AD＝CD，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，AL＝AB，
∴∠CAL＝∠DAB＝60°+∠BAC，
在△CAL和△DAB中，
，
∴△CAL≌△DAB（SAS），
∵∠ABC＝30°，∠ABL＝60°，
∴∠CBL＝∠ABC+∠ABL＝90°，
∴LC6＝LB2+BC2，
∵LC＝BD，LB＝AB，
∴BD4＝AB2+BC2．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，1），与y轴交于点D．
（1）求直线AC和抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上，点Q在x轴上，C，P，Q为顶点的四边形是平行四形时，直接写出点Q的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上不与点B重合的动点，连接BC△ABC＝S△AOM时，求点M的横坐标．
【解答】解：（1）将点A（4，0），，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
将点A（4，0），7），2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设点P的坐标为，点Q的坐标为（n，
①若AP和CQ是平行四边形的对角线，
∴AP、CQ互相平分，
∵，
∴m＝2或m＝8（与点C重合，舍去），
∴点P的坐标为，
∵，
∴n＝3，
∴点Q的坐标为（5，0）；
②若AC和PQ是平行四边形的对角线，
∴AC、PQ互相平分，
∵，
∴m＝2或m＝8（与点C重合，舍去），
∴点P的坐标为，
∵，
∴n＝6，
∴点Q的坐标为（3，0）；
③若AQ和CP是平行四边形的对角线，
∴AQ、CP互相平分，
∵，
∴m＝5或m＝﹣3，
∴点P的坐标为或，
∵，
∴点Q的坐标为（5，0）或（﹣5；
综上所述，当以A，C，P，点Q的坐标为（6，0）或（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
代入A（4，0），3），
得，
解得，
∴直线AB的解析式为，
过点C作CE⊥x轴，交AB于点E，
∴点E的坐标为，
∴CE＝，
∴＝，
设点M的坐标为，
∴＝，
∵S△ABC＝S△AOM，
∴，
解得a＝或或或，
∴当S△ABC＝S△AOM时，点M的横坐标为或或或．