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2024年贵州省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年贵州省数学三模专用卷（06）
全卷三个大题，共25题，满分150分．考试时间为120分钟．
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1. 下列各数中，正整数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据有理数的分类即可求解．
是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
2. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．
从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选C．
【点睛】本题考查了三视图知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】B
【解析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
亿年年年，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案．
过点H作，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴，，即，
解得：且，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A. 9，9， B. 9，9， C. 8，8， D. 9，8，
【答案】B
【解析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是9，所以中位数是9，
平均数为
故选：B．
【点睛】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键．
7. 如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
【答案】B
【解析】利用等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
8.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
9. 《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可．
x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿，
由此可知，
故选C．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．
10. 如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 当时， D. 不等式的解集是
【答案】D
【解析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
由图象可得，
，，则，故选项正确，不符合题意；
该函数的对称轴为，
，
化简得，故选项正确，不符合题意；
该函数图象开口向上，该函数的对称轴为，
时，随的增大而增大，
当时，，故选项正确，不符合题意；
图象对称轴为，且经过点，
图象与轴另一个交点为，
不等式的解集是，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．
【详解】如图所示，过点作于点，
在中，，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴
设，
∵
∴
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
12. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式．
由题意可得：
即
故选B
【点睛】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量-耗油量”是解本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 ．
【答案】b（a+5）（a﹣5）．
【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
14. 如图是在的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用和表示眼晴，那么嘴的位置可以表示为__________。
【答案】（1,2）
【解析】如图，建立平面直角坐标系：
可知嘴的位置对应的点的坐标为.
15. 方程2x2+1=3x解为________．
【答案】
【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
【答案】．
【解析】根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到GN的长，然后通过图形可知，△AGF的面积＝△ABF的面积﹣△ABG的面积，代入数据计算即可．
解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
∴，
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴，
即，
解得x＝，
∴GN＝4x＝，
∴△AGF的面积是：＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （10分）（1）计算
【答案】
【解析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可．
．
【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
（2） 解不等式组 ，并求出它所有整数解的和．
【答案】3
【解析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：．
18. （10分）某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 ……
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．
【答案】（1）100 （2）360 （3）答案不唯一，见解析
【解析】【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数；
（2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可；
（3）从图中观察或计算得出，合理即可．
【详解】（1）被抽查学生数：，
答：本次调查共抽查了100名学生．
（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：，
∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：，
∴（人）．
答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360．
（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．
【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题．
19. （10分）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 11 19
日销售量y（件） 18 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【解析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
20. （10分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
21. （10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】（1）， （2）或
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：把的坐标代入，
，
解得，
∴．
又∵点是反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
解：∵点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴或，
当时，，
当时，，
由图象可知，
若点在该反比例函数图象上，且它到 y轴距离小于3，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
22. （10分）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
【答案】的长约为
【解析】在中，由，再代入数据进行计算即可．
在中，，，，
∴
．
∴的长约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．
23. （12分）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求证；
（2）①根据∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求证；②根据，可得，即，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥OB，
∵OD∥BC，
∴CB⊥OB，
∵OB为半径，
∴直线是⊙的切线；
（2）解：①∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠BAC=∠ODB，
∵∠ABD=∠DBE，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）．
即⊙的半径的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24. （12分）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）
（2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为
（3）4
【解析】【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】
（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
25．（14分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【答案】见解析。
【分析】（1）如图1中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′＝60°，由题意可知∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
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2024年贵州省数学三模专用卷（06）
全卷三个大题，共25题，满分150分．考试时间为120分钟．
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1. 下列各数中，正整数是（ ）
A. B. C. D.
2. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
4. 将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5.若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A. 9，9， B. 9，9， C. 8，8， D. 9，8，
7. 如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
8.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 当时， D. 不等式的解集是
11.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )
A. B. 1 C. D. 2
12. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 ．
14. 如图是在的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用和表示眼晴，那么嘴的位置可以表示为__________。
15. 方程2x2+1=3x解为________．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （10分）（1）计算
（2） 解不等式组 ，并求出它所有整数解的和．
18. （10分）某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 ……
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．
19. （10分）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 11 19
日销售量y（件） 18 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
20. （10分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
21. （10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
22. （10分）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
23. （12分）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
24. （12分）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
25．（14分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
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