数学人教版(2019)必修第二册6.2.4向量的数量积 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
6.2平面向量的运算
第六章 平面向量及其应用
课时4 向量的数量积
探究一：两向量的夹角与向量数量积的定义
如图，在物理学中，一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功 =| || |cos ，其中 是 与 的夹角.
情境设置
问题：能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果
【解析】可以
问题：向量数量积的运算结果与向量线性运算的结果有什么不同
【解析】数量积的运算结果是实数，向量线性运算的结果是向量.
新知生成
知识点一 向量夹角的定义
1. 两向量夹角定义：已知两个非零向量，， 是平面上的任意一点，作 ，，则 叫作向量与的夹角.(平移到同一个起点)
特例：①当时，向量 ， ______;
②当时，向量 ， ______;
③当时，向量 ， ______，记作 ⊥ .
同向
反向
垂直
新知生成
知识点一 平面向量数量积的定义
2. 平面向量数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，把数量| || | cos 叫作向量 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 =| || |cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.
(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”.
(2)数量积的结果为数量，不是向量.
(3)非零向量数量积的正负由两个向量的夹角 决定：
当 是零角或锐角时，数量积为正；
当 是钝角或平角时，数量积为负；
当 是直角时，数量积等于零.
一、向量数量积运算
例题1 已知向量| |=2，| |=3.
(1)若向量 ， 的夹角为，求 ；
(2)若 = 1，求向量 ， 夹角的余弦值.
【解析】(1)因为向量， ，向量，的夹角为 ，所以 .
(2)设向量 ， 的夹角为 ，由数量积的定义，得 ，
故向量，夹角的余弦值为 .
反思感悟
方法总结
求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式 =| || |cos .运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
新知运用
跟踪训练1 已知正的边长为2，求：
(1) ；(2) ；(3) .
【解析】(1) 与 的夹角为 ，
.
(2) 与 的夹角为 ，
.
(3) 与 的夹角为 ，
.
探究二：投影向量
如图，一束平行光线照射在线段 上，在直线 上的投影如下.
情境设置
问题：图中的线段叫作什么 设直线与直线的夹角为，那么 与，之间有怎样的关系
【解析】 线段叫作线段 在直线.
.
新知生成
知识点二 投影向量
1. 投影向量定义：
设，是两个非零向量，过 的起点 和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到，这种变换为向量向向量投影， 叫作向量 在向量 上的__________.
2. 投影向量写法：
在平面内任取一点，作 ，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，过点作直线的垂线，垂足为，则 __________.
注意：记 与的夹角为，则在的投影向量为：
新知生成
知识点二 投影向量
3. 投影向量的性质：
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
(1) = =| |cos .
(2) ⊥ =0.
(3) 当 与 同向时， = | || |；
当 与 反向时，
特别地， 或
(4) | || || |.
注意：非零向量的数量积的符号由夹角决定.
当时，非零向量的数量积为正数.
当 时，非零向量的数量积为零.
当时，非零向量的数量积为负数.
二、投影向量
例题2 (1) 已知 , 为单位向量，与的夹角为则在上投影向量的模为( ) .
A. B. C.1 D.
(2) 已知，为单位向量，与的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量为_____.
【解析】(1) 因为 , 为单位向量，与的夹角为 ，所以 在 上投影向量的模为 .故选C.
(2) 因为 , ，所以向量 在 上的投影向量为 .
C
反思感悟
方法总结
关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项
(1)向量 在 所在直线上的投影是一个向量，向量 在 所在直线上的投影的
数量是一个实数；
(2)向量 在向量 上的投影向量的模是 | ||cos , |，向量 在向量 上的投
影向量的模是| ||cos , |，二者不能混为一谈.
新知运用
跟踪训练2 计算： 已知 ， ，且 ，则在上投影向量的模为_______，在上投影向量的模为_______.
【解析】因为 ，
所以向量 在向量 上投影向量的模为 ,
向量 在向量 上投影向量的模为 .
三、向量的模
例题3 (1)已知向量， 的夹角为，，则_____.
(2)设 ， 为单位向量，且，则
【解析】(1)
.
(2) 因为 , 为单位向量，所以 ，
所以，
解得所以 .
四、向量的夹角
例题4 (1) 已知， ，求 与 的夹角.
(2) 已知向量，，且 ，，，求向量 与 夹角的大小.
【解析】(1) ， .
设 与 的夹角为则 ，
又 ， .
(2) 设 与 的夹角为 ，由已知得 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 与 的夹角为 .
五、向量的垂直
例题5 (1) 已知非零向量， 满足，与夹角的余弦值为 ，若 ，则实数的值为_______.
(2) 已知非零向量，满足 ，且 . 当 时，求向量与 的夹角的值.
【解析】(1) 由题意知， , ，所以 .因为 ，所以 ，即 ，所以 .
(2)因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 .，所以 .又因为 ，
所以 ，又 ，所以 .
反思感悟
方法总结
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用，即 ，勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出 的值及， 的值，然后代入求解，也可以寻找 ， ，三者之间的关系，然后代入求解.
(3)解决有关垂直问题时利用( ， 为非零向量).
随堂检测
1.已知向量 , 满足 , , ，则 ( ) .
A. 2 B. 1 C.0 D.2
2. 若 ， ， 和 的夹角为 ，则与的数量积为( ) .
A.2 B. C. D.
3.已知 ， 均为单位向量，，则 与 的夹角为( ) .
A. B. C. D.
C
D
A
随堂检测
4.已知 ，若向量在上的投影向量为 ，求.
【解析】设 ， 的夹角为 ，则 .因为向量 在 上的投影向量为 ，所以 ，即 ，所以 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)向量数量积的定义.
(2)向量数量积的性质.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律；向量夹角共起点；两向量夹角为锐角，两向量夹角为钝角.