数学人教版(2019)必修第二册6.2.1向量的加法运算 课件（共22张ppt）

(共22张PPT)
6.2平面向量的运算
第六章 平面向量及其应用
课时1 向量的加法运算
探究一：向量的加法及几何意义
如图，某质点从点 经过点 到达点 .
情境设置
问题：上述这个质点的位移可以怎么表示
【解析】从运算的角度看， 可以认为是 与 的和，即 .
新知生成
知识点一 向量的加法
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
(1)三角形法则
已知非零向量，，在平面内取任意一点 ，作，则向量 叫作与的和，记作 ，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量 ，规定
新知生成
知识点一 向量的加法
(2)平行四边形法则
以同一点为起点的两个已知向量 ， 为邻边作，则以为起点的向量 就是向量与的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则.
注意：位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
一、求作向量的和
例题1 (1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出 + ；
(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出 + .
【解析】(1)如图③，设 ，因为与有公共点 ，所以过 点作 ，连接 ，即为.
(2)如图④，设 ，过点作 ，则以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 .
反思感悟
方法总结
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 个向量的终点的向量；
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合；
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单.
新知运用
跟踪训练1 如图所示，已知向量 ， ， 不共线，作向量 + + .
【解析】(法一：三角形法则)如图①，在平面
内作 ， ，则 ，再作
，则 .
(法二：平行四边形法则)如图②，在平面内作 ， ，以 ， 为邻边作平
行四边形 ，则 ，再作 ， 以 ， 为邻边作平行四边形 ，则 .
二、向量加法的实际应用
例题2 河水自西向东流动的速度为 10km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，
小船在静水中的速度为 km/h ，求小船的实际航行速度.
【解析】 设，分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 作， ，以， 为邻边作矩形连接， 则，并且 即为小船的实际航行速度. ，
， ，
小船的实际航行速度为 ，沿北偏东的方向航行.
反思感悟
方法总结
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
新知运用
跟踪训练2 如图，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子上， 求和处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
【解析】向量如图所示，设 , 分别表示 , 处所受的力,的重力用 表示，则 .
由题意可得 ，
.
，
.
处所受的力为 ， 处所受的力为 .
新知生成
知识点二 向量的模的性质
1. 零向量与任意向量 的关系
零向量与任意向量 的和都有 + = + = .
2. | + |，| |，| |之间的关系
一般地， ，当且仅当 ， 方向相同或相反时,等号成立.
三、向量的模的性质
例题3 证明：对于任意给定的向量 ， ，均有| + |≤| |+| |.
【解析】(1) 若 , 中有一个为 ，则结论显然成立.
(2)若 , 都不是 ，设 , ，则 .
①当 , 不共线时，由三角形的性质知，
，
即 ，如图(1)；
②当 ， 共线且 ， 同向时， ，即 ，如图(2)；
综上， .
反思感悟
方法总结
本题是利用图形证明，证明时注意：
(1)平面中两个向量的位置关系
有共线与不共线两种情况，共线又有同向和反向两种情况，证明时各种情况都得考虑.
(2)当证明不等式时，不能忽视等号成立的条件，否则会造成证明过程不全面而失分.
新知运用
跟踪训练3 已知非零向量，，，，则 的最大值为____.
【解析】因为 ，当且仅当 ， 方向相同时，等号成立，所以 的最大值为13.
探究三：向量的运算律
实数的加法满足交换律，向量的加法是否也满足呢
情境设置
问题：根据图中的平行四边形 ，验证向量加法是否满足交换律.(注:)
【解析】 ， .
， ， .故向量加法满足交换律.
新知生成
知识点三 向量加法的运算律
向量加法的运算律
(1)交换律： + = + .
(2)结合律： + + =( + )+ = +( + ).
注意:由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与组合来进行.
例如， ( + )+( + )=( + )+( + )=( + )+( + ) .
四、向量的运算律
例题4 化简：
(1)
(2)
【解析】(1) (法一)
.
(法二) .
(2) .
反思感悟
方法总结
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量
加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加
法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的
结合律调整向量相加的顺序.
新知运用
跟踪训练4 已知如图, ， ， ， 分别是梯形 的边 ， ， ， 的中点，化简下列各式：
(1) ；
(2) .
【解析】(1)
.
(2)
.
随堂检测
1. 下列等式不正确的是( ) .
；
；
.
A.②③ B.② C.① D.③
2. 如图，四边形是梯形， ，对角线与相交于点 ，则 ( ) .
A. B. C. D.
B
B
随堂检测
3. (多选题) 已知 ， 为非零向量，且 | + |=| |+| | ，则( ) .
A. ，且 与 的方向相同 B. ， 是共线向量
C. D. ， 无论什么关系均可
4. 若 表示“向东走 ”， 表示“向北走 ”，则 ________， 的方向是__________.
AB
东北方向
课堂小结
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.