4.1数列的概念 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
4.1数列的概念
1.王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量身高,将这些身高
数据(单位：cm)依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,
162,163,165,168. ①
记王芳第i岁时的身高为hi
问题：
（1）h2代表什么？h2=？
（2）hi之间的位置能不能交换？
解：（1）h2=87 （2）它们之间不能交换位置，
所以，①是具有确定顺序的一列数。
引入
2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90,约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:
5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②
记第i天月亮可见部分的数为si,
那么s1=5,s2=10… s15=240
反映了月亮可见部分的数按日
期从1到15的顺序排列时的确
定位置，它们之间不能交换位
置，所以，②也是具有确定顺
序的一列数.
引入
注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示。
3. 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂......依次排成一列数
③
③也是具有确定顺序的一列数.
归纳：上述3个例子的共同特征是什么？
引入
新知
数列的定义:
(1) 按一定次序排列的一列数叫做数列.
(2) 数列中的每一个数都叫做数列的项,
(3) 各项依次叫做这个数列的第1项 (或首项)常用符号a1表示,第2项,用符号a2表示…,第n项,用符号an表示…
(4) 数列的一般形式可以写成a1,a2,...,an,... 有时简记为{an}
(5)项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列
举例5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②
a1=5,a2=10,a13=208
新知
数列的每一项与这一项的序号对应关系
项 a1 a2 a3 a4 ... an ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 ... n ...
数列{an}是从正整数集（或它的有限子集）到实数R的函数
数列可以用表格和图像来表示
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
an 75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168
通项公式：
如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。
孤立的点
新知
与函数类似，我们可以定义数列的单调性
从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列
比如：1，2，3，4，... ...
从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫递减数列
比如：4，3，2，1，... ...
各项都相等的数列叫做常数列
比如：1，1，1，1，... ...
例1：根据下列数列{an}的通项公式，写出前5项,并画出它们的图象：
（1）
解:(1)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{an}的前5项依次1,3,6,10,15.
图象如图所示.
例题
例1：根据下列数列{an}的通项公式，写出前5项,并画出它们的图象：
（1）
(2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{an}的前5项依次为1,0,-1,0,1.
图象如图所示.
例题
例题
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式
(1)
(2)2，0，2，0，...
an=(-1)n+1+1
根据下列数列的前4项，写出数列的第6项和数列的一个通项公式
(1)1，2，3，4，...
(2)2，4，6，8，...
(3)1，3，5，7，...
(4)1，-1，1，-1，...
(5) 1，10，100，1000，...
(6) 1，0.1，0.01，0.001，...
(7) 9，99，999，9999，...
(1)a6=6，an=n
(2)a6=12，an=2n
(3)a6=11，an=2n-1
(4)a6=1，an=(-1)n+1
(5)a6=100000，an=10n-1
(6)
(7)a6=999999，an=10n-1
课本P5 练习4
练习
归纳
(1)根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
(2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
例3.如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：令n2+2n=120
解得 n=-12（舍）或n=10
所以 120是数列的项，是第10项
练习
课本P5 练习2
例4.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,
即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
例题
解：换个角度观察图中的4个图形，可以发现，
①a1=1,
②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，
③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。
这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1, a2 =3 a1, a3 =3a2, a4 =3a3,由此猜测这个数列满足公式
例题
新知
递推公式 :
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
如果已知数列的第1项(或前几项)和和递推公式，就能求出数列的每一项。
例题
例5：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项。
在数列{an}中，
（1）求数列{an}的前5项
（2）求a2021
解：(1) ，a2=-1，a3=2， ，a5=-1
（2）周期为3，2021=3×673+2
所以a2021=a3×673+2=a2=-1
练习
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn =a1+a2+...+an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
练习：(1)数列{an}的通项公式为an=n,则S3= ，S5= ，
S1= 。
（2）数列{an}的前n项和为Sn，S7=30，S8=40，则a8= 。
思考：an与Sn的关系？
6
15
1
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新知
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn =a1+a2+...+an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有
新知
已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,
（1）求S3，S5，Sn-1
（2）求出{an}的通项公式
解：(1)S3=32+3=12,S5=52+5=30,
Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.
(2)当n=1时，a1=S1=2，
当n>1时，an=Sn-Sn-1= n2+n -[(n-1) +(n-1)]=2n(n≥2),①
将n=1代入①式得，2×1=2=a1
所以当n=1时，①式依然成立.
故{an}的通项公式是an=2n.
例题
1、已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-2n2,求{an}的通项公式
2、已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+4 ，求{an}的通项公式
解：(1)当n=1时，a1=S1=-2，
当n>1时，an=Sn-Sn-1= -2n2 -[-2(n-1) ]=2-4n(n≥2),①
将n=1代入①式得，2-4=-2=a1
所以当n=1时，①式依然成立.
故{an}的通项公式是an=2-4n.
练习
解:当n=1时，a1=S1=1+5=6;
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(n2+5)-[(n-1)2+5]=2n-1.①
将n=1代入①式得，2-1=1≠6=a1
所以当n=1时，①式不成立.
1、已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-2n2,求{an}的通项公式
2、已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+5 ，求{an}的通项公式
练习
小结
1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列{an}是从正整数集（或它的有限子集）到实数R的函数
数列可以用表格和图像来表示
3.如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。
4.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
5.数列前n项和：Sn =a1+a2+...+an.且
6.有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列