人教版八年级数学下册 第十八章平行四边形 单元复习题（含解析）

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习题
一、选择题
1．如图，在中，，则（　　）
A．30° B．50° C．60° D．120°
2．如图，在△ABC 中，BC=4，D，E分别为AB，AC的中点，则 DE的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
3．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
5．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （　　）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
6．如果平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是 （　　）
A．8 和14 B．10 和14 C．18 和20 D．10 和34
7．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （　　）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD=4OE.③四边形AECF是菱形④其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
10．如图，F是正方形ABCD 对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD 于点E.若∠AFC=140°，则∠DEC的度数为 （　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
二、填空题
11．如图，在Rt中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=6 ， BC=8，则CD=　 　．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为　 　
13．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=　 　
14．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是　 　.
三、解答题
15．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 求证：AC⊥BD.
16．如图，在 ABCD中，点 E，F 分别在边 AB，CD上，且BE=DF，EF 与AC 相交于点P.求证：P 是□ABCD对角线的交点.
17．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BE⊥AC 于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF.
（1）求证： ABCD 是矩形.
（2）若OD=13，CF=12，求 BF的长.
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，∠BAC=90°，E为BC的中点.求证：四边形AECD是菱形.
19．如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，E是OC 上一点，OE=2，连结 EB.过点 A 作AM⊥BE，垂足为 M，AM 与BD 相交于点 F.求OF 的长.
20．如图，点 是 内一点，连接 ， ，并将 ， ， ， 的中点 ， ， ， 依次连接，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 为 的中点， ， 和 互余，求 的长度．
21．如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
22．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，连接，求点到的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D.
∵，
∴∠D=60°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角相等求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点
∴DE为△ABC的中位线，
∴ DE=BC=2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
A、24>8+14，A错误.
B、24=10+14，B错误.
C、24<18+20，C符合.
D、24<10+34，D符合.
∴四个选项中只有C，D符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：C．
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系.作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，因此可得：AE＜AC+CE，即AC+CE>24.逐个选项进行判断：A、24>8+14，A错误.B、24=10+14，B错误.C、24<18+20，C符合.D、24<10+34，D符合.但是10，34，24不符合三边关系：10+24=34，D选项排除.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OA，OB=OD，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴OD=OB=6.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和等边三角形的判定“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可得三角形AOB是等边三角形，然后根据矩形的性质并结合已知可求解.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：①∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC；故结论正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，AD=BC，
∵点E为BC的中点，
∴OE∥AB，BC=2CE，
由①得：AB⊥AC，
∴OE⊥AC，则∠EOC=90°，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=CE，
由①得：∠ECA=30°，
∴BC=2AB，
∴AD=BC=4OE，故结论正确；
③在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB⊥AC，E为BC中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故结论正确；
④在平行四边形ABCD中，AO=CO，
∵点E为BC中点，
∴S△BOE=S△BOC=S△ABC，故结论正确.
故答案为：A.
【分析】①由题意易得△ABE是等边三角形，然后根据角的构成∠BAC=∠BAE+∠EAC可求解；
②由三角形的中位线定理可得OE∥AB，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得OE=CE，AB=BC，于是AD=BC=4OE；
③由平行四边形的性质并结合已知用角边角可证△AOF≌△COE，则AF=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AECF是菱形；
④根据线段中点的定义并结合等底等高的两个三角形的面积相等可求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠CFB=∠AFB，
∵ ∠AFC=140° ，
∴∠CFB=∠AFB=70°，
∴∠DFC=180°-∠CFB=110°，
∴ ∠DEC= ∠DFC-∠EDF=110°-45°=65°.
故答案为：D.
【分析】可证△ABF≌△CBF（SAS），可得∠CFB=∠AFB=70°，利用邻补角的定义可得∠DFC=180°-∠CFB=110°，再利用三角形外角的性质可得∠DEC=∠DFC-∠EDF，继而得解.
11．【答案】5
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=
AB=5．
故答案为：5．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=
AB=5。
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，且OE=AE=AD=5，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∴FG=OE=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2，
故答案为2．
【分析】根据菱形性质和中位线性质可知OE=AB，根据直角三角形的中线性质可知AE=AD=5，通过矩形的判定方法可证出平行四边形OEFG是矩形，从而得知FG=OE=5，最后通过线段之间的和差关系得出答案.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
14．【答案】15
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
15．【答案】证明：∵为平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ AC⊥BD
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理.因为四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得：，进而求出的长度，又知，可推出，根据勾股定理的逆定理可推断出AC⊥BD.
16．【答案】证明：连接AF，CE，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，DC=AB，
∵BE=DF，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AP=CP，
∴点P是平行四边形ABCD的对角线的交点
【解析】【分析】连接AF，CE，利用平行四边形的性质可证得CD∥AB，DC=AB，同时可证得CF=AE；利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形AFCE是平行四边形，利用平行四边形的性质可知AP=CP，据此可证得结论.
17．【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵OD＝13，
∴OB＝OC＝OD＝13，
∵CF＝12，
在Rt△OFC中
∴OF5，
∴BF＝OB+OF＝18．
【解析】【分析】（1）根据BE⊥AC，CF⊥BD 可得到∠BEO＝∠CFO，然后根据“AAS”可得△BOE≌△COF从而得到OB＝OC，再根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，可求得AC＝BD，即可解答；
（2）先由OD的长可求得OC的长，然后在Rt△OFC中根据勾股定理可求OF的长，从而可求出BF的产即可解答．
18．【答案】证明：∵∠BAC=90°，E为BC的中点，
∴AE=BC=CE，
∵BC=2AD，即AD=BC，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECD是菱形.
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BC=CE，结合已知可得AD=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECD是平行四边形，然后由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解.
19．【答案】解： 在正方形ABCD中，OA=OB，∠BOE=∠AOF=90°，
∵ AM⊥BE，
∴∠BMF=∠AOF=90°，
∵∠AFO=∠BFM，
∴∠OAF=∠FBM，
∴△AOF≌△BOE（ASA）
∴OF=OE=2.
【解析】【分析】根据ASA证明△AOF≌△BOE，可得OF=OE=2.
20．【答案】（1）证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
同理， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 和 互余，
，又 为 的中点，
，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质可得答案。
21．【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【解析】【分析】（1）首先由AB//CD以及AC平分∠BAD可得，即AD=CD，已知AD=AB，AB∥CD，利用平行四边形的判定，即可得四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）已知四边形ABCD是菱形对角线交点为O，可得AC⊥BD，，在直角三角形AOB中利用勾股定理求出OA的长度，在利用直角三角形的斜边中线定理即可得出OE的长度.
23．【答案】（1）证明：如图，作于，于．
四边形是正方形，
，
于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）解：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
≌，
，
由勾股定理得，，
．
（3）解：连接，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
点到的距离．
【解析】【分析】（1） 作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，证明△EDM和△EFN全等得到ED=EF，利用正方形的定义即可得证；
（2）先求得△ADG≌△DEC，得AG=CE，把AG+AE转化为AC即可；
（3）连接DF，利用勾股定理求DF的长，再利用等腰直角三角形的性质即可求解.
1 / 1