2023-2024学年数学七年级一元一次不等式和一元一次不等式组单元测试试题（沪科版）提升卷含解析

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2023-2024学年数学七年级一元一次不等式和一元一次不等式组（沪科版）单元测试 提升卷 含解析
一、单选题（共33分）
1．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）已知，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）若不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（本题3分）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列说法中正确的是（　　）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解
6．（本题3分）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
7．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来为（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）定义：把互不相等的3个正整数 （三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串． 现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作． 下列说法：①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则 或3．②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则 有4种不同的取值．③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数中1，2，3．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（本题3分）定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法：
①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3．
②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值．
③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（本题3分）若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共18分）
12．（本题3分）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号）
13．（本题3分）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值： ．
14．（本题3分）不等式的非负整数解为 ．
15．（本题3分）关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 ．
16．（本题3分）不等式组的所有整数解的和为 ．
17．（本题3分）如图，，，，，，，，，分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个数，不同的字母表示不同的数，使得分别以正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，那么的值为 ．
三、解答题（共69分）
18．（本题6分）解不等式或解不等式组
(1)解不等式： (2)解不等式组：
19．（本题8分）解不等式组：．
20．（本题8分）某公司有、两种型号的客车，它们的载客量、租金如下表所示：
型号客车 型号客车
载客量/(人/辆)
租金/(元/辆)
已知某中学计划租用、两种型号的客车共辆，同时送七年级师生到生态园参加社会实践活动，该中学租车的总费用不超过元．
(1)最多能租用多少辆型号客车？
(2)若七年级的师生共有人，请写出所有可行的租车方案．
21．（本题8分）若满足的每一个解都能使不等式成立．
(1)在数轴上表示m满足的不等式的解集；
(2)化简：．
22．（本题8分）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元．
(1)求篮球，足球的单价分别是多少元；
(2)该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？
23．（本题10分）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：．
(1)填空：若，则_______，若，则的取值范围为_______．
(2)若，求实数的取值范围．
24．（本题10分）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程的两解，与互为相反数．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，两点都运动在线段上（不与C、D两个端点重合）？
(3)在（2）的条件下，四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．
25．（本题11分）小云想用天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成组，第组有首，；对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，；每天最多背诵首，最少背诵首．解答下列问题：
第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天
第组
第组
第组
第组
(1)填入，补全上表；
(2)若，，，则的所有可能取值为 ；
(3)天后，小云背诵的诗词最多为 首．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
故选：A．
2．C
【分析】
本题主要考查了不等式的性质，①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】
解：A、∵，∴，不一定有，本选项不符合题意；
B、∵，∴，本选项不符合题意；
C、∵，∴，∴，本选项符合题意；
D、∵，当时，∴，本选项不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】此题考查了不等式组的解集的确定，表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组的解集是，
∴，
故选：B
4．C
【分析】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴，
∴选项C符合题意；
当时，不成立，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
5．A
【分析】
本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解得定义去判定即可．
【详解】，
，
A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意；
B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意；
C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意；
D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用，设他答对道题，则答错或不答有道题，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解，理清题意，根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故选D．
7．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
8．A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①，得，，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：A．
9．A
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，建立方程或不等式组解题是关键，①根据新定义的含义确定是被替换的数，再建立方程可判断，②分情况讨论：当为最大值时，当5为最大值时，再建立不等式组解题可判断，③举反例当 时，利用新定义进行操作，可判断③，从而可得答案．
【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值，
是被替换的数，即存在 时或时，故①正确；
②当为最大值时，则第一次操作后新数串为：，
经过第二次操作，新数串为1，2，3，
则可知，第二次操作，5被替换，即5为最大数，
或，
解得：，
新数串为，，，
当 或，
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意；
当 或，
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意；
∴当为最大值时，或9或11或13；
当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，
经过第二次操作后仍然存在2，
或，
当时，或
由得，
为正整数，
，
当 时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1， 1，2，不符合题意；
不符合题意；
不等式组无解；
当时，或，
不等式组无解；
由得：，
为正整数，
或，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1， 1，2，不符合题意；
当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意；
综上分析符合题意的的值只有4个，故②正确；
③当 时，第一次操作后新数串为 ，
进行第二次操作后为4，2，5，
进行第三次操作后为 ，
进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意，
∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作，
∴当 时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误；
故选：A．
10．C
【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论，按照题干中给出的信息进行操作，列出相应的方程进行计算即可．
【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值，
∴5是被替换的数，即存在时或时，故①正确；
②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，5，
经过第二次操作，新数串为1，2，3，
则可知，第二次操作，5被替换，
即5为最大数，
∴或，
解得：，
∴新数串为，，，
当，或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当，或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴当x为最大值时，或或或；
当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，x，
∵经过第二次操作后仍然存在2，
∴或，
当时，或，
由得，
∵x为正整数，
∴，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
∴不符合题意；
不等式组无解；
当时，或，
不等式组无解；
由得：，
∵x为正整数，
∴或，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意；
综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确；
③当时，第一次操作后新数串为14，2，5，
进行第二次操作后为4，2，5，
进行第三次操作后为4，2，3，
进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意，
∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作，
∴当时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误；
综上分析可知，正确的个数为2个．
故选：C．
11．B
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值．
【详解】解：①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，根据绝对值的非负性可得：．
即只能取．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
12．③④
【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解的定义去判定即可．
【详解】
①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误；
②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误；
③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确；
④不等式的解集是，故说法正确．
综上所述：正确的有③④
故答案为：③④．
13．3
【分析】
本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出m的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可．
【详解】解：关于x的不等式组的解集是，
a的值可以是；
故答案为：3（答案不唯一）
14．0，1，2
【分析】
本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴不等式的非负整数解为0，1，2；
故答案为：0，1，2．
15．
【分析】
本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，利用不等式的整数解得出关于a的不等式是解题关键．
先求出不等式组的解集并写出整数解，再根据不等式组的整数解建立a的不等式，求解即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解是：，
∴，
解得：．
故答案为：．
16．7
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得．
【详解】
∵，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为：，
∴整数解为：3、4，
∴其和为：7，
故答案为：7
17．18
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键．先根据得到，利用和列不等式组并求解，得到，进而得到，，再根据正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，可逐步求得， 的值，从而可得答案．
【详解】由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
由此可依次求得，，，，，，
．
18．(1)；
(2)不等式组无解．
【分析】（）根据解不等式的方法即可求解；
（）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
本题考查了解一元一次不等式和不等式组，掌握和一元一次不等式或不等式组的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组无解．
19．
【分析】
本题主要考查了解不等式组，先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：．
20．(1)最多能租用辆型号客车
(2)有两种租车方案．方案一：租用型号客车辆，型号客车辆；方案二：租用型号客车辆，型号客车辆
【分析】本题考查了不等式的应用；
（1）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据总费用不超过元，列出不等式，解不等式即可求解．
（2）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据师生共有人，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆．
依题意，得，
解得．
又为整数，
的最大值为．
答：最多能租用辆型号客车．
（2）依题意，得，
解得．
又为整数，且，
或．
有两种租车方案．方案一：租用型号客车辆，型号客车辆；方案二：租用型号客车辆，型号客车辆．
21．(1)，在数轴上的表示见解析
(2)
【分析】
本题考查了解一元一次不等式及绝对值化简，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
（1）根据满足的每一个数不等式成立可得出关于m的不等式，求出m的解集然后再数轴表示即可．
（2）根据确定，的符号，再根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）因为满足的每一个解都能使不等式成立，
m≤－3，
在数轴上的表示如图所示；
（2），
，，
．
22．(1)每个足球的价格为45元，每个篮球的价格为30元
(2)足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，此时总费用为3300元
【分析】
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，可得，即可解得答案；
（2）设购买个足球，根据足球的数量不少于篮球数量的得：，求出，而，根据一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意得：，
解得，
每个篮球的价格为30元，每个足球的价格为45元；
（2）
解：设购买个足球，则购买个篮球，购买足球和篮球总花费为元，
根据题意得：，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当 时，取最小值；
当时，取最小值，最小值为，
足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，最少总费用为3300元．
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组．
（1）根据二阶行列式的运算法则：，进行计算，得；，得，再根据解一元一次方程和解一元一次不等式，即可；
（2）根据二阶行列式的运算法则，对进行计算，则，解二元一次方程，求出，，从而确定的取值范围．
【详解】（1）
解：，
∴
解得，
∵，
∴
解得；
故答案为：，；
（2）
解：
解得：
解得：
24．(1)，，，
(2)
(3)存在，或4
【分析】
（1）去绝对值符号，解关于x的一元一次方程，利用非负数的性质，以及相反数的定义，可得；
（2）要使A、B两点都运动在线段上，则必须满足条件：A在C的右侧，B在D的左侧（不与C、D两个端点重合），由此可得出t的范围；
（3）分两种情况，①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边；②点A、B均在点D的右边，然后分别表示出、的长度，建立方程，求解即可。
【详解】（1）解：是方程的两根，
∴，，
∵与互为相反数，则：
，
∴，，
∴，；
（2）解：经过时间t时，A的值为，B的值为，C的值为，D的值为，
要使A、B两点都运动在线段上，则必须满足条件：A在C的右侧，B在D的左侧（不与C、D两个端点重合），
则，
解得：，
故t的范围是：；
（3）解：存在．①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，此时：
，
，
由（1）中代数式可得，
，，
由题意得：，
解得：，
∵，满足条件；
∴；
②点A、B均在点D的右边，此时，
解得：，则：
，，
∴，
解得：，满足，
综上所述，存在时间或，使B与C的距离是A与D的距离的4倍．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，动点问题的计算，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是表示出运动后四个点的坐标，注意分类讨论思想的应用，难度较大．
25．(1)补表见解析；
(2)，；
(3)．
【分析】（）根据表中的规律即可得到结论；
（）根据题意列不等式即可得到结论；
（）根据题意列不等式，即可得到结论；
本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键.
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴应填入第组，第天、第天、第天空格内，
∴补全表格如下：
第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天
第组
第组
第组
第组
（2）解：∵每天最多背诵首，最少背诵首，
∴，，，
∴，
∵，
由可得，
∴，
∵为整数，
∴或，
故答案为：，；
（3）解：∵每天最多背诵首，最少背诵首，
∴由第天，第天，第天，第天可得，
，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∴天后，小云背诵的诗词最多为首，
故答案为：．
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